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排列、组合的应用问题解法



排列、组合的应用问题解法 排列、组合的应用问题解法
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有 1~2 道 排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多

少 步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少 个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 我们已经学习过解决排列组合问题的一些基本方法如:特殊元素(位置)分析法(基本 方法) 、插空法、捆绑法、隔板法、转化法、对等法、排除法、平均分组除法原则等等,本 节课我们学习其他一些特殊方法 一.定序问题倍缩空位插入策略 例 1.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行 排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是: A 7 / A 3 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法,其余的三个位置 甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 二.重排问题求幂策略 例 2.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车 间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 三.环排问题线排策略 例 3. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并从此 位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 ! C D B
4 n 6

7

3 4

4



E F G H

A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

四.多排问题直排策略 例 4.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 4 种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A 4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种, 则共有 A 4 A 4 A 5 种
2 1 5 1 5 2

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 五.不同元素进盒,先分堆再排列策略(注意相同元素进盒,用隔板法处理) 不同元素进盒,先分堆再排列策略(注意相同元素进盒,用隔板法处理) 策略 例 5.有 5 个老师分入 4 个班搞活动,每班至少一人,共有多少不同的分法. 解:第一步先从 5 个老师分成三堆,有两种分堆方法,3、1、1 分布有 C 5 种方法.1、2、 2 分布有
1 2 2 C5 C 4 C 2 3 种方法,再排列到 3 个班有 A3 种方法,根据分步计数原理共有 2 A2
3

1 2 2 ? 3 C5C 4 C 2 ? C5 + 2 ? A2 ?

)A33 = 150 种不同的分配方法

注意:不同元素进盒与相同元素进盒是不同类型的问题, 注意:不同元素进盒与相同元素进盒是不同类型的问题,有不同的处理方法 六.小集团问题先整体后局部策略 例 6.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再排小集团内部共有
2

A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 种排法. 2 2 2 2 2

1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。 七、区域涂色问题 1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。 例7、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一 种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种? ① ② 分析:先给①号区域涂色有 5 种方法,再给②号涂色有 4 种方法,接着给③号涂色方法 有 3 种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有 4 种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色 方法有 5 × 4 × 3 × 4 = 240 2、 根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求 出不同的涂色方法种数。 ③

3



例 8、 (2003 江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻两个区域不能 同色。 分析:依题意只能选用 4 种颜色,要分四类: (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A4 ; (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120 例 9、 (2003 年全国高考题)如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求 相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意至少要用 3 种颜色 1) 当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色, 2 2) 3) 4) 区域 3 与 5 必须同色,故有 A4 种; 当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色,
4 3 4 4 4 4 4 4

⑤ ⑥ ② ① ③ ④

3

1 4

5

则区域 3 与 5 不同色,有 A4 种;若区域 3 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色, 有 A4 种,故用四种颜色时共有 2 A4 种。由加法原理可知满足题意的着色方 法共有 A4 +2 A4 =24+2 × 24=72
3 4 4 4

3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入 手,分别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例 10、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一 种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的 涂色方法? 分析:可把问题分为三类: 2 1 (1) 四格涂不同的颜色,方法种数为 A5 ; (2) 有且仅两个区域相同的颜色,即只 有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为 2C5 A4 ; 5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A5 , 因此,所求的涂法种数为 A5 + 2C5 A4 + A5 = 260
2 1 2 2 2 1 2 4

3

4

4、 根据相间区使用颜色的种类分类 例 11、如图, 6 个扇形区域 A、B、C、D、E、F,现给这 6 个区域着色,要求同 一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有 4 种不同的颜色 C D E F B A

可 A1 解(1)当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时, 有 4 种着色方法,此时,B、D、F 各有 3 种着色方法, 此时,B、D、F 各有 3 种着色方法故有 4 × 3 × 3 × 3 = 108 种方法。 (2)当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时,有 C3 A4 种着色方法,此时 B、 D、F 有 3 × 2 × 2 种着色方法,故共有 C3 A4 × 3 × 2 × 2 = 432 种着色方法。
2 2 2 2

(3)当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 A4 种着色方法,此时 B、D、 F 各有 2 种着色方法。此时共有 A4 × 2 × 2 × 2 = 192 种方法。
3

3

故总计有 108+432+192=732 种方法。 说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如:如图,把一个圆分成 n( n ≥ 2) 个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色 之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法? 解:设分成 n 个扇形时染色方法为 an 种 (1) 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A4 =12 种,即 a2 =12
2

A1 A2 An A3 A3 A4

L

L (2) 当分成 n 个扇形, 如图,A1 与 A2 不同色,A2 与 A3 不同色, ,An ?1
与 An 不同色,共有 4 × 3
n?1

种染色方法, 但由于 An 与 A1 邻,所以应排除 An 与 A1

同色的情形; An 与 A1 同色时,可把 An 、 A1 看成一个扇形,与前 n ? 2 个扇形加在一起为

n ? 1 个扇形,此时有 an ?1 种染色法,故有如下递推关系: an = 4 × 3n ?1 ? an ?1

∴ an = ? an ?1 + 4 × 3n ?1 = ?( ? an ? 2 + 4 × 3n ? 2 ) + 4 × 3n ?1
= an ? 2 ? 4 × 3n ? 2 + 4 × 3n ?1 = ? an ?3 + 4 × 3n ?3 ? 4 × 3n ? 2 + 4 × 3n ?1

= L = 4 × [3n ?1 ? 3n ? 2 + L + (?1) n × 3] = (?1) n × 3 + 3n



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