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福建省泉州五校2015届高三上学期摸底联考数学(理)试题



福建省泉州五校 2015 届高三上学期摸底联考数学理试卷第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A A. {0, ?1} B. {?1,1} C. {

? 1}

B 为(

) D. {0} )

2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 B.1 C.2 D.1 或 -2 )

3. 在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积( A 、 3 B、 2 3

C、

2 3 3

D、

4 3 3

[来源:Zxxk.Com]

4.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e
x0

) B. ?x ? R,2 ? x
x
2 2

?0

2

1 C. x ? ? 2 x
5.

( a ? b) 2 , a, b ? R D. a ? b ? 2


函数 y ? loga (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是(

A B C D 6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一组实验数据: x 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中 y 最接近的一个是 ( )

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

A. y ? 2 x ? 2 C. y ? log2 x

1 2 ( x ? 1) 2 1 x D. y ? ( ) 2
B. y ? )

7.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m
2

B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?

8. 如图过拋物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A, B,C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|

=3,则拋物线的方程为( A. y ?
2

) B

3 x 2 9 x 2

y 2 ? 3x
2

C. y ?
2

D. y ? 9 x

9. 设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕ 方程式 相异实根的个数 1 3 3 1 1 ) D. 10 ? ? ? 20 ﹒

f ? x ? ? 20 ? 0 f ? x ? ?10 ? 0
f ? x? ? 0

f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x ? ? 20 ? 0
关于 f 的极小值 ? ﹐试问下列哪一个选项是正确的( A. ?20 ? ? ? ?10 B. ?10 ? ? ? 0 10. C. 0 ? ? ? 10

将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所

构成的两个正 三角形扣除内部六条线段后可以形成一正 六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 x ﹐ y 分别为原点 O 到 两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最大值为( A. 2 B. 3 C. 4 ) D. 5

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的 体积是 .

12. 已 知 两 个 单 位 向 量 a , b 的 夹 角 为 30° , c ? t a ? b , d ? a ? t b . 若 c ? d ? 0 , 则 正 实 数

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t =____________

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 13. 若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0,

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,

则 a-b 的值是____________
14 、函数 y ? loga (x ? 3)? 1(a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中

mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

15、2008 年高考福建省理科数学第 11 题是: “双曲线

x2 y 2 - =1( a ? 0,b ? 0 )的两个焦点为 F1 、F2 , a 2 b2

若 P 为其上一点,且 | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则双曲线离心率的取值范围为:A.(1,3);B.(1,3];C.(3, +∞);D.[3,+∞)”其正确选项是 B。若 将其中的条件“ | PF 1 |? 2 | PF 2 | ”更换为“ | PF 1 |? k | PF 2 |,

k ? 0 且 k ? 1 ”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。) 16. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 向 量 m ? (2 cos x, sin x) , n ? (cosx,2 3 cos x)

? x ? R? , 设 函 数

f ( x) ? m ? n ? 1. (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间;
(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 若 f ( A) ? 2 , B ?

?
4

,边 AB ? 3 ,求边 BC .

17.(本小题满分 13 分)已知等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3, a3 ? 7 ,其前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等 比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 32, . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明 18.(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 , 平 面 ABC ? 平 面 AA1C1C ,

1 1 1 3 ? ?? ? ? . s1 s2 sn 4

AB ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD ? A1 B ,

A1 B1 C1 A B C

并求

BD 的值。 BC1

19.(本小题满分 13 分)设椭圆 E: (I)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a,b>0) ,短轴长为 4,离心率为 ,O 为坐标原点, 2 2 a b

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若 存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取 值范围; (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 2 且 x ? e 时,试比较

y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多做,则 按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑,并将所选题号填入 括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(2,-2)与(-4,2)分别变换成点(-2,-2)与(0,-4). ①求矩阵 M; ②设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=6,求 l 的方程. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合.若曲线 C1 的方程为

? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ?
(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程;

? 6

? x ? cos ? , ? y ? sin ? .

(Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+3|-|x-2|. ①求不等式 f(x)≥3 的解集;
[来源:学§科§网]

②若 f(x) ≥ |a-4|有解,求 a 的取值范围.

