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§3.1 不等关系与不等式(一)



第三章 不等式

§3.1 不等关系与不等式(一)

一.问题情境

实际生活中

长短

轻重

大小

高矮

远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰

你能发现下列成语、谚语中反映的不等关

系吗?

雷声大,雨点小
捡了芝麻,丢了西瓜

道高一尺,魔高一丈
三个臭皮匠,抵过一个诸葛亮

说一说

我们生活中的到处都有不等关系 在数学中我们如何表示不等关系?

用“﹥”或“﹤”填空:

(1)

(2)

? 5____-3 ? 5+2____-3+2 ? 5-2____-3-2

? -4____-2 ? -4+2____-2+2 ? -4-2____-2-2

1、天气预报说:明天的最高气温为13℃,最 低气温为7℃,则温度t必须满足什么?

7℃≤t≤13℃
2、a是一个非负实数。

a≥0(a∈R)

3. 雷电的温度大约是28000℃,比太阳 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t ℃, 那么t应满足怎样的关系式?

4.5t<28000

4. 这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量(f) 蛋白质含量(p)

不少于2.5%

不少于2.3%

用数学关系来反映就是:

? f ? 2 .5 % ? ? p ? 2 .3 %

5.设点A与平面α 的距离为d,B为平面α 上的任意 一点,则d与|AB|的大小关系怎样表示?

A d
B

d≤|AB|

必修5

第74页

a +b ≥ 0

h?4

数学应用
例1.博物馆的门票每张10元,20人以上(含20人) 的团体票8折优惠,那在不足20人时,选择怎样的 购票策略?(不求解) 问题:如果19人去该如何购票? 19人的普通票花费 190元 160元

若选择20人的团体票花费

是否选择团体票就一定实惠?

那么满足什么样的不等关系时,消费 者能得到更大实惠?

数学应用 例1.博物馆的门票每张10元,20人以上(含 20人)的团体票8折优惠,那在不足20人时, 选择怎样的购票策略?(不求解)
解:设x人(x<20)买20人的团体票比普通票便 宜,则有

8×20≤10x (这是一次不等式问题)

数学应用 例.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出 8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就 可能相应减少2000本。若每本定价x元,怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少:

X-2.5 × 0.2 万本 0.1
因此,销售总收入为:

8-

X-2.5 0.1

× 0.2 X 万元

数学应用 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若每本提价0.1元,怎 样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? ∴用不等式表示为:

8化简得:

X-2.5 × 0.2 X ≥20 0.1

200 x ? 300 x ? 0
2

(这是一个一元二次不等式问题)

问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格.按照生产 的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢?

(1)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍;

(2)截得两种钢管的总长度不能超过 4000mm;

(3)截得两种钢管的数量都不能为负.

问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格.按照生产的要求, 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?

?500 x ? 600 y ? 4000 ?3 x ? y ? (这是一个一元一次不 ? 等式组问题) x?0 ? ?y ? 0 ?

建构数学

实际问题:不等关系
抽象

概括

刻画

数学问题:不等式

什么是不等式(组)
用不等号(?, ?, ?, ?, ?)表示不等关系的式子 叫作不等式。

用不等号“?” ?”表示不等关系的式子叫作 “ , 严格不等式。

用不等号“?” ?”表示不等关系的式子叫作 “ , 非严格不等式。



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