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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:13立体几何综合练习(文)



第一部分



13(文)

一、选择题 1.(2015· 东北三校二模)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列说法正确的 是( ) A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m [答案] B [解析] 当

l、m 是平面 α 内的两条互相垂直的直线时,满足 A 的条件,故 A 错误;对 于 C,过 l 作平面与平面 α 相交于直线 l1,则 l∥l1,在 α 内作直线 m 与 l1 相交,满足 C 的 条件,但 l 与 m 不平行,故 C 错误;对于 D,设平面 α∥β,在 β 内取两条相交的直线 l、m, 满足 D 的条件,故 D 错误;对于 B,由线面垂直的性质定理知 B 正确. 2.已知 α、β、γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题,如果把 α、β、γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 若 α、β 换成直线 a、b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ?b⊥γ”,此命题为真命 题;若 α、γ 换为直线 a、b,则命题化为“a∥β,且 a⊥b?b⊥β”,此命题为假命题;若 β、 γ 换为直线 a、b,则命题化为“a∥α,且 b⊥α?a⊥b”,此命题为真命题,故选 C. 3.(2015· 重庆文,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) B .1 个 D.3 个 )

1 A. +2π 3 7π C. 3 [答案] B

13π B. 6 5π D. 2

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成, 圆柱的底面半径为 1,

1 13π 高为 2;半圆锥的底面半径为 1,高也为 1,故其体积为 π×12×2+ ×π×12×1= ;故 6 6 选 B. 4.如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下列四个结 论不成立的是( )

A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC [答案] D [解析] ∵D、F 分别为 AB、AC 的中点,∴BC∥DF, ∵BC?平面 PDF,∴BC∥平面 PDF,故 A 正确;在正四面体中,∵E 为 BC 中点,易 知 BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面 PAE,∵DF∥BC,∴DF⊥平面 PAE,故 B 正确;∵DF ⊥平面 PAE,DF?平面 PDF,∴平面 PDF⊥平面 PAE,∴C 正确,故选 D. 5.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( )

A.10 cm3 C.30 cm3 [答案] B

B.20 cm3 D.40 cm3

[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥,可视作直三棱柱 ABC-A1B1C1 沿平面 AB1C1 截去一个三棱锥 A-A1B1C1 余下的部分. 1 1 1 ∴ VA - BCC1B1 = VABC - A1B1C1 - VA - A1B1C1 = ×4×3×5 - ×( ×4×3)×5 = 2 3 2 20cm3. 6.如图,在棱长为 5 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 是棱 AB 上的 一条线段,且 EF=2,Q 是 A1D1 的中点,点 P 是棱 C1D1 上的动点,则四面 体 P-QEF 的体积( )

A.是变量且有最大值

B.是变量且有最小值 C.是变量且有最大值和最小值 D.是常量 [答案] D [解析] 因为 EF=2,点 Q 到 AB 的距离为定值,所以△QEF 的面积为定值,设为 S, 又因为 D1C1∥AB,所以 D1C1∥平面 QEF;点 P 到平面 QEF 的距离也为定值,设为 d,从 1 而四面体 P-QEF 的体积为定值 Sd. 3 7.(2015· 湖北文,5)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则( )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 [答案] A [解析] 若 p:l1,l2 是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2 不相交,所以命题 q:l1, l2 不相交成立,即 p 是 q 的充分条件;反过来,若 q:l1,l2 不相交,则 l1,l2 可能平行,也 可能异面,所以不能推出 l1,l2 是异面直线,即 p 不是 q 的必要条件,故应选 A. 8.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如右图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M、N 分别为线段 DC、BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图 象大致是( )

[答案] B 1 1 [解析] 由条件知,AC=4,BO=2,S△AMC= CM· AD= 2x,NO=2-x,∴VN-AMC= 2 3 S△AMC· NO= 2 2 x(2-x),即 f(x)= x(2-x),故选 B. 3 3

二、填空题 9.(2015· 天津文,10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

________m3.

[答案]

