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空间的平行与垂直



空间的平行与垂直 一、教学目标: 1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和 性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的问题,并会规范地写出解题过 程。 2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理和 性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的问题,并会规范地写出解题过 程。 3.初步掌握“立几”中“探索性” “发散性”等问题的解法 4.提

高立体几何综合运用能力,能正确地分析出几何体中基本元素及其 相互关系,能对图形进行分解、组合和变形。 二、教学重点: 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质,会利 用上述知识论证和解决有关问题。 三、教学过程: 1.一轮回顾 1.已知直线 a、b、l 及平面 M、N。给出下列四个命题 ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b ②若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M ③若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M ④若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N 其中真命题的序号是______④_______.(将所有正确结论的序号都写上) 2.已知 m,l 是直线,α,β是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于α内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l 平行于α,则 l 平行于α内的所有直线; ③四面体中最多可以有四个面是直角三角形; ④若 m ? α且 l⊥β, 且α∥β则 m ? l 其中正确命题的是 ①③④ 。 3.如图,两个正方形 ABCD 和 ADEF 所在平面互相垂直,设 M 、 N 分别是 BD 和 AE 的中点,那么① AD ? MN ;② MN // 面 CDE ;③ MN // CE ;④ MN 、 CE 异面 其中正确结论的序号是__①②③___________.
F N A B M C D E

4. 在正方体 AC1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 、F 、G 、H 分别为棱 AA1 、BB1 、

CC1 、 DD1 的中点,请写出一个与 AO 1 垂直的正方体的截面_________ GDB (或 AFC1 或 ED1B1 ).(截面以给定的字母表示,不必写出所有情况)
5.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD ,那么在该 图中,互相垂直的平面有__ 7 _________对.
P

A B O C

D

6.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面.给 出下列的四个命题: ① 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ② 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ; ④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? ,则 ? // ? , 其中真命题是 ①和④ 2.典型例题 例 1.在棱长为 a 的正方体 AC1 中。 (1)求证: B1D1 // 面 C1BD ; (2)求证:面 AB1D1 // 面 C1BD ; (3)求证: AC ? 面 C1BD ; 1 (4)求证:面 C1BD ? 面 ACC1 A1 ; (5)求三棱锥 B ? AC 1 1 D 的体积。

例 2.如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在

CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 ,

(1)求证: E, B, F , D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?
2 ,点 M 在 BB1 上, 3

GM ? BF ,垂足为 H ,求证: EM ? 面 BCC1B1

D1

A1

C1
F D

B1
E

M H

A

C

G

B

解: (1)证明:在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1,连接 CN,EN,显然四边形 CFD 1 N 是平行四边形,所以 D 1 F//CN,同理四边形 DNEA 是平行四边形,所以 EN//AD, 且 EN=AD,又 BC//AD,且 AD=BC,所以 EN//BC,EN=BC,所以四边形 CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE,所以 D 1 F//BE,所以 E, B, F , D1 四点共面。

2 MB BG MB 3 ? (2) 因为 GM ? BF 所以 ?BCF ∽ ? MBG, 所以 , 即 所以 MB=1, ? , BC CF 3 2
因为 AE=1, 所以四边形 ABME 是矩形, 所以 EM⊥BB 1 又平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1 , 且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内,所以 EM ? 面 BCC1B1 例 3. (2006 天津文,19)如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角 1 线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱 EF∥ BC 。 2 (I)证明 FO∥平面 CDE; ; (II)证明平面 OEF⊥平面 CDF . (II)设 BC ? 3CD, 证明 EO ? 平面 CDF .

F

E

A O B C M

D

证明: (I)取 CD 中点 M,连结 OM。 在矩形 ABCD 中,
1 1 OM ∥ BC , 又 EF∥ BC , 2 2

则 EF∥ OM . 连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形。
? FO∥EM.

又 FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE,
? FO∥ 平面 CDE。 (II)由(I)和已知条件,四边形 EFOM 为平行四边形。

CD ? OM , CD ? EM ,?CD ? 平面 EFOM

而, CD ? 平面 CDF . 故,平面 EFOM⊥平面 CDF . 即平面 OEF⊥平面 CDF . (III)连结 FM。 由(I)和已知条件,在等边 ?CDE 中, CM ? DM , EM ? CD 且 EM ?
3 1 CD ? BC ? EF . 2 2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO ? FM 。
CD ? OM , CD ? EM ,?CD ? 平面 EOM,从而 CD ? EO.