2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班 摸底统一考试答案
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A A. {0, ?1} B. {?1,1} C. {? 1}

B 为(

) D. {0}

解析:∵ A ? {1, ?1}, B ? {0, ?1} ∴ A

B = {? 1} ,选 C.


2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 解析: ? B.1 C.2 D.1 或 -2

2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 即 a ? ?2 ,故选择答案 A 2 ? a ? 3 a ? 2 ? 0 ?

3. 在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 , 则 ?ABC 的面积( A 、 3 B、 2 3

)

C、

2 3 3

D、

4 3 3

解析:改编自 2014 福建理科高考 12 题,考查三角形的解法和面积公式,答案 C 4.下列命题中,真命题是( ) A. ?x0 ? R, e
x0

?0

B. ?x ? R,2 ? x
x
2 2

2

1 C. x ? ? 2 x
解析:答案为 D 5.

( a ? b) 2 , a, b ? R D. a ? b ? 2

函数 y ? loga (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是(



A B 解析:该函数为偶函数,答案为 B

C



6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一组实验数据: 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中 最接近的一个是 ( )

x

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

y

B. y ? 2 x ? 2 C.C. y ? log2 x

1 2 ( x ? 1) 2 1 x D. y ? ( ) 2
B. y ?

解析:由该表提供的信息知,该模拟函数在 (0, ??) 应为增函数,故排除 D,将 x ? 3 、4?代入选项 A、B、 C 易得 B 最接近,故答案应选 B.

7.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?



解析:对于 A, l // n 或 l , n 异面,所以错误;对于 B, l 与 ? 可能相交可能平行,所以错误;对于 C, l 与 m 还可能异面或相交,所以错误.故答案应选 D

8. 如图过拋物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A, B,C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF| =3,则拋物线的方程为( A. y ?
2

2

) B

3 x 2 9 x 2

y 2 ? 3x
D. y ? 9 x
2

C. y ?
2

【答案】B 解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,

设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形ACE中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴

1 2 3 ? ,求得p= ,因此抛物线方程为y2=3x. p 3 2

9. 设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕

方程式

相异实根的个数 1 3 3 1
[来源:学。科。网]

f ? x ? ? 20 ? 0

f ? x ? ?10 ? 0 f ? x? ? 0 f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x ? ? 20 ? 0
关于 f 的极小值 ? ﹐试问下列哪一个选项是正确的( A. ?20 ? ? ? ?10 解析﹕ B. ?10 ? ? ? 0 C. 0 ? ? ? 10

1 ) D. 10 ? ? ? 20 ﹒

「方程式 f ( x) ? k ? 0 ? f ( x) ? k 的相异实根数」等于「函数 y ? f ( x) 与水平线 y ? k 两图形的交点 数﹒」 依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕ (1) 当 f ( x ) 的最高次项系数为正时﹕ (2) 当 f ( x ) 的最高次项系数为负时﹕

因 极 小 值 点 A 位 于 水 平 线 y ? 0 与 y ? ?10 之 间 ﹐ 所 以 其 y 坐 标 ? ( 即 极 小 值 ) 的 范 围 为

?10 ? ? ? 0 ﹒ 故选(B)﹒
10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除

内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐ 其中 x ﹐ y 分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点 的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最大值为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

解析﹕因为想求 a ? b 的最大值﹐所以考虑图中的 6 个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕ (1) 因为 OA ? x ﹐所以 ? a, b ? ? ?1,0? ﹒ (2) 因为 OB ? OF ? FB ? y ? 3 x ﹐所以 ? a, b ? ? ? 3,1? ﹒ (3) 因为 OC ? OF ? FC ? y ? 2 x ﹐所以 ? a, b ? ? ? 2,1? ﹒ (4) 因为 OD ? OF ? FE ? ED ? y ? x ? OC ? y ? x ? ? y ? 2 x ? ? 2 y ? 3 x ﹐

? ?

? ?

