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北京市海淀区2014年高三一模数学(文)



海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 文科)
2014.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.<

br />1.

5 = 2?i
A. 2 ? i B. 2 + i C. 1 + 2i D. 1 ? 2i

2.

已知集合 A = {?1,0,1} , B = { y y = sin πx, x ∈ A} , 则A ∩ B =
A. {?1} B. {0}
2

C.

{1}

D. ?

抛物线 y = 8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有 A.0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 4 个 4. 平面向量 a, b 满足 | a |= 2 , | b |= 1 ,且 a, b 的夹角为 60 ,则 a ? (a + b) =
3.
°

A.1 5.

B. 3

C.5

D. 7

函数 f ( x) = 2 x + sin x 的部分图象可能是
y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A 6.
n

B
n 1

C
2

D

已知等比数列 {a } 的前 n 项和为 S ,且 S , S
A 1

+ a2

, S 成等差数列,则数列 {a } 的公比为
3
n



B

.2
x

C

.1 2

D 3



已知 f ( x) = a 和 g ( x) = b 是指数函数,则“ f (2) > g (2) ”是“ a > b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y = ln x 上,若线段 AB 与曲线 M : y = 相交且交点恰为线段 AB 的中点,则称 B x 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.那么曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4
7.
x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.

双曲线 xm ? y3 = 1 的离心率为 2,则 m = __________.
2 2

李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______ 方案一: 方案二: 方案三:
10.

11. 12.

A = ______, c = _______ . 在 ?ABC 中, a = 3 , b = 5 , C = 120 ,则 sin sin B

某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型: ① f ( x) = p ? q , (q > 0, q ≠ 1) ;② f ( x) = log + q( p > 0, p ≠ 1) ;③ f ( x) = x + px + q . 能较准确反映商场月销售额 f ( x) 与月份 x 关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序号) ,若所选函数满足 f (1) = 10, f (3) = 2 ,则 f ( x) =_____________. 13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________.
x
x

2

p

14.

x + y + 2 ≥ 0, 设不等式组 ? 表示的区域为 ? ,不等式 x ? x + ay + 2 ≤ 0 ?
1

2

+ y2 ≤ 1

表示的平面区域为 ? .
2

; 若 ? 与 ? 有且只有一个公共点,则 a = (2) 记 S (a ) 为 ? 与 ? 公共部分的面积,则函数 S (a ) 的取值范围是 (1)
1
2

1

2

.

3

3

8

主视图
4

侧视图

俯视图
6

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

(本小题满分 13 分) ). 已知函数 f ( x) = sin x ? sin( x ? π 3 ); (Ⅰ)求 f ( π 6 π , ] 上的取值范围. (Ⅱ)求 f ( x) 在 [? π 2 2
15.

. (本小题满分 13 分) 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对 100 名出租车司机进行调查.调查问卷共 10 道题,答题情况如下表: 8 9 答对题目数 [0,8) 10 2 13 12 8 女 3 37 16 9 男 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于 9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司 机对新法规知晓情况比较好的概率; (Ⅱ)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的 概率.
16

(本小题满分 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 中点, AE ⊥ BD 于 E (不同于点 D ) ,延长 AE 交 BC 于 F, 将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A ? BCD ,如图 2 所示. (Ⅰ)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM //平面 A EF ; (Ⅱ)求证:BD⊥ A F ; (Ⅲ)若平面 A BD ⊥ 平面 BCD ,试判断直线 A B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由.
17.
1 1 1 1

1

A D

A1

D
E B F C

E B F M C

图 1

图 2

18.

(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ≤ 1 时,求证: f ( x ) ≥ kx ? 1 恒成立.

(本小题满分 14 分) 已知 A( x , y ), B( x , y ) 是椭圆 C : x + 2 y = 4 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 关于点 M (1,0) 对称时,求证: x = x = 1 ; (Ⅱ)当直线 AB 经过点 (0,3) 时,求证: ?MAB 不可能为等边三角形.
19.
2 2

1

1

2

2

1

2

(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点) A(n) : A , A , A ,? , A 与 B ( n) : B , B , B ,? , B ,其中 n ≥ 3 ,若同时满足: ①两点列的起点和终点分别相同;②线段 A A ⊥ B B ,其中 i = 1, 2, 3,? , n ? 1 , 则称 A(n) 与 B(n) 互为正交点列. (Ⅰ)试判断 A(3) : A (0, 2), A (3, 0), A (5, 2) 与 B(3) : B (0, 2), B (2,5), B (5, 2) 是否互为正交点列,并说明理 由; (Ⅱ)求证: A(4) : A (0, 0), A (3,1), A (6, 0), A (9,1) 不存在正交点列 B(4) ; (Ⅲ)是否存在无正交点列 B(5) 的有序整数点列 A(5) ?并证明你的结论.
20.
1 2 3 n 1 2 3 n i i +1 i i +1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数 学 (文科) 文科)
2014.4

阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题: 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 1 10.

方案三

11.

3 ,7 5

12.

③, f ( x) = x

2

? 8 x + 17

13. 152

14. ± 3 , [0, )

π 2

{说明:两空的第一空 3 分,第二空 2 分;14 题的第二空若写成 (0,

π ) 不扣分} 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 演算步骤或证明过程.

解: π π π ) = sin ? sin( ? ) (Ⅰ) f ( π 6 6 6 3
15.

