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第一章 1.1.2 余弦定理(二)



1.1.2

余弦定理( 余弦定理(二) 自主学案

知识梳理 1.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、 . 、 、 、 、 C,则有: ,则有: π C A+B + (1)A+B+C= π, . + + = 2 = 2 2 (2)sin(A+B)= sin C ,cos(A+B)= -cos C , + = + =

tan(A+B)= -tan C . + =

C C A+B sin A+B cos + + 2 ,cos 2 = (3)sin 2. 2 =

2.正弦定理及其变形 . a b c (1) = = = 2R . sin A sin B sin C (2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C. = = =
a b c (3)sin A= 2R,sin B= 2R,sin C= 2R. = = =

(4)sin A∶sin B∶sin C= a∶b∶c ∶ ∶ =
3.余弦定理及其推论 . (1)a2=b2+c2-2bccos A .

.

(2)cos A= = (3)在△ABC 中,c2=a2+b2C 为 直角 ;c2>a2+ 在 b2C 为 钝角 ;c2<a2+b2C 为 锐角 .

b2 + c2 a2 2bc .

自主探究 已知两边及其中一边的对角, 在 △ABC 中 , 已知两边及其中一边的对角, 解三角 一般情况下, 形.一般情况下,先利用正弦定理求出另一边所对的 角,再求其他的边或角,要注意进行讨论三角形解的 再求其他的边或角, 个数. 个数. 对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形, 对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形, 请结合下面的例子加以探究. 请结合下面的例子加以探究. 例:在△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 3,AC=2, = , = , = , 则满足条件的三角形有几个? 则满足条件的三角形有几个?
提示 如果采用余弦定理来解,只需解一个一元二次 方程,即可求出边来,若该方程有两个不等正根,则 三角形有两解;有唯一正根,三角形仅有一解;方程 无正根,三角形无解.



设 BC=a,AC=b,AB=c,由余弦定理, = , = , = ,由余弦定理,

得 b2=a2+c2-2accos B, , ∴22=a2+(2 3)2-2a×2 3cos 30°, × , 即 a2-6a+8=0,解得 a=2 或 a=4. + = , = = 讨论 a 值: 可组成三角形; 可组成三角形 当 a=2 时,三边为 2,2,2 3可组成三角形; = 也可组成三角形. 当 a=4 时,三边为 4,2,2 3也可组成三角形. = 也可组成三角形 满足条件的三角形有两个. ∴满足条件的三角形有两个.

对点讲练
一、利用正、余弦定理证明三角恒等式 利用正、 2 2 2 tan A a +c -b 求证: . 例 1 在△ABC 中,求证: = tan B b2+c2-a2 分析 左边为角,且为正切函数,所以先切化弦,再 利用正、余弦定理化为边;也可将右边的关系通过变 形转化为角的关系,再运用余弦定理、正弦定理变形 化为角,从而解决问题. sin A cos A sin Acos B 证明 方法一 左边= = sin B sin Bcos A cos B a2+c2-b2 a2+c2-b2 2ac a = 2 2 2= 2 2 =右边, b b +c -a b +c -a2 2bc

a2+c2-b2 tan A . 所以tan B= 2 2 b +c -a2 a2+c2-b2 a2+c2-b2 2ac a 2ac 2ac 右边= 方法二 右边= 2 2 = 2 2 2 b +c -a b +c -a2 2bc b 2bc 2bc cos B sin A sin A cos B =cos Asin B=cos A sin B tan A 左边, =tan B=左边, 2 2 2 tan A a +c -b . 所以tan B= 2 2 b +c -a2 总结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数
式的差异.形式上一般有:左右;右左或左中 右三种.

变式训练 1

在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、 、 、 、 、

C 的对边, 的对边, - cos B c-bcos A 求证: . 求证:cos C= b-ccos A -

a2+c2-b2 b(a2+c2-b2) 2ac 证明 方法一 左边= 2 = a +b2-c2 c(a2+b2-c2) 2ab b2+c2-a2 c-b 2bc b(a2+c2-b2) 右边= = b2+c2-a2 c(a2+b2-c2) b-c 2bc ∴等式成立. 2Rsin C-2Rsin Bcos A 方法二 右边= 2Rsin B-2Rsin Ccos A sin(A+B)-sin Bcos A sin Acos B = =sin Acos C=左边 sin(A+C)-sin Ccos A ∴等式成立.