所以 ? a, b? ? ?3,2? ﹒ (5)因为 OE ? OF ? FE ? y ? x ﹐所以 ? a, b ? ? ?1,1? ﹒ (6)因为 OF ? y ﹐所以 ? a, b ? ? ? 0,1? ﹒ 因此﹐ a ? b 的最大值为 3 ? 2 ? 5 ﹒故选 D﹒

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
三、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的体积是 解析:由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为 体积为 ? 6 ? 2 ? 4 , .

1 ? 4 ? 3 ? 6 ,由侧视图可知棱锥的高为 2,所以棱锥的 2

1 3

13. 已 知 两 个 单 位 向 量 a , b 的 夹 角 为 30° , c ? t a ? b , d ? a ? t b . 若 c ? d ? 0 , 则 正 实 数

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t =____________
解析:t=1 x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0,

13.

且 z=5 y-x 的最大值为 a,最小值为 b,

a-b 的值是____________ 解析: 本题主要考查线性规划的应用, 意在考查考生对基础知识的掌握. 约 x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 束条件? x≥0, ? ?y≥0

表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)为顶点的四边形区

域,检验四个顶点的坐标可知,当 x=4,y=4 时,a=zmax=5×4-4=16; 当 x=8,y=0 时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24. 14、函数 y ? log a ( x ? 3) ?1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 mn ? 0 ,则 2007 山东卷改编答案:4

1 2 ? 的最小值为 m n

x2 y 2 15、2008 年高考福建省理科数学第 11 题是: “双曲线 2 - 2 =1( a ? 0,b ? 0 )的两个焦点为 F1 、 F2 , a b
若 P 为其上一点,且 | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则双曲线离心率的取值范围为:A.(1,3);B.(1,3];C.(3, +∞);D.[3,+∞)”其正确选项是 B。若将其中的条件“ | PF 1 |? 2 | PF 2 | ”更换为“ | PF 1 |? k | PF 2 |,

k ? 0 且 k ? 1 ”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是
答案: (1,

k ?1 ] | k ? 1|

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 16. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 向 量 m ? (2 c o s x, s i nx) , n ? (cosx,2 3 cos x)

? x ? R? , 设 函 数

f ( x) ? m ? n ? 1. (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间;

[来源:学科网ZXXK]

(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 若 f ( A) ? 2 , B ? 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 1

?
4

,边 AB ? 3 ,求边 BC .

? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2 x . ? ? 2 sin( 2 x ? ) ??????????4分 6 ? ? ? ∵ x ? R,由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? 得 2 6 2 ? ? ? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) ??? 6分 3 6 ? ? ? ? ∴函数 f ? x ? 的单调增区间为. ?? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) ????????7分 6 ? 3 ?
(2)∵ f ( A) ? 2 ,即 2 sin( 2 A ? 又B ?

?
6

) ? 2 ,∵角 A 为锐角,得 A ?

?
6

, ??? 9分

?
4

,∴ C ?

7 7? ? ? ? ,∴ sin C ? sin ? sin( ? ) ? 12 12 4 3

6? 2 4
??? 13分

∵ AB ? 3 ,由正弦定理 得 BC ?

AB sin A 3( 6 ? 2) ? sin C 2

本题由练习改编,考查向量的坐标运算,三角恒等变换,及正弦定理的应用。 17.(本小题满分 13 分)已知等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3, a3 ? 7 ,其前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等 比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 32, . (Ⅰ)求 an 与 bn ;

(Ⅱ)证明

1 1 1 3 ? ?? ? ? . s1 s2 sn 4

解: (1)设 ?an } 的公差为 d ,且 d ? 0; ?bn } 的公比为 q

? an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? 2q n ?1 ? a3 ? 3 ? 2d ? 7 S 2b2 ? (6 ? d ) ? 2q ? 32 ?d ? 2 ?? ?q ? 2
?an ? 2n ? 1, bn ? 2n ???????7 分 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ,???9 分


1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
? 1 1 ? ) n n?2

?

1 n(n ? 2)

? ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

3 2n ? 3 3 1 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? ? ???????13 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4

19.(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 , 平 面 ABC ? 平 面 AA1C1C ,

AB ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值; (3) 证明: 在线段 BC1 上存在点 D , 使得 AD ? A1 B , 并求

A1 B1 C1

BD 的值。 BC1
C

A B

解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA1⊥平面ABC.??? 3分 (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 点建立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ?

