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山东省潍坊四县一市2014-2015学年高一下学期期中数学试题



2014-2015 学 年 度 第 二 学 期 模 块 监 测

高一数学

2015.4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.试卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚. 2.第Ⅰ卷,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. sin 420 ° 的值是 A.

3 2

B.

?

3 2

C.

1 2

D.-

1 2

2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则 A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3

3. 已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是
A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 4.以下说法错误的是 A.最简单的算法结构是顺序结构 B.输入框和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置 C.判断框是具有超过一个退出点的唯一符号 D.可以利用赋值语句进行代数式的演算 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

5. 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某
选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 剩数据的平均数和方差分别为 高一数学 第 1 页(共 9 页)

A.84; 4.84

B.84; 1.6

C.85; 4

D.85; 1.6

6.已知一扇形的周长为 20cm,当这个扇形的面积最大时,半径 R 的值为 A.4 cm B.5cm C.6cm D.7cm

7. 已知角 ? 的终边落在直线 5 x ? 12 y ? 0 上, 则 cos ? =

A. ?

12 13

B.

12 13

C. ?

5 13

D. ?

5 13

8. 有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条,则所取三条线段不能构 成一个三角形的概率为

7 9 3 C. D. 10 10 10 M ? a ? b 9. 定义某种运算 , 运算原理如图所示, 则式
A. B. 子 (2 tan A.4

1 2

?
4

) ? sin

?

? 1 ? (4 cos ) ? ( ) ?1 的值为 2 3 3
C.11 D.13

B.8

10. 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自 阴影部分的概率是 A.

1 1 ? 2 ?

B.

1

?

C. 1 ?

2

?

D.

2

?

第Ⅱ卷 (非选择题

共 100 分)

注意事项: 请务必用黑色碳素笔在答题纸上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟 采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量 为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四 年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽 取________名学生. 12 .运行如右图所示的程序框图,则输出的 S 值是________. 13.已知 sin ?? ? ? ? ? log 27

1 ? , 且? ? (- , 0) . 9 2
高一数学 第 2 页(共 9 页)

则 tan ? =



14.平面上画了一些彼此相距 20cm 的平行线,把一枚半径为 4cm 的硬币任意掷在这平面 上,则硬币与任一条平行线相碰的概率为 . 15.给出下列结论: ①扇形的圆心角 为120 ,半径为 2,则扇形的弧长 是

4? ; 3

②某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后 为了了解有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是系统抽 样方法; ③一个人打靶时连续射击两次, 则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为 对立事件; ④ 若数据x1 , x2 , x3, L ,xn的方差为8,数据2x1 ? 1, 2x2 ? 1, 2x3 ?1, L, 2xn ?1 的方 差为 16; ⑤若0 ? x ?

?
2

, 则 tan x ? x ? sin x .

其中正确结论的序号为 . (把你认为正确结论的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某校乒乓球队有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如下表: 一年级 二年级 三年级 A B C 男同学 X Y Z 女同学 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加乒乓球比赛(每人被选到的可能性相同). (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事 件 M 发生的概率. 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ ) 化简:

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )

(Ⅱ )已知 ? 为第二象限的角,化简: cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? . 1 ? sin ? 1 ? cos ?

18.(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得如下频数分布表: 质量指标 值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

高一数学 第 3 页(共 9 页)

(Ⅰ)在答题卡上列出这些数据的频率分布表,并作出频率分布直方图; (Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表). 19. (本小题满分 12 分) 已知

?
2

? ? ? ?, tan ? ?

(Ⅰ )求 tan? 的值;

1 3 ?? , tan ? 2

3? cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (Ⅱ )求 的值; sin( ? ? ) 2
(Ⅲ )求 2sin ? ? sin ? cos ? 的值.
2

?

20.(本小题满分 13 分) 某地区 2008 年至 2014 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 x 人均纯收入 y 2008 1 2.9 2009 2 3.3 2010 3 3.6 2011 4 4.4 2012 5 4.8 2013 6 5.2 2014 7 5.9

(Ⅰ )求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ )利用(Ⅰ )中的回归方程,分析 2008 年至 2014 年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况,并预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

?? b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? . 参考数据: ? ? y ? bx ,a

2 i

? nx

2

?x y
i ?1 i

7

i

? 134.4 .

21.(本小题满分 14 分) 有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字 1,2,3,4. (Ⅰ)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和 能被 3 整除的概率; (Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随 机取一个球,该球的编号为 b. ①求直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y =
2 2

1 没有公共点的概率; 16

②试求方程组 ?

?ax ? by ? 3 (x, y) 的解 落在第四象限的概率. x ? 2 y ? 2 ?
高一数学 第 4 页(共 9 页)

2014-2015 学 年 度 第 二 学 期 模 块 监 测

高一数学 答案
1-5 ADCDD 6-10 BABDC

2015.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

第Ⅱ卷 (非选择题
11.60 12. 30

共 100 分)
2 5
15.① ② ③ ⑤

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.)

13. ?

