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第二章 2.3.1平面向量基本定理



明目标、知重点
1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的基底

的含义.
2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来

表示平面内任意向量.
3.掌握向量夹角的含义及向量的垂直
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探要点·究所然 情境导学
在物理学中我们知

道,力是一个向量,力的合成就是向 量的加法运算 . 而且力是可以分解的,任何一个大小不为零 的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和 . 将这种力的 分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢?

设向量e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,平面内
任一向量a能否用向量e1,e2表示出来,这样的表示唯一吗?
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探究点一 平面向量基本定理
思考 1 如图所示,e1,e2 是两个不共线的向量,试用 e1,e2 表示

→ → → → → 向量AB,CD,EF,GH,HG,a.

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答 通过观察,可得:

→ → → AB=2e1+3e2, CD=-e1+4e2, EF=4e1-4e2,
→ → GH=-2e1+5e2,HG=2e1-5e2,a=-2e1.

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问题回顾 平面内任一向量a能否用向量e1,e2表示出来, 这样的表示唯一吗?

设向量e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,

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思考2

根据上述分析,平面内任一向量a都可以由这个平

面内两个不共线的向量 e1 , e2 表示出来,从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容吗? 答 若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,则对于这

一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使

a=λ1e1+λ2e2.
?.存在性 П.唯一性
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思考 3

上述定理称为平面向量基本定理,

向量 e1 , e2

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 . 那么同一平面内可
以作基底的向量有多少组?不同基底对应向量 a 的表示式是否

相同?平面向量的基底唯一吗?能作为基底的条件是什么?
答 同一平面内可以作基底的向量有无数组,不同基底对应向

量a的表示式不相同.
平面向量的基底不唯一.只要两个向量不共线,都可以作为平面

的一组基底.
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小试牛刀
设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列六组向量:① e1与 e2; ② 2e1与e2; ③ e1与e1+e2; ④ e1-2e2与e2-2e1; ⑤ e1-2e2与4e2-2e1;⑥ e1+e2与e1-e2.其中能作为平面内所 有向量的一组基底的序号是.(写出所有满足条件的序号) ① ②③④ ⑥ .

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探究点二 向量的夹角
思考1 已知a、b是两个非零向量,过点O如何作出

它们的夹角θ?
→ → 答 过点 O 作OA=a,OB=b,则

∠AOB=θ,就是a与b的夹角.

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思考2 在等边三角形ABC中,试写出下面向量的夹角? → → → → → → → → a.AB、AC b.AB、CA c.BA、CA d.AB、BA
答 → → a.AB与AC的夹角为 60° ; → → b.AB与CA的夹角为 120° ; → → c.BA与CA的夹角为 60° ;
→ → d.AB与BA的夹角为 180° .
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感悟

ⅰ两个非零向量夹角的取值范围是什么?
ⅱ确定两个向量夹角时,要注意什么事项?

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典例探究
如图,已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等 ???? ???? ???? ??? ? ??? ? AC =b,用a、b表示 AD、 分点,若 AB =a, AE、 AF . 1 1 1 → → → → 1→ 解 AD=AB+BD=AB+2BC=a+2(b-a)=2a+2b; → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+3BC b 1 2 1 a =a+3(b-a)=3a+3b; → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+3BC 2 1 2 =a+3(b-a)=3a+3b.
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例1

典例探究

??? ? ???? AD =b, 例2 在平行四边形ABCD中,AB =a, (1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点 b ??? ? ??? ? ,试用a,b分别表示 BF , DE
??? ? ??? ? ??? ? ? 1? 解:法一 BF ? BC ? CF ? b ? a 2 ???? ???? ??? ? ? 1? DE ? DC ? CE ? a ? b 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? 法二 BF ? 1 BC ? BD ? 1 (b ? b ? a ) ? b ? 1 a 2 2 2

a

?

?

??? ? 1 ???? ??? ? ? 1? 1 ? ? ? DE ? DC ? DB ? (a ? a ? b) ? a ? b 2 2 2

?

?

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(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的
???? b 中点,试用a,b表示 AG ???? ???? ???? ???? 1 ???? ? 1 ? ? 1 ? 3 ? AG ? AD ? DG ? AD ? DB ? b ? ? a ? b ? ? a ? b 解: ???? ???? ???? 1 ???? 4 1 ???? 1 4? ? 1 4? ? 4 1 ? 3 ? AG ? AO ? OG ? AC ? BD ? ? a ? b ? ? ? b ? a ? ? a ? b 2 4 2 4 4 4 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ??? ? ? 3 ? ? 1? 3? AG ? AB ? BG ? AB ? BD ? a ? ? b ? a ? ? a ? b
4 4 4 4

a

???? 1 ???? ???? 1 1 ???? ???? 1 1 ? ? ? 1 ? 3 ? AG ? ( AO ? AD ) ? ( AC ? AD )? [ (a ? b) ? b] ? a ? b 2 2 4 4 2 2 2
归纳总结:用基底表示平面内其它向量关键是找到向量所在三角形
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??? ? ??? ? 练习:如图,四边形OADB是以向量 OA =a,OB =b为边的平

行四边形.又BM=

???? ? ???? ???? ? a、b表示OM , ON , MN. → 1 → 1→ 1 → → 1 解 BM=3BC=6BA=6(OA-OB)=6(a-b), 5 → → → 1 ∴OM=OB+BM=6a+6b.

1 3

BC,CN=

1 3

CD,试用
b
a

→ 1→ 1→ → → → 1→ 1→ ∵CN=3CD=6OD. ∴ON=OC+CN= OD+ OD 2 6 2→ 2 → → → 1 1 =3OD=3(a+b),MN=ON-OM=2a-6b.
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课堂小结:
1、共面向量基本定理 2、基底的含义及判断 3、用基底表示其它向量 4、向量的夹角

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