利用正、 二、利用正、余弦定理判断三角形形状 例 2 在△ABC 中,若 B=60°,2b=a+c,试判断 = , = + , 的形状. △ABC 的形状.
解 方法一 根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. ∵B=60°,2b=a+c, a+c 2 ∴ =a2+c2-2accos 60°, 2 整理得(a-c)2=0,∴a=c. ∴△ABC 是正三角形.

方法二

根据正弦定理, 根据正弦定理,

2b=a+c 可转化为 2sin B=sin A+sin C. = + = + 又∵B=60°,∴A+C=120°. = , + = ∴C=120°-A,∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A), = - , = + - , 整理得 sin(A+30°)=1,∴A=60°,C=60°. + = , = , = ∴△ABC 是正三角形. 是正三角形. ∴△
总结 题中边的大小没有明确给出,而是通过一个关 系式来确定的,可以考虑利用正弦定理将边的关系转 化为角的关系,也可以利用余弦定理将边、角关系转 化为边的关系来判断.

已知(a+ + 变式训练 2 在△ABC 中,已知 +b+c)(b+c-a)= + - = 3bc,且 sin A=2sin Bcos C,试确定△ABC 的形状. , 的形状. = ,试确定△

解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得 b2+2bc+c2-a2=3bc, b2+c2-a2 bc 1 = = , 即 a2=b2+c2-bc,∴cos A= 2bc 2bc 2 π ∴A=3.又 sin A=2sin Bcos C. a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b 2ab = , a ∴b2=c2,b=c,∴△ABC 为等边三角形.

三、利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题 利用正、 例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 , , , ,
3 边,cos B = 5 , AB BC =-21. 且

(1)求△ABC 的面积; 求 的面积; (2)若 a=7,求角 C. 若 = , 解 (1) ∵ AB BC =-21,∴ BA BC =21. ∴ BA BC = | BA | | BC | cos B=accos B=21. 3 4 ∴ac=35,∵cos B= ,∴sin B= . 5 5 1 1 4 ∴S△ABC= acsin B= ×35× =14. 2 2 5

(2)ac=35,a=7,∴c=5. = , = , = 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=32, = , c b 由正弦定理: . ∴b=4 2.由正弦定理: = 由正弦定理 = sin C sin B c 5 4 2 ∴sin C=bsin B= = = × = . 4 2 5 2 ∵c<b 且 B 为锐角,∴C 一定是锐角.∴C=45°. 为锐角, 一定是锐角. =
总结 系. 这是一道向量,正、余弦定理的综合题,解题 的关键是化去向量的“伪装”,找到三角形的边角关

变式训练 3 △ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 、 、 3 2 a、b、c,已知 b =ac 且 cos B= . 、 、 , = 4 1 1 (1)求 的值; 求 + 的值; tan A tan C 3 BA BC = ,求 a+c 的值. (2) 设 + 的值. 2 3 3 7 2= 解 (1)由 cos B=4,得 sin B= 1- 4 4. 由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是tan A+tan C= sin A + sin C sin Ccos A+cos Csin A sin(A+C) = = sin2B sin Asin C sin B 1 4 7 = 2 = = . 7 sin B sin B

3 3 (2)由 BA BC =2得 cacos B=2, ) = 3 由 cos B= ,可得 ca=2,即 b2=2. = = , 4 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, , 得 a2+c2=b2+2accos B=5, = , ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9, + = + = , ∴a+c=3. + =

课堂小结 1.解斜三角形的常见类型及解法 . 在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边 才 个元素中要已知三个 至少有一边)才 至少有一边 能求解,常见类型及其解法见下表: 能求解,常见类型及其解法见下表:
已知条件 一边和两角(如 , 一边和两角 如a, B,C) , 两边和夹角 (如a,b,C) 如 , , 应用定 理 正弦定 理 余弦定 理正弦 定理 一般解法 由A+B+C=180°,求角 ;由正弦 + + = ° 求角A; 定理求出b与 在有解时只有一解 在有解时只有一解. 定理求出 与c.在有解时只有一解. 由余弦定理求第三边c; 由余弦定理求第三边 ;由正弦定理求 出小边所对的角;再由A+ + = 出小边所对的角;再由 +B+C= 180°求出另一角.在有解时只有一 °求出另一角. 解.

