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第一章 1.1.2 余弦定理(一)



1.1.2
知识梳理 1.余弦定理 .

余弦定理( 余弦定理(一) 自主学案

三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的 平方的 和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的 即 两倍 . a2= b2+c2-2bccos A ,b2=c2+a2-2cacos B , bccos

abcos c2= a2+b2-2

abcos C .
2.余弦定理的推论 . cos A= = cos C= =

c2 + a2 b2 b2 + c2 a2 ;cos B= = ; 2ca 2bc a2 + b2 c2 . 2ab

3.在△ABC 中: . (1)若 a2+b2-c2=0,则 C= 90° 若 , = 90° ; (2)若 c2=a2+b2-ab,则 C=60° 若 , =60° ; (3)若 c2=a2+b2+ 2ab,则 C=135° 若 . , =135°

自主探究 试用向量的数量积证明余弦定理. 试用向量的数量积证明余弦定理.
证明 如图所示,设 CB =a, CA =b, AB =c,

那么 c=a-b, |c|2=cc=(a-b)(a-b) =aa+bb-2ab =a2+b2-2abcos C. 所以 c2=a2+b2-2abcos C. 同理可以证明:a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B.

对点讲练
一、已知三角形两边及夹角解三角形 例1 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°, = , = , = , 求 A.

解 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=8-4 3, 所 以 c= 6- 2, c 6 2 asin C 1 由正弦定理得 sin A= = ,因为 b>a, c 2 所以 B>A,又∵0°<A<180°,∴A=30°.
总结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理,本 例中的条件是已知两边及其夹角,而不是两边及一边 的对角,所以本例的解法应先从余弦定理入手.

b 变式训练 1 在△ABC 中, a, 的长是方程 x2-5x 边 , +2=0 的两个根,C=60°,求边 c. = 的两个根, = , 解 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a +b)2-3ab=52-3×2=19.∴c= 19. b) 3ab 5 3 2 19. c

二、已知三角形三边解三角形 例2


已知三角形 ABC 的三边长为 a=3,b=4,c= = , = , =
∵c>a,c>b,∴角 C 最大.由余弦定理,

37,求△ABC 的最大内角. , 的最大内角.
得 c2=a2+b2-2abcos C, 1 即 37=9+16-24cos C,∴cos C=-2, ∵0°<C<180°,∴C=120°. 所以△ABC 的最大内角为 120°.
总结 已知三边求三角时,余弦值是正值时,角是锐 角,余弦值是负值时,角是钝角.

变式训练 2

在△ABC 中,已知 BC=7,AC=8,AB = , = ,

边上的中线长. =9,试求 AC 边上的中线长. ,

AB2+AC2-BC2 解 由条件知:cos A= 2ABAC 92+82-72 2 = , = 2×9×8 3 设中线长为 x,由余弦定理知: AC AC 2 2+AB2-2 x= 2 ABcos A 2 2 2 2 =4 +9 -2×4×9×3=49,即 x=7. 所以,AC 边上的中线长为 7.

三、利用余弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、 、、 、 、 C 的对边,如果 2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+ 的对边,如果(a - = + B),试判断该三角形的形状. ,试判断该三角形的形状.
解 ∵a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2b =b2a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0, ∴a=b 或 c2=a2+b2, ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形.

变式训练 3

在△ABC 中 , sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶ =

2∶3∶4,试判断三角形的形状. ∶ ∶ ,试判断三角形的形状.
解 因为 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4, 所以可令 a=2k,b=3k,c=4k (k>0). (2k)2+(3k)2-(4k)2 c 最大,cos C= <0, 2×2k×3k 所以 C 为钝角, 从而三角形为钝角三角形.

课堂小结 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: .利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. 已知两边和夹角, 已知两边和夹角 解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 已知三边求三角形的任意一角. 已知三边求三角形的任意一角 2.余弦定理与勾股定理 . 余弦定理可以看作是勾股定理的推广, 余弦定理可以看作是勾股定理的推广 , 勾股定理 可以看作是余弦定理的特例. 可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平 那么第三边所对的角是锐角. 方,那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平 那么第三边所对的角是钝角. 方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平 那么第三边所对的角是直角. 方,那么第三边所对的角是直角.

