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2015北京·理科数学-解析版



[] 2015· 北京(理数)

1.L42015· 北京卷复数 i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 1.A [解析] i(2-i)=2i-i2=1+2i,故选 A. x-y≤0, ? ? 2.E5[2015· 北京卷] 若 x,y 满足?x+y≤1, 则 z=x+2y 的最大值为( ? ?x≥0, 3 A.0 B

.1 C. D.2 2 2.D 1 [解析] 画出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数 z=x+2y 可变为 y=- x 2

)

1 1 1 + z,当函数 y=- x+ z 过点 C(0,1)时,z 取得最大值 2. 2 2 2

3.L1[2015· 北京卷] 执行如图 11 所示的程序框图,输出的结果为(

)

图 11 A.(-2,2) B.(-4,0) C.(-4,-4) D.(0,-8) 3.B [解析] 当 k=0,x=1,y=1 时,s=0,t=2;当 k=1,x=0,y=2 时,s=-2, t=2;当 k=2,x=-2,y=2 时,s=-4,t=0,此时 x=-4,y=0,k=3,输出的结果为(- 4,0). 4.A2,G4[2015· 北京卷] 设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α .“m∥β ”是 “α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 4.B [解析] 当 m?α ,m∥β 时,不能确定平面 α 与 β 平行;当 α∥β 时,根据平面与 平面平行的性质,可以推出 m∥β. 5.G2[2015· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图 12 所示,则该三棱锥的表面积是( )

图 12 A.2+ 5 B.4+ 5 C.2+2 5 D.5 5.C [解析] 根据三视图可得到直观图(如图所示).取 D 为 BC 的中点,根据题意可知, AD⊥BC,AD=2,BC=2,SA=1,且 SA⊥平面 ABC.在 Rt△SAB 中,SB= 1+4+1= 6, 同理 SC= 6,所以△SBC 是等腰三角形,所以 BC 边上的高 SD= 6-1= 5.所以三棱锥的 1 1 1 表面积是 ×2×2+2× × 5×1+ ×2× 5=2+2 5. 2 2 2

6.D2[2015· 北京卷] 设{an}是等差数列.下列结论中正确的是( A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0

)

C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 6.C [解析] 选项 A 中,当等差数列的前三项是 4,1,-2 时,结论不成立;选项 B 2 中,当等差数列的前三项是 4,-1,-6 时,结论不成立;选项 C 中,设公差为 d,则 a2 >a2 2 -d2=(a2-d)(a2+d)=a1·a3,因为 0<a1<a2,所以 a2> a1a3,结论成立;选项 D 中,当等差 数列的前三项是-2,0,2 时,结论不成立.故选 C.

图 13 7.B7[2015· 北京卷] 如图 13,函数 f(x)的图像为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1) 的解集是( ) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}
?2x+2,-1≤x≤0, ? 7.C [解析] C [解析] 由图知,f(x)=? 设 g(x)=log2(x+1).在同 ? ?-x+2,0<x≤2.

一坐标系中画出 f(x),g(x)的图像(如图),令-x+2=log2(x+1),解得 x=1,故不等式的解集 为{x|-1<x≤1}.

8.B10[2015· 北京卷] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,图 14 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )

图 14 A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 8.D [解析] 选项 A 中,由图可知消耗一升汽油,乙车行驶的最大路程超过 5 千米; 选项 B 中,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车的燃油效率最大,故消耗汽油最少; 选项 C 中,甲车以 80 千米/小时的速度行驶时,1 升汽油可行驶 10 千米,所以行驶 1 小时, 即行驶 80 千米应消耗汽油 8 升;选项 D 中,此时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故 在相同条件下,用丙车比用乙车更省油.故选 D. 9.J3[2015· 北京卷] 在(2+x)5 的展开式中,x3 的系数为________.(用数字作答) 5-r r 5-3 9.40 [解析] 展开式的通项 Tr+1=Cr x ,令 r=3,得 C3 =40. 52 52 x2 10 . H6[2015· 北京卷 ] 已知双曲线 2 - y2 = 1(a>0) 的一条渐近线为 3 x + y = 0 ,则 a = a ________. 10. 3 3 x2 1 [解析] 双曲线 2-y2=1(a>0)的渐近线方程是 y=± x, 又知一条渐近线为 3x+y a a

1 3 =0,所以 = 3,解得 a= . a 3 π 11.N3[2015· 北京卷] 在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ(cos θ + 3sin θ )=6 的距离 3? ? 为________.