如图,以 A 为原

? ? n ? A1 B ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0

,即 ?

?3 y ? 4 z ? 0 , 4x ? 0 ?

令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) .??? 6 分 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题知二面角 A1-BC1 ? | n || m | 25

-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 .??? 8 分 25

(III) 设 D ( x, y, z ) 是直线 BC1 上一点,且 BD ? ? BC1 . 所以 ( x , y ? 3, z ) ? ? (4, . 解得 x ? 4? , ? 3, 4)

y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
所以 AD ? (4?,3 ? 3?, 4? ) . 由 AD· A1B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? 因为

9 .??? 11 分 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 .??? 13 分 ?? ? BC1 25

x2 y 2 2 19.(本小题满分 13 分)设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0) ,短轴长为 4,离心率为 ,O 为坐标原点, 2 a b
(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若 存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a,b>0),b=2, e= 2 2 a b

所以解得所以 ?

?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? 1 ??? 5 分 椭圆 E 的方程为 2 8 4 ?b ? 4

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,

? y ? kx ? m ? 2 2 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 , 即 ?1 ? ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

??? 7 分
2 2

2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ② ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2



使 OA ? OB , 需 使 x1 x2? y1 y ? 20 , 即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 , 所 以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k2 ?
线

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或m? ? ,因为直 3 8 3 3 ?3m ? 8

y ? kx ? m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,??? 11 分 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 2 6 或m? ? ,而当切线的斜率不存在时切线 为 x ? ? 与 3 3 3

椭圆

2 6 2 6 2 6 2 6 x2 y 2 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点 8 4 3 3 3 3
2 2

的圆 x ? y ?

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .??? 13 分 3

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

解:(Ⅰ) 当 ∴ 当 ∴ ∴当 当 时, 在 时, 在 时 时, 在

, 上恒成立,函数 在 单调递减, 上没有极值点; 得 上递减,在 在 在 在 , 得 上递增,即 , 在 处有极小值.

上没有极值点, 上有一个极值点.??? 4 分 处取得极值,

(Ⅱ)∵函数

∴ ∴ 令 ∴

, , ,可得 ,即 在 上递减,在 .??? 9 分 , 在 时, 时, , 时, ??? 14 分 上单调递减,则 > ,即 在 上单调递减 . 上递增,

(Ⅲ)解:令 由(Ⅱ)可知 ∴当 当 ∴ 当 ∴

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多做,则 按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入 括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(2,-2)与(-4,2)分别变换成点(-2,-2)与(0,-4). ①求矩阵 M; ②设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=6,求 l 的方程. 解 (1)设 M=?
? ?a-b=-1 ?-2a+b=0 ?a b?,所以? ? ,且? , ? ?c d ? ?c-d=-1 ?-2c+d=-2 ? ?

a=1 ? ?b=2 解得? c=3 ? ?d=4 (2)因为?

,所以 M=?

?1 2?.??? 4 分 ? ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? ?=? ?? ?=? ? ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

且 m:x′-y′=6,所以(x+2y)-(3x+4y)=6, 即 x+y+3=0,∴直线 l 的方程是 x+y+3=0??? 7 分 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合.若曲线 C1 的方程为

? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ?
(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程;

? 6

? x ? cos ? , ? y ? sin ? .

(Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 解: (Ⅰ)由已知得 ? ?
3 1 sin ? ? ? ? cos ? ? 2 3 ? 0 ,即 x ? 3 y ? 4 3 ? 0 ???3 分 2 2

(Ⅱ)由 C2 得 x2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心为 C2 (0, 0) ,半径为 1. 又圆心到直线 C1 的距离为 d ? 2 3 ,???????5 分 所以 PQ 的最大值为 2 3 ? 1 .??????????7 分 (4)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+3|-|x-2|. ①求不等式 f(x)≥3 的解集; ②若 f(x) ≥ |a-4|有解,求 a 的取值范围. 解:(1) (2) [1, + ? ) ??? 3 分 |a-4|≤5 ∴-1≤a≤9??? 7 分



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