8π 3

[解析] 考查 1.三视图;2.几何体的体积. 该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成, 圆柱与圆锥的底面半径 1 8π 都是 1,所以该几何体的体积为 2× ×π×1+π×2= (m3). 3 3 三、解答题 10.如图,已知 AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC,F 为 BC 的中点,若 AB=AC=AD= 1 CE. 2

(1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BCE. [证明] (1)取 BE 的中点 G,连接 GF、GD. 因为 F 是 BC 的中点,则 GF 为△BCE 的中位线. 1 所以 GF∥EC,GF= CE. 2 因为 AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC, 所以 GF∥EC∥AD. 1 又因为 AD= CE,所以 GF=AD. 2 所以四边形 GFAD 为平行四边形.所以 AF∥DG. 因为 DG?平面 BDE,AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE.

(2)因为 AB=AC,F 为 BC 的中点,所以 AF⊥BC. 因为 EC∥GF,EC⊥平面 ABC, 所以 GF⊥平面 ABC. 又 AF?平面 ABC,所以 GF⊥AF. 因为 GF∩BC=F,所以 AF⊥平面 BCE. 因为 AF∥DG,所以 DG⊥平面 BCE. 又 DG?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 BCE. 11.底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.如图,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,AA1=AB=a,F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点. (1)求证:平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)求证:平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. [分析] (1)在正三棱柱中,由 F、F1 分别为 AC、A1C1 的中点,不 难想到四边形 AFC1F1 与四边形 BFF1B1 都为平行四边形, 于是要证平面 AB1F1∥平面 C1BF,可证明平面 AB1F1 与平面 C1BF 中有两条相交直线分别平行,即 BF∥ B1F1,FC1∥AF1. (2)要证两平面垂直,只要在一个平面内能够找到一条直线与另一个平面垂直,考虑到 侧面 ACC1A1 与底面垂直, F1 为 A1C1 的中点, 则不难想到 B1F1⊥平面 ACC1A1, 而平面 AB1F1 经过 B1F1,因此可知结论成立. [解析] (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,连 FF1, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1B 綊 A1A 綊 FF1, ∴B1BFF1 为平行四边形.∴B1F1∥BF, 又 AF 綊 C1F1,∴AF1C1F 为平行四边形, ∴AF1∥C1F, 又∵B1F1 与 AF1 是两相交直线, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.

(2)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1, ∴B1F1⊥AA1,又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而平面 AB1F1 经过 B1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 12.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F、H 分别为 A1D、A1C 的中点. (1)证明:A1B∥平面 AFC; (2)证明:B1H⊥平面 AFC. [分析] 分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证 明. [解析] (1)连 BD 交 AC 于点 E,则 E 为 BD 的中点,连 EF,又 F 为 A1D 的中点,所以 EF∥A1B. 又 EF?平面 AFC,A1B?平面 AFC, ∴A1B∥平面 AFC. (2)连接 B1C,在正方体中四边形 A1B1CD 为长方形, ∵H 为 A1C 的中点, ∴H 也是 B1D 的中点,

∴只要证 B1D⊥平面 ACF 即可. 由正方体性质得 AC⊥BD,AC⊥B1B, ∴AC⊥平面 B1BD,∴AC⊥B1D. 又 F 为 A1D 的中点,∴AF⊥A1D, 又 AF⊥A1B1,∴AF⊥平面 A1B1D. ∴AF⊥B1D,又 AF、AC 为平面 ACF 内的相交直线. ∴B1D⊥平面 ACF.即 B1H⊥平面 ACF. 13.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60° ,且 边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 为正三角形, 其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证 明你的结论. [解析] (1)证明:∵在菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,G 为 AD 的中点,得 BG⊥AD.又