11.1

?x=ρcos θ , ? π [解析] 利用公式? 把极坐标?2, ?转化为平面直角坐标(1, 3), 3? ? ? ?y=ρsin θ ,

把直线方程ρ (cos θ + 3sin θ )=6 转化为 x+ 3y-6=0.利用点到直线的距离公式可知, d |1+3-6| = =1. 1+3 sin 2A 12.C6,C8[2015· 北京卷] 在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C b2+c2-a2 52+62-42 3 12.1 [解析] 根据题意,cos A= = = .因为 0<A<π ,所以 sin A 2bc 2×5×6 4 = 1-cos2A= 7 3 7 sin 2A 2sin Acos A .同理可求 sin C= ,所以 = =1. 4 8 sin C sin C

→ → → → → → → 13. F1[2015· 北京卷] 在△ABC 中, 点 M, N 满足AM=2MC, BN=NC.若MN=xAB+yAC, 则 x=________,y=________. 1 13. 2 1 - 6 → → → 1 → → 2→ 1→ 1→ [解析] 在△ABC 中,MN=AN-AM= (AB+AC)- AC= AB- AC. 2 3 2 6

x ? ?2 -a,x<1, 14.B3,B5[2015· 北京卷] 设函数 f(x)=? ?4(x-a)(x-2a),x≥1. ?

(1)若 a=1,则 f(x)的最小值为________; (2)若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________. 14.(1)-1
?2x-1,x<1, ? 1 ? ,1 ∪[2,+∞) [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=? 2 (2)? 当 ?2 ? ? ?4x -12x+8,x≥1.

3? x<1 时,-1<2x-1<1;当 x≥1 时,f(x)=4x2-12x+8 在区间? ?1,2?上单调递减,在区间

?3,+∞?上单调递增,所以当 x=3时,f(x)min=f?3?=4×?3? -12×3+8=-1. ?2 ? ?2? ?2? 2 2
(2)当 a≤0 或 a≥2 时, f(x)=2x-a, x<1 与 x 轴无交点, 故此时 f(x)=4(x2-3ax+2a2), x≥1 与 x 轴应有 2 个交点, 3 ? ?2a>1, 所以? 解得 a≥1,故此时 a≥2.

2

? ?f(1)≥0,

当 0<a<2 时,f(x)=2x-a,x<1 与 x 轴有 1 个交点, 故此时 f(x)=4(x2-3ax+2a2),x≥1 与 x 轴应有 1 个交点, f(1)=0, ? ? 1 1 1 所以?3 或 f(1)<0,解得 a= 或 <a<1,即 ≤a<1. 2 2 2 ?2a<1 ? 1 ? 综上可知,a 的取值范围为? ?2,1?∪[2,+∞). x x x 15.C5,C3[2015· 北京卷] 已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 15.解:(1)因为 f(x)= π 2 =sin?x+ ?- , ? 4? 2 所以 f(x)的最小正周期为 2π . 3π π π (2)因为-π ≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ . 4 4 4 π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 3π 2 f?- ?=-1- . 2 ? 4 ? 16.K2,I2[2015· 北京卷] A,B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单 位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16; B 组:12,13,15,16,17,14,a. 假设所有病人的康复时间相互独立,从 A,B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为甲, B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于 14 天的概率. (2)如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率. (3)当 a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 16.解:设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”, 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”,i=1,2,?,7. 1 由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,?,7. 7 (1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人,或者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 3 P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= . 7 (2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知, C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因此 P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3) 10 +P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)= . 49 (3)a=11 或 a=18. 17.G5,G11[2015· 北京卷] 如图 15,在四棱锥 AEFCB 中,△AEF 为等边三角形,平 面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角 FAEB 的余弦值; (3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值. 2 2 sin x- (1-cos x) 2 2

图 15 17.解:(1)证明:因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO?平面 AEF, 所以 AO⊥平面 EFCB, 所以 AO⊥BE. (2)取 BC 的中点 G,连接 OG. 由题设知,四边形 EFCB 是等腰梯形, 所以 OG⊥EF. 由(1)知 AO⊥平面 EFCB, 又 OG?平面 EFCB, 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 Oxyz.

