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2013-9-23武汉市部分重点中学2013年至2014年度高二上学期期中联考



武汉市部分重点中学 2013 至 2014 学年度高二上学期期中联考 理科数学试题 一、单项选择题(每题 5 分,共 50 分)
1. 已知 m,n 为空间不同的两直线,α 、β 、γ 为空间不同的三个平面,那么 下列命题中真命题为() A、若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β B、若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β C、若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则

m⊥n D、若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n∥γ,则 m⊥n 2. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± 2 ,且双曲线的焦点在 y 轴上,则其离心率 为() A、 5 B、 2
5

C、 5或

5 2

D、以上均不对

3. 三个平面两两相交,有三条不同的交线,如果这三条交线交于一点,那么这 三个平面把空间分成的部分数为() A、6 B、7 C、8 D、9

4. 已知椭圆的中心为 A,一焦点为 F,若椭圆上存在点 P 使得△PAF 为正三角 形,则椭圆的离心率等于() A、2
1

B、 3-1

C、2- 3

D、 2

2

5. 给出下列三个判断: (1)若直线 a 上存在两点到平面 β 的距离相等,那么 a∥β (2)若平面 β 内存在无穷多条直线与α垂直,那么α⊥β (3)对任意直线 a 与任意平面 β ,则 β 内必存在无穷多条直线与 a 垂直 (4)若平面α上存在不共线的三个点到平面 β 的距离相等,那么α∥β 以上命题中真命题个数为() A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

6. P 为椭圆 8 +

2

2 4

= 1上的点,1 ,2 分为左、 右焦点, 若△P1 2 为直角三角形,

那么点 P 共有() A、4 个 B、6 个 C、8 个
2

D、5 个
2

7. 若直线 3+4+m=0(m∈R)与双曲线 2 ? 2 = 1总有公共点, 那么双曲线的离心 率的取值范围为() A、e > 3
5

B、1 < < 3

5

C、e > 4

5

D、1 < < 4

5

8. 正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 AB1 与平面 ABC1D1 所成角的最大值为() A、30° B、45° C、60° D、无法确定


9. 设 A、B 为抛物线 2 = 2(p > 0)上两点,∠AOB= 2 ,如果原点在直线 AB 上的射影为点 C(2,1) ,那么 p 等于() A、2 B、2
3

C、2

5

D、4
6

5

10. △ABC 的三边长分别为 3、4、5,如果三顶点 A、B、C 到平面α的距离均为5, 那么满足条件的平面α共有() A、2 个 B、5 个 C、7 个 D、8 个

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 。
11. 抛物线y =
2 8

+ 1的焦点坐标为_____________

12. 正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 6, 侧棱长等于 4, 那么其体积等于_________; 直线 SA 与 BC 所成角的余弦值等于______________ 13. 如果方程 +4 ? +3 = 1表示双曲线,那么实数 m 的取值范围为__________ 14. 如果一个几何体的正视图、左视图、俯视图均为右图所示的 直角边为 2 的等腰直角三角形,那么该几何体外接球的表面 积为__________ 15. 如果一椭圆两焦点分别为 A(2,5)与 B(10,1) ,且椭圆与 X 轴仅一公共 点 P,那么椭圆的长轴长等于__________
2 2

三、解答题(12 分+12 分+12 分+12 分+13 分+14 分=75 分)
16. 求证:如果一条直线平行一个平面,那么该直线与该平面的垂线垂直(要求 写出已知、求证,共 12 分)

17. 设 P 为椭圆 2 + 2 = 1(a > > 0)上动点,1 、2 分为左、右焦点,如果 1 ? 2 的取值集合为[-2,1](6 分+6 分=12 分) (1)求椭圆的方程; (2)设 T(t,0) ,t∈(0,2) ,求线段│PT│的最小值 f(t)

2

2

18. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 CC1 的中点(6 分+6 分=12 分) (1)求直线 ED1 与 A1D 所成的角的余弦值; (2)在线段 B1C1 上是否存在点 F,使 A1F∥平面 AED1,若存在,指出点 F 的 位置,若不存在,说明理由

19. 已知双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为 3,且双曲 线过点(2,3) 分+7 分=12 分) (5 (1)求双曲线的方程; (2)过双曲线的右焦点 F 的直线 与其交于 A,B 两点,C(-1,0) ,如果 │AC│=│BC│,求直线 的方程

2

2

20. 四棱锥 S-ABCD 的底面为矩形,且平面 SAB 与平面 SAD 均与底面垂直, = λ ,SA=AD= 2(4 分+4 分+5 分=13 分) (1)求证:平面 ASD⊥平面 CSD; (2)如果λ = 1,求证:BE⊥AC; (3)如果二面角 E-AC-D 为 30°,求λ的值

21. 已知动圆 P 过点 T(2,0) ,且圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 4 (4 分+3 分+7 分=14 分) (1)求动圆的圆心 P 的轨迹 G 的方程; (2)设过 T(2,0)的直线 与曲线 G 交于 A、B 两点,且 的斜率为 1,又 F (1,0) Ⅰ.判断△FAB 的形状; Ⅱ.求△FAB 外接圆的方程



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