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高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.3 空间向量的数量积运算



3.1.3 空间向量的数量积运算

-1-

1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.

1.理解向量数量积的概念 剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是 向量,而向量的数量积的结果是数量; (2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab; (3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即 (a · b)c≠a(b· c),a· b=a· c b=c. 2.空间向量数量积的应用 剖析:(1)利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角,进而可以 求出两点间的距离或两条直线所成的角. (2)利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直,进而可以证明 两条直线垂直.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

数量积的运算 【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为 AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:

(1) ·1 ;

(2) ·1 ;

(3) ·1 .

解:如图,设 =a, =b, 1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(1) ·1 = ·(1 1 ? 1 )

1 = ·[1 1 ? (1 + )] 2
1 2

=b· (-) + = ||2=42=16. (2) ·1 = (1 + 1 ) ·( + 1 ) =(1 ? + 1 ) ·( + 1 ) = - + · (a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. (3) ·1 = (1 + 1 ) ·(1 + 1 1 )
1 2

1 = (1 - ) + 1 ·(1 + 1 1 ) 2 1 1 1 = (-) + · + 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 4

= (-a+b+c)· + =? ||2 + ||2=2.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的 几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练 1】 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: (1) ·; (2)( + ) ·( + ); (3)| + + |. 1 1 解:(1) · = ||||· cos 60°=1×1× = .
2 2

(2)( + ) ·( + ) = ( + ) ·( ? + ? ) =( + ) ·( + ? 2 ) = ( + ) ·( + ) ? ( + ) ·2 =||2 + 2 · + ||2 ? 2 · ? 2 · 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 ? 2 × 1 × 1 × ? 2 × 1 × 1 × = 3 ? 2 = 1.
2 2 2

(3)| + + | =

( + + )2 =

|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA· OB + 2OA· OC + 2OB· OC = 3 + 3 = 6.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

利用数量积证明垂直 【例2】 已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC. 求证:OA⊥BC.

分析:结合图形,利用向量知识证明 OA⊥BC,就是证明 · = 0.

证明:∵OB=OC,AB=AC,OA=OA, ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC=∠AOB. ∴ · = ·( ? ) = · ? · =||| |cos∠AOC-||||· cos∠AOB=0, ∴ ⊥ , 即OA⊥BC.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量 积为零的问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底 面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.

证明: 设 =a, =b, 1 =c, 则|a|=|b|. ∵ = ? =b-a, ∴ ·1 = (b-a)· c=b· c-a· c =|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0. ∴ 1 ⊥ ,即 C1C⊥BD.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

利用数量积求异面直线所成的角 【例3】 已知空间四边形O -ABC的各边及对角线的长都相等,E,F 分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值.

分析:利用 · = | || |cos < , >, 先求出向量 与 夹角的余弦值,再转化为求异面直线所成的角的余弦值.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:如图所示.设 =a, =b, =c, 且|a|=|b|=|c|=1. π 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC= , 则 a· b=b· c=c· a= .
1 2 1 1 所以 · = (a+b)· - 2 2 1 1 1 1 1 = · c+ · c? · b? |b|2=? , 4 4 2 2 2 · 2 所以 cos< , >= =? . 3 |||| 1 2 1 2 3 3 , 2

因为 = (a+b), = ?b,| | = | | =

所以异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值是 .

2 3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思根据空间两个向量数量积的定义:a· b=|a||b|cos<a,b>,得空间两 个向量 a,b 的夹角的余弦值 cos<a,b>=
· , |||| π 0, 2

这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛. 需要注意的是两条异面直线所成角的范围是

和两个向量夹角的范围是[0,π],所以在处理此类题目时应注意符号.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱 CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .

解析: 1 = 1 + = 1 + 1 1 + ,

1 = + = + 1 , 2
则 cos< 1 , >=
=

1 2

2 2 1 1 - 1 + 2 = 2 = 0. |1 |· || 故 < 1 , ≥ 90° , 即异面直线A1M 与 DN 所成角的大小为 90°.

1 + 1 1 + 1 · + 1 1 2 2 |1 |· ||

1 · |1 |· ||

答案:90°

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

利用数量积求两点间的距离 【例4】 已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所 成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b.求C,D两点间的距离. 分析:求C,D两点间的距离即求CD的长,首先将CD用向量表示,然 后求其与自身数量积,根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的 平方,最后开平方即为所求.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:如图所示,由 AC⊥α,知 AC⊥AB,过 D 作 DD'⊥α,D'为垂足, 则∠DBD'=30°,< , >= 120° , < , >= 90° .

∴| |2 = ·
=( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 · + 2 · + 2 · = 2 + 2 + 2 + 2 2 cos 120°=a2+b2, ∴CD= 2 + 2 .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思先用已知的向量表示||, 然后用向量的数量积作工具,利用 | | = · 来解决问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练4】 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1, ∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D两点 间的距离.

分析:画出立体图,结合已知知识用长度与夹角均已知的向量表 示出: = + + , 而与 , 与, 与 的夹角及其模均易知.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:如图,∵∠ACD=90°, ∴ · = 0. 同理, · = 0. ∵AB 与 CD 成 60°角, ∴< , >= 60° 或120°. ∵ = + + , ∴ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 · + 2 · + 2 · = 2 + 2 + 2 + 2 · =3+2×1×1×cos< , > 4,当 < , >= 60°时, = 2,当 < , >= 120°时. ∴|| = 2 或 2, 即B,D 两点间的距离为 2或 2.

题型一

题型二

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题型五

易错辨析 易错点 混淆向量夹角与异面直线夹角的范围致错 【例 5】 已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线长都为 a, 点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则四个数量积:①2 · ; ②2 ·; ③2 · ; ④2 ·中, 结果为2 的式子 的序号是_________________. 错解:如图, 2 · = 2||| |cos 60° =2a· acos 60°=a2; 2 · = 2| || |cos 60° =2a· acos 60°=a2; 2 · = 2| || |cos 0°=2·· acos 0°=a2;

2 · =

的式子的序号是①②③.

2 2| |||cos 60°=2·· acos 60°= . 故结果为a2 2 2

2

题型一

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题型三

题型四

题型五

错因分析:本题的错因在于对两个向量夹角的概念不清,两个向 量必须是首首相连或尾尾相连时,所成的角才是它们的夹角.对于平 行向量要看它们的方向是相同还是相反,若相同,则夹角为 0°;若相 反,则夹角为 180°.而上述解答没有考虑向量的方向,把三角形内角 当作向量夹角,显然是错误的. 正解: 2 · = 2||| |· cos 120°=2a· acos 120°=-a2; 2 · = 2| || |cos 60°=2a· acos 60°=a2; 2 · = 2| || |cos 180°=2·· acos 180°=-a2; 2 · = 故结果为 a2 的式子的序号是②. 答案:②
2 2| |||cos 120°=2·· acos 2 2 120°=? . 2



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