课时作业
一、选择题 1.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC . = , = , = , ( B ) 的最小角为 π π π π A. B. C. D. 3 6 4 12
解析 ∵a>b>c,∴C 为最小角, a2+b2-c2 由余弦定理 cos C= 2ab 72+(4 3)2-( 13)2 π 3 = = 2 .∴C=6. 2×7×4 3

2.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于 . = , + ( C ) A.1 .
解析

D.4 . a2+b2-c2 c2+a2-b2 bcos C+ccos B=b +c = 2ab 2ac B. 2

C.2 .

2a2 2a =a=2.

3.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于 . = , ( B ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3
∵b2=ac,c=2a,∴b2=2a2,b= 2a, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴cos B= 2ac = =4. 2a2a 解析

c-b - 4.在△ABC 中,sin = (a、b、c 分别为角 A、 . 、 、 、 2 2c B、C 的对应边),则△ABC 的形状为 、 的对应边 , ( B ) A.正三角形 B.直角三角形 . . C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 . . 1-cos A c-b b 2A 解 析 ∵sin 2 = = 2c , ∴cos A = c = 2 b2+c2-a2 a2+b2=c2,符合勾股定理. 2bc
2A

1 2 5.在△ABC 中,已知面积 S= (a +b2-c2),则角 C . = , 4 的度数为 A.135° . ( B ) B.45° C.60° D.120° . . . 1 2 1 2 2 解析 ∵S=4(a +b -c )=2absin C, ∴a2+b2-c2=2absin C,∴c2=a2+b2-2absin C. 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C, ∴sin C=cos C,∴C=45° .

二、填空题 6. . 三角形三边长分别为 a, , a2+ab+b2 (a>0, , b, b>0), , + , 则最大角为_______. 则最大角为 120° . 120°
解析 易知: a2+ab+b2>a ab b >a, a2+ab+b2>b ab b >b,设最

a2+b2-( a2+ab+b2)2 1 大角为 θ,则 cos θ= =-2,又 2ab θ∈(0°,180°),∴θ=120°.

7.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD . = , = , = + ,
3 上的高, 的长是________. 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 .

BC2+AC2-AB2 2 解析 ∵cos C= =2, 2×BC×AC 2 ∴sin C= 2 .∴AD=ACsin C= 3.

8.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a . + , - 为钝角三角形的三边, 的取值范围是________. 的取值范围是 (2,8) . 1 解析 ∵2a-1>0,∴a> ,最大边为 2a+1. 2 ∵三角形为钝角三角形,∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2 化简得:0<a<8.又∵a+2a-1>2a+1,∴a>2, ∴2<a<8.

三、解答题 9.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2 . = , = , , -2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1. + = 的两根, + = (1)求角 C 的度数; 求角 的度数; (2)求 AB 的长; 求 的长; (3)求△ABC 的面积. 求 的面积.



(1)cos C=cos[π-(A+B)] 1 =-cos(A+B)=-2 2π 又∵C∈(0,π),∴C= . 3

(2)∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根, ∵ , + = 的两根, a+b=2 3, , + = ∴ ab=2. = ∴AB2=b2+a2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10, = + = , ∴AB= 10. = 3 1 1 2π (3)S△ABC= absin C= ×2×sin . =2 × 2 3=2

10.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大 . - = , + = , 角为 120°,求三边的长. ,求三边的长.

a-b=4 由 a+c=2b a=b+4 ,得 c=b-4

.

∴a>b>c,∴A=120°, ∴a2=b2+c2-2bccos 120°, 即(b+4) =b +(b-4) 即 b2-10b=0, 解得 b=0(舍去)或 b=10. 当 b=10 时,a=14,c=6.
2 2 2

1 -2b(b-4)×-2,



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