而 FM

CD ? M , 所以 EO ? 平面 CDF .

由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 平行问题的转化: 面面平行 线面平行 线线平行; 主要依据是有关定义及判定定理和性质定理. 垂直问题的转化: 面面垂直 线面垂直 线线垂直; 主要依据是有关定义及判定定理和性质定理. 例 4.如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,

已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ⊥ DC,AB ∥ DC . (1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E ∥平面

A1BD ,并说明理由. D1 D1 A1 B1
M

C1 B1

C1

A1

D A B

C

D A B

E

C

解. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 连结 C1D ,

DC ? DD1 ,

? 四边形 DCC1D1 是正方形.
? DC1 ⊥ D1C .
又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,
? AD ⊥ 平面 DCC1D1 ,

D1C ? 平面 DCC1D1 , ? AD ⊥ D1C . AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,
且 AD ⊥ DC ? D ,

? D1C ⊥平面 ADC1 ,

又 AC1 ? 平面 ADC1 ,

? D1C ⊥ AC1 .
(2)连结 AD1 ,连结 AE , 设 AD1
BD

A1D ? M ,

AE ? N ,连结 MN ,

平面 AD1E 平面 A1BD ? MN , 要使 D1E ∥平面 A1BD , 须使 MN ∥ D1E , 又 M 是 AD1 的中点.
? N 是 AE 的中点. 又易知 △ ABN ≌△EDN , ? AB ? DE . 即 E 是 DC 的中点.

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥平面 A1BD . 【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识,如线而平行、线面垂直等, 考查空间想象能力、推理论证能力,本题属中等题。 四、小结: 1.直线与平面的平行、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情 况,应熟练掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理,并能依 据条件灵活运用。
a // b ? ? // ? ? ? 常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; ? ? a // ? a ? ?? ? a ? ??

? ? ?? ? ; a ? ? ? ? a // ? a ?? ? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? a ? ?? a // b ? ? ? ; ; ? a // b ? a // b ? ? ? ? a ? ? ? ? a // b ; a // c ? ? c // b b ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b? ? ?

a // ?

③面面平行: a ? b ? O

a ? ?,b ? ? ? ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?

;

a ??? ? ? ? // ? a ? ??

;

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

0 ④线线垂直: a ? ? ? ? ? a ? b ;所成角 90 ; a ? ?

b ? ??

PO ? ? ? ? (三垂线);逆定理? ? ? a ? PA ? a ? AO ?

⑤线面垂直: a ? b ? O

??? a ? ?,b ? ? ? ? ? ? ; ; ? // ? ? ? ? l ?? ? ?? ? l ? ? a ? ? a ? ?? ? a ? ? ? a ? ?, a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?

; a // b

? ?? b ?? a ? ??

⑥面面垂直:二面角 900;

a ? ?? ??? ? ? a ?? ?

;

a // ? ? ??? ? ? a ? ??

2.立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:
线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面

3.证明空间线面平行或垂直需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是 解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定 理得出相应结论。 ④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优 先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线,从而明确斜线、射影、面 内直线的位置,再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过 计算证明线线垂直也是常用的方法之一。 ⑤直线是一维的,平面是二维的,立体空间是三维的。运用降维的方法把立体 空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题,可以化难为易,化新为旧, 化未知为已知,从而使问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决,就 是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。 五.巩固练习 1.已知正方体 AC1 中,点 N 、 M 分别为 BC 、 CC1 的中点。 (1)求证: M 、 N 、 A 、 D1 四点共面; (2)证明多面体 CMN ? DD1 A 是棱台。
D1 A1 B1 M D N A B C1

C

2.如图,四边形 ABCD 为正方形,SA⊥平面 ABCD,过 A 且垂直 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 于 E、F、G,求证:AE⊥SB,AG⊥SD。

3. 已知侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面 ABC 为等腰直角三角形,
?BAC ? 90 ,且 AB ? AA1 , D 、 E 、 F 分别为 B1 A 、 C1C 、 BC 的中点。

(1)求证: DE // 面 ABC ; (2)求证: B1F ? 面 AEF 。
A1 B1
D A E

C1

B

F

C

4 .如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB , M 、 N 分别为 SB 、 SD 的中点。 (1)求证: BD // 面 AMN ; (2)求证: SC ? 面 AMN 。
S N M
A