三边(a, , 三边 ,b,c) 两边和其中一边 的对角(如 , , 的对角 如a,b, A)

余弦定 理 正弦定 理余弦 定理

由余弦定理求出角A、 ;再利用A+ 由余弦定理求出角 、B;再利用 +B +C=180°,求出角 = ° 求出角C. 在有解时只有一解. 在有解时只有一解. 由正弦定理求出角B; 由正弦定理求出角 ;由A+B+C= + + = 180°,求出角 ;再利用正弦定理或 ° 求出角C; 余弦定理求c.可有两解 一解或无解. 可有两解、 余弦定理求 可有两解、一解或无解

2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径 根据所给条件确定三角形的形状, 根据所给条件确定三角形的形状 (1)化边为角; 化边为角; 化边为角 (2)化角为边,并常用正弦(余弦 定理实施边、角转换. 化角为边,并常用正弦 余弦 定理实施边、 转换. 余弦)定理实施边 化角为边

课时作业
一、选择题 1.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的 . = , 形状一定是 A.等腰直角三角形 . C.等腰三角形 . B.直角三角形 . D.等边三角形 . ( C )

2.在△ABC 中,若 b2=a2+c2+ac,则 B 等于 C ) . 等于( , A.60° . C.120° . B.45°或 135° . 或 D.30° .

3.△ABC 的三边分别为 a,b,c 且满足 b2=ac,2b=a . ,, = +c,则此三角形是 , A.等腰三角形 . C.等腰直角三角形 . B.直角三角形 . D.等边三角形 . ( D )

解析

∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,即(a-c)2=0.

∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即 a=b=c.

4.在△ABC 中,若 a2=bc,则角 A 是 . , A.锐角 . B.钝角 . C.直角 . D.60° .

( A )

b2+c2-a2 b2+c2-bc 解析 cos A A= 2bc = 2bc c2 3c2 b- + 2 4 = >0,∴0°<A<90°. 2bc

5. .如果将直角三角形的三边增加同样的长度, 如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三 角形的形状是 A.锐角三角形 . B.直角三角形 . ( A )

C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 . . 解析 设直角三角形三边为 a,b,c,且 a2+b2=c2,

则(a+x)2 +(b+x)2 -(c+x)2 =a2 +b2 +2x2 +2(a+b)x -c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0, ∴c+x 所对的最大角变为锐角.

二、填空题 6.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60°,则 .已知△ , = , = ,

12 的周长是________. △ABC 的周长是 . 1 解析 S△ABC=2ABACsin A 1 =2ABACsin 60°=2 3, ∴ABAC=8, BC2=AB2+AC2-2ABACcos A =AB2+AC2-ABAC =(AB+AC)2-3ABAC. ∴(AB+AC)2=BC2+3ABAC=49, ∴AB+AC=7,周长为 12.

7.在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin A=- 2,并 . =-lg , - = =- 为锐角, 三角形. 直角 三角形 且 A 为锐角,则△ABC 为_____三角形.

解析 ∵lg a-lg c=lg sin A=-lg 2, a 2 ∴ c=sin A= 2 ,∵A 为锐角, c ∴A=45°,∵sin C=asin A= 2×sin 45°=1, ∴C=90°.

π 8.在△ABC 中,BC=1,∠B= ,当△ABC 的面积 . = , = 3 等于 3时,tan C=______. 时 = 2 3 1 解析 S△ABC=2acsin B= 3,∴c=4. 由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B=13, a2+b2-c2 1 12 ∴cos C= 2ab =- ,sin C= , 13 13 ∴tan C=- 12=-2 3.

三、解答题 a2-b2 sin(A-B) - 9.在△ABC 中,求证: 2 = 求证: . . c sin C
sin Acos B-cos Asin B 证明 右边= sin C sin B sin A cos B- cos A = sin C sin C 2 2 2 2 2 2 a a +c -b b b +c -a = c 2ac -c 2bc a2+c2-b2 b2+c2-a2 = - 2c2 2c2 a2-b2 = c2 =左边. a2-b2 sin(A-B) 所以 2 = . c sin C

2 5 10.在△ABC 中,∠B=45°,AC= 10,cos C= . . = , = , = 5 (1)求边 BC 的长; 求边 的长; (2)记 AB 的中点为 D,求中线 CD 的长. 记 的长. ,
2 5 5 解 (1)由 cos C= 5 ,得 sin C= 5 . sin A=sin(180°-45°-C) 2 3 10 = 2 (cos C+sin C)= 10 . AC 由正弦定理知 BC= sin A sin B 10 3 10 = 10 =3 2. 2 2

AC 10 5 (2)AB= sin C= =2, = = , sin B 2 5 2 1 BD= AB=1. = = 2 由余弦定理知 CD= BD2+BC2-2BDBCcos B = = 2 1+18-2×1×3 2× = 13. + - × × × 2



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