则 E(a,0,0),A(0,0, 3a), → B(2, 3(2-a),0),EA=(-a,0, 3a), → BE=(a-2, 3(a-2),0). 设平面 AEB 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? EA=0, ?-ax+ 3az=0, ?n· 则? 即? → ? BE=0, ?(a-2)x+ 3(a-2)y=0. ?n· 令 z=1,则 x= 3,y=-1,于是 n=( 3,-1,1). 平面 AEF 的一个法向量为 p=(0,1,0). n·p 5 所以 cos〈n,p〉= =- . |n||p| 5 由题知二面角 FAEB 为钝角,所以它的余弦值为- (3)因为 BE⊥平面 AOC,所以 BE⊥OC, → → 即BE·OC=0. 5 . 5

→ 因为BE=(a-2, 3(a-2),0), → OC=(-2, 3(2-a),0), → → 所以BE·OC=-2(a-2)-3(a-2)2. 4 → → 由BE·OC=0 及 0<a<2,解得 a= . 3 1+x 18.B14[2015· 北京卷] 已知函数 f(x)=ln . 1-x (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; x3 x+ ?; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2? ? 3? x3 x+ ?对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值. (3)设实数 k 使得 f(x)>k? ? 3? 18.解:(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以 1 1 f′(x)= + ,f′(0)=2. 1+x 1-x 又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=2x. x3 x+ ?,则 (2)证明:令 g(x)=f(x)-2? ? 3? g′(x)=f′(x)-2(1+x2)= 2x4 . 1-x2

因为 g′(x)>0(0<x<1),所以 g(x)在区间(0,1)上单调递增. 所以 g(x)>g(0)=0,x∈(0,1), x3 x+ ?. 即当 x∈(0,1)时,f(x)>2? ? 3? x3 x+ ?对 x∈(0,1)恒成立. (3)由(2)知,当 k≤2 时,f(x)>k? ? 3? x3 x+ ?,则 当 k>2 时,令 h(x)=f(x)-k? ? 3? kx4-(k-2) h′(x)=f′(x)-k(1+x2)= . 1-x2 所以当 0<x< 4 k-2 ? ? 4 时,h′(x)<0,因此 h(x)在区间?0, k-2?上单调递减. k k ? ?

故当 0<x<

4 k-2 x3 x+ ?. 时,h(x)<h(0)=0,即 f(x)<k? ? 3? k

x3 x+ ?并非对 x∈(0,1)恒成立. 所以当 k>2 时,f(x)>k? ? 3? 综上可知,k 的最大值为 2. x2 y2 2 19.H5,H8[2015· 北京卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点 P(0,1)和 a b 2

点 A(m,n)(m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M. (1)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示); (2)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N,问:y 轴上是否存 在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 坐标;若不存在,说明理由. b=1, ? ?c 2 19.解:(1)由题意得? = , 解得 a =2, a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2 2

x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1, 2 设 M(xM,0). 因为 m≠0,所以-1<n<1. n-1 直线 PA 的方程为 y-1= x, m m m 所以 xM= ,即 M?1-n,0?. ? ? 1-n (2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称, 所以 B(m,-n), m 设 N(xN,0),则 xN= . 1+n |OM| |OQ| “存在点 Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点 Q(0,yQ)使得 = ” , |OQ| |ON| 即 yQ 满足 y2 Q=|xM||xN|. m m m2 因为 xM= ,xN= , +n2=1, 1-n 1+n 2 所以 y2 Q=|xM||xN|= m2 =2. 1-n2

所以 yQ= 2或 yQ=- 2. 故在 y 轴上存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ,点 Q 的坐标为(0, 2)或(0,- 2).
?2an,an≤18, ? 20. D5, A1[2015· 北京卷] 已知数列{an}满足: a1∈N*, a1≤36, 且 an+1=? ? ?2an-36,an>18

(n=1,2,?).记集合 M={an|n∈N*}. (1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数; (3)求集合 M 的元素个数的最大值. 20.解:(1)6,12,24. (2)证明:因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数.
? ?2an,an≤18, 由 an+1=? 可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数. ?2an-36,an>18 ?

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak=2ak-1 或 ak=2ak-1-36,所以 2ak-1 是 3 的倍数,于是 ak-1 是 3 的倍

数.类似可得,ak-2,?,a1 都是 3 的倍数,从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数,因此 M 的所 有元素都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数.
?2an-1,an-1≤18, ? (3)由 a1≤36,an=? 可归纳证明 an≤36(n=2,3,?). ?2an-1-36,an-1>18 ? ? ?2a1,a1≤18, 因为 a1 是正整数,a2=? 所以 a2 是 2 的倍数,从而当 n≥3 时,an 是 4 ?2a1-36,a1>18, ?

的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{12,24,36},这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1 不是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 不是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8.



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