平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. (2)证明:连接 PG,因为△PAD 为正三角形,G 为 AD 的中点,得 PG⊥AD. 由(1)知 BG⊥AD, ∵PG∩BG=G, PG?平面 PGB,BG?平面 PGB, ∴AD⊥平面 PGB. ∵PB?平面 PGB,∴AD⊥PB. (3)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下: 取 PC 的中点 F, 连接 DE、 EF、 DF, 则在△PBC 中, FE∥PB, 在菱形 ABCD 中,GB∥DE, ∴AD⊥EF,AD⊥DE.∴AD⊥平面 DEF, 又 AD?平面 ABCD,∴平面 DEF⊥平面 ABCD. 14. (2014· 河北名校名师俱乐部模拟)如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥平面 ABC, AC⊥BC,E 在线段 B1C1 上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4. (1)求证:BC⊥ AC1; (2)试探究:在 AC 上是否存在点 F,满足 EF∥平面 A1ABB1,若存 在,请指出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,说明理由. [分析] (1)执果索因:要证 BC⊥AC1,已知 BC⊥AC,故只需证 BC ⊥平面 ACC1A1,从而 BC⊥AA1,这由已知三棱柱中 AA1⊥平面 ABC 可证. (2)假定存在,执果索因找思路: 假定 AC 上存在点 F,使 EF∥平面 A1ABB1,考虑矩形 C1CBB1 中,E 在 B1C1 上,且 B1E =3EC1,因此取 BC 上点 G,使 BG=3GC,则 EG=B1B,从而 EG∥平面 A1ABB1,因此平 AF BG 面 EFG∥平面 A1ABB1,由面面平行的性质定理知 FG∥AB,从而 = =3,则只需过 G FC GC 作 AB 的平行线交 AC 于 F,F 即所探求的点. [解析] (1) ∵AA1⊥平面 ABC, BC?平面 ABC, ∴BC⊥AA1. 又∵BC⊥AC,AA1,AC?平面 AA1C1C,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面 AA1C1C, 又 AC1?平面 AA1C1C,∴BC⊥AC1. (2)解法一:当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1. 理由如下:在平面 A1B1C1 内过 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于 G,连接 AG.

3 ∵B1E=3EC1,∴EG= A1C1, 4 3 又 AF∥A1C1 且 AF= A1C1,∴AF∥EG 且 AF=EG, 4 ∴四边形 AFEG 为平行四边形,∴EF∥AG, 又 EF?平面 A1ABB1,AG?平面 A1ABB1, ∴EF∥平面 A1ABB1. 解法二:当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1. 理由如下: 在平面 BCC1B1 内过 E 作 EG∥BB1 交 BC 于 G,连接 FG.

∵EG∥BB1,EG?平面 A1ABB1,BB1?平面 A1ABB1, ∴EG∥平面 A1ABB1. ∵B1E=3EC1,∴BG=3GC, ∴FG∥AB,又 AB?平面 A1ABB1,FG?平面 A1ABB1, ∴FG∥平面 A1ABB1. 又 EG?平面 EFG,FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 A1ABB1. ∵EF?平面 EFG,∴EF∥平面 A1ABB1. 15.已知四棱锥 P-ABCD 的直观图和三视图如图所示,E 是 PB 的中点. (1)求三棱锥 C-PBD 的体积; (2)若 F 是 BC 上任一点,求证:AE⊥PF;

(3)边 PC 上是否存在一点 M,使 DM∥平面 EAC,并说明理由. [解析] (1)由该四棱锥的三视图可知, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 和 1 的矩形, 侧棱 PA⊥平面 ABCD,且 PA=2, 1 1 2 ∴VC-PBD=VP-BCD= × ×1×2×2= . 3 2 3 (2)证明:∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A.

∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥AE, 又在△PAB 中,∵PA=AB,E 是 PB 的中点, ∴AE⊥PB.又∵BC∩PB=B, ∴AE⊥平面 PBC,且 PF?平面 PBC,∴AE⊥PF. (3)存在点 M,可以使 DM∥平面 EAC. 连接 BD,设 AC∩BD=O,连接 EO. 在△PBD 中,EO 是中位线. ∴PD∥EO, 又∵EO?平面 EAC,PD?平面 EAC, ∴PD∥平面 EAC, ∴当点 M 与点 P 重合时,可以使 DM∥平面 EAC.



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