2 5 5

14.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加乒乓球比赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A, X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y}, {X,Z},{Y,Z},共 15 种.………………………………4 分 (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A,Y}, {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种.………………………………8 分 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ………………………………12 分

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )

?
?

sin ? cos ? tan(?? ) …………………………3 分 tan(? ? ? )[? sin(? ? ? )]

? sin ? cos ? tan ? tan ? sin ? ? ? cos? . ……………………………………6 分

(Ⅱ) cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?
2

?1 ? sin ? ? ? cos ? 2
1 ? sin ?

?1 ? cos ? ? ? sin ? 2
1 ? cos ?

2

高一数学 第 5 页(共 9 页)

? cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? . ……………………10 分 cos ? sin ?

∵ ? 是第二象限角, ∴ cos? ? 0, sin ? ? 0 上式= cos ? ?

1 ? cos ? 1 ? sin ? + sin ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? .………………………………12 分

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)频率分布表和直方图如下: 质量指标 值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105, 115) [115, 125) 合计 100 频数 6 26 38 22 8 频率 0.06 0.26 0.38 0.22 0.08 1 ………………………………………………………3 分

………………………6 分 (Ⅱ)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. ……………8 分 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+ (-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.…………………11 分 所以此产品质量指标值的平均数和方差的估计值分为 100 和 104.……………………12 分

高一数学 第 6 页(共 9 页)

19. (本小题满分 12 分)

1 3 ? ? ,所以 2 tan 2 ? +3tan ? ? 3 ? 0 , tan ? 2 1 解得 tan ? ? ?2 ,或 tan ? ? . 2
解:(Ⅰ) 因为 tan ? ? 因为

?

2

? ? ? ? , tan ? ? 0 ,所以 tan ? ? ?2 .………………………………4 分

cos( 3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (Ⅱ) sin(? ? ? ) 2

? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ? ?2 ? 1 ? ?1. cos ?
(Ⅲ) 2sin ? ? sin ? cos ? ?
2

……………………8 分

2sin 2 ? ? sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ?

2 tan 2 ? ? tan ? 2 ? (?2)2 ? (?2) ? ? ? 2 .……………………12 分 tan 2 ? ? 1 (?2)2 ? 1
20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由所给数据得,

x?

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 4, 7 2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 y? ? 4.3 ,…………………………2 分 7
7 i ?1 7 i i

?x y ?x
i ?1 2 i

? 1? 2.9 ? 2 ? 3.3+3 ? 3.6 ? 4 ? 4.4+5 ? 4.8 ? 6 ? 5.2+7 ? 5.9=134.4 ,

? 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 36 ? 49 ? 140 ,

?? 所以 b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx 2

? 134.4 ? 7 ? 4 ? 4.3 ? 1 ,………………………6 分 140 ? 7 ?16 2

? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ,…………………………7 分 ? ? y ? bx a
高一数学 第 7 页(共 9 页)

? ? 0.5x ? 2.3 . .…………………………8 分 所求的回归直线方程为 y
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, b ? 0.5 ? 0 ,故 2008 年至 2014 年该地区农村居民家庭人均纯收入 逐年递增,平均每年增加 0.5 千元.…………………………10 分 将 2016 年的年份代换 x ? 9 代入回归直线方程,得 ? ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,…………………………12 分 y 故预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.…………………………13 分 21.(本小题满分 14 分) 解: (I)用(a,b) (a 表示第一次取到球的编号,b 表示第二次取到球的编号)表示先后 二次取球构成的基本事件,则基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3)共 12 个.……………………………3 分 设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有: (2,1) , (2,4) , (4,2)共有 3 个,……………………2 分 ∴P( A) ?

3 1 ? .………………………………………………………………………3 分 12 4

(II)基本事件有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 16 个,…………………………5 分 ①设“直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 没有公共的”为事件 B, 16

由题意
2

1 a ?b
2
2

2

?

1 ,…………………………7 分 4

即 a ? b ? 16 ,则事件 B 包含的基本事件有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) (2,3) , (3,1) , (3,2)共 8 个,………………………………………………………………8 分 ∴P( B) ?

8 1 ? .………………………………………………………………………9 分 16 2

②由方程组 ?

?ax ? by ? 3 得, (b ? 2a) y ? 3 ? 2a , ?x ? 2 y ? 2

当 b ? 2a ? 0 时,方程组无解.……………………………………………………………10 分 当 b ? 2a ? 0 时,解得

2b ? 6 ? x? ? ? b ? 2a ,……………………………………………………………11 分 ? ? y ? 3 ? 2a ? b ? 2a ?
因为方程的解落在第四象限,所以 x ? 0, y ? 0 , 高一数学 第 8 页(共 9 页)

?b ? 3 ?2b ? 6 ? 0 ? 当 b ? 2a ? 0 时,由 ? 得, ? 3 ,此时无解; ………………12 分 a ? ?3 ? 2a ? 0 ? ? 2

?b ? 3 ? ?2b ? 6 ? 0 ?a ? 1 3 ? 当 b ? 2a ? 0 时,由 ? 得,?a ? ,此时 ? ,符合题意的只有一个(1,1) ; 2 ?b ? 1 ?3 ? 2a ? 0 ? ? ?b ? 2a
……………………13 分 综上所述符合条件的数组有共 1 个, 概率为p ?

1 .………………………14 分 16

高一数学 第 9 页(共 9 页)



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