D

B

C

5.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD 为正三角形,且与底面 ABCD 垂直, 已知底面 ABCD 是面积为 2 2 的菱形, ?ADC ? 60? , M 为 PB 的中点,求证: (1) PA ? CD ; (2)面 CDM ? 面 PAB 。

P M C B

D

A

6.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? a , AB ? 2a , E 、 F 分 别为 C1D1 、 A1 D1 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BCE ; (2)求证: AF // 平面 BDE . (3)能否在面 BB1C 1 C 内找一点 G,使 AF ? DG 若能,请找出所有可能的位置并 证明,若不能,请说明理由。
D1 E C1

A1

F

B1

D

C

A

B

(1)证明:? BC ? 侧面 CDD1C1 ,
DE ? 侧面 CDD1C1 ,? DE ? BC ,

在 ?CDE 中, CD ? 2a, CE ? DE ? 2a ,则有 CD 2 ? CE 2 ? DE 2 ,
? ?DEC ? 90? ,? DE ? EC ,

又 BC ? EC ? C ? DE ? 平面 BDE . (2)证明:连 EF 、 A1C1 ,连 AC 交 BD 于 O ,
1 1 A1C1 , AO // A1C1 ,? 四边形 AOEF 是平行四边形, 2 2 ? AF // OE 又? OE ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , ? EF //

? AF // 平面 BDE .

(3)点 G 所有可能的位置为 BB1 中点 G 与点 C 的连线段。 证明略 7.如图,已知 ABCD 是正方形,DE⊥平面 ABCD,BF⊥平面 ABCD, 且 AB=FB=2DE. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)问在 EF 上是否存在一点 M,使三棱锥 M-ACF 是正三棱锥? 若存在,试确定 M 点的位置;若不存在,请说明理由.
F E

D A B

C

解:(Ⅰ)连结 BD, AC,设他们交于点 O,连结 EO,FO, ∵ABCD 是正方形,∴OD⊥AC. 又∵ED⊥平面 ABCD,且 OD 为 ED 在平面 ABCD 内的射影 ∴EO⊥AC. 同理 FO⊥AC, ∴∠EOF 就是二面角 E—AC—F 的平面角. 设 DE= a , ∵AB=BF=2DE ? 2a , ∴OE= 3a ,OF= 6a ,EF= 3a . ∴EO2 +FO2 =EF 2,即 ?EOF ? 90? , ∴平面 AEC⊥平面 AFC. (Ⅱ)由题意可知△ACF 是等边三角形,设点 N 是△ACF 的中心, 则点 N 一定在 OF 上,且|FN|=2|NO|, 在平面 EOF 内,作 MN ? OF,且 MN 与 EF 交于 M 点. ∵AC⊥OE, AC⊥OF,∴ AC ? 平面 EOF ,又 AC ? 平面 ACF. ∴平面 ACF⊥平面 EOF ,又 MN ? OF,∴ MN ? 平面 ACF.∴三棱锥 M-ACF 是正三棱锥. 在平面 OEF 中,由 EO ? OF , MN ? OF . 可知 MN∥EO,又|FN|=2|NO|,∴|FM|=2|ME|. 在 EF 上存在一点 M,使三棱锥 M-ACF 是正三棱锥,且点 M 是线段 EF 的靠近 E 的三等分 点 8.如图,四面体 C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90°.E、F 分别是 BC、AC 的中 点. (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)如何在 AC 上找一点 M,使 BF∥平面 MED?并说明理由; (Ⅲ)若 CA = CB,求证:点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点.

解: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,在△BCD 中, ∵BC = DC,∴CO⊥BD,同理 AO⊥BD 而 AO∩CO = O,∴BD⊥平面 AOC, 又 AC ? 平面 AOC,∴AC⊥BD. (Ⅱ)取 FC 的中点 M,连接 EM,DM, ∵E 是 BC 的中点,∴BF∥EM, ∵ EM ? 平面 MED,∴BF∥平面 MED, ∴FC 的中点 M 即为所求. (Ⅲ)∵△ABD 是等腰直角三角形,∠BAD = 90°, ∴AO = BO = DO;∵CA = CB = CD,CO 是公共边, ∴△COA≌△COB≌△COD; ∴∠COA=90°,即 CO⊥AO, 又 CO⊥BD,AO∩BD = O,∴CO⊥平面 ABD 即点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点 。



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