π π ? sin( ? ) 6 6 π π = sin + sin 6 6 π = 2sin = 1 6 = sin

分 ---------------------------------2 分 ---------------------------------3 分 ---------------------------------4 分
---------------------------------1 ---------------------------------6

(Ⅱ) f ( x) = sin x ? 1 sin x + 2

3 cos x 2

分 分

π 1 3 = sin x + cos x = sin( x + ) 3 2 2
π ≤x≤ 因为 ? π 2 2 π 5π ≤ x+ ≤ 所以 ? π 6 3 6 π ≤ sin( x + ) ≤ 1 所以 ? 1 2 3 ,1] 所以 f ( x) 的取值范围是 [? 1 2

--------------------------------8

分 --------------------------------12 分 --------------------------------13 分
--------------------------------10

16. ( )

解: Ⅰ 答对题目数小于 9 道的人数为 55 人,记“答对题目数大于等于 9 道”为事件 A
P( A) = 1 ? 55 = 0.45 100
--------------------------------5

分 (Ⅱ)设答对题目数少于 8 道的司机为 A、B、C、D、E,其中 A、B 为女司机 ,选出两人包含 AB、AC、AD、AE、 BC、BD、BE、CD、CE、DE 共 10 种情况,至少有 1 名女驾驶员的事件为 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE 共 7 种. 记“随机选出的两人中至少有 1 名女驾驶员”为事件 M,则 7 P( M ) = = 0.7 --------------------------------13 分 10 17.解: ---------------------2 分 (Ⅰ)因为 D , M 分别为 AC, BD 中点,所以 DM // EF 又 EF ? 平面A EF , DM ? 平面A EF -----------------------4 分 所以 DM / /平面A EF . (Ⅱ)因为 A E ⊥ BD , EF ⊥ BD 且 A E ∩ EF = E A -------------7 分 所以 BD ⊥ 平面A EF D E ------------------------9 分 又 A F ? 平面A EF 所以 BD ⊥ A F B C F M ---------------------------------------10 分 (Ⅲ)直线 A B 与直线 CD 不能垂直 因为 平面A BD ⊥ 平面BCD , 平面A BD ∩ 平面BCD = BD , EF ⊥ BD , EF ? 平面CBD , ---------------------------------------12 分 所以 EF ⊥ 平面A BD . 因为 A B ? 平面A BD ,所以 A B ⊥ EF , 又因为 EF / / DM ,所以 A B ⊥ DM . 假设 A B ⊥ CD , 因为 A B ⊥ DM , CD ∩ DM = D , ------------------------------------------13 分 所以 A B ⊥ 平面BCD , 所以 A B ⊥ BD ,这与 ∠A BD 为锐角矛盾 ---------------------------------------14 分 所以直线 A B 与直线 CD 不能垂直.
1 1 1 1 1
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

18.

解: (Ⅰ) 定义域为 ( 0, +∞ )
f '( x) = ln x + 1

------------------------------------1

分 ------------------------------------2 分 分

令 f '( x) = 0 ,得
f '( x)

x=

1 e

------------------------------------3

与 f ( x) 的情况如下:
x f '( x) f ( x)
1 (0, ) e 1 e
0

1 ( , +∞) e

?


+


分 1 ) ,单调增区间为 ( , +∞) --------------------------6 分 所以 f ( x) 的单调减区间为 (0, 1 e e (Ⅱ) 证明 1: ------------------------------------7 分 设 g ( x) = ln x + 1 ,x>0 x
--------------------------------5

极小值

g '( x) =

1 1 x ?1 ? = 2 x x2 x

-------------------------------8



g '( x)

与 g ( x) 的情况如下:
x f '( x) f ( x)
(0,1)
1 0

(1, +∞)

?


+


极小值

所以 g ( x) ≥ g (1) = 1 ,即
ln x + 1 ≥1 x

在 x > 0 时恒成立,

----------------------10



≥k, 所以,当 k ≤ 1 时, ln x + 1 x

所以 x ln x + 1 ≥ kx ,即 x ln x ≥ kx ? 1 , 所以,当 k ≤ 1 时,有 f ( x) ≥ kx ?1 .

------------------------13



证明 2: 令 g ( x) = f ( x) ? (kx ?1) = x ln x ? kx + 1
g '( x) = ln x + 1 ? k

令 g '( x) = 0 ,得 x = e g '( x) 与 g ( x) 的情况如下:
k ?1

分 -----------------------------------8 分 -----------------------------------9 分
----------------------------------7

x f '( x) f ( x)

(0, ek ?1 )

ek ?1
0

(e k ?1 , +∞)

?


+
↗ ---------------------10

极小值

的最小值为 g (e ) = 1 ? e 当 k ≤ 1 时, e ≤ 1 ,所以1 ? e ≥ 0 -----------------------------12 分 故 g ( x) ≥ 0 ------------------------------------13 分 即当 k ≤ 1 时, f ( x) ≥ kx ?1 . 19.解: (Ⅰ)证明: 因为 A, B 在椭圆上, ? x + 2 y = 4, ① ? -----------------------------------1 分 所以 ? ? ? + = x 2 y 4. ② ? ? 因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称, --------------------------------2 分 所以 x + x = 2, y + y = 0 , 将 x = 2 ? x , y = ? y 代入②得 (2 ? x ) + 2 y = 4 ③, ------------------------------------------4 分 由①和③消 y 解得 x = 1 , ------------------------------------------5 分 所以 x = x = 1 . (Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 2), B(0, ? 2) , 可得 AB = 2 2, MA = 3 , ?ABM 不是等边三角形. -----------------------6 分 当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0. 设直线 AB : y = kx + 3 , AB 中点为 N ( x , y ) , x + 2 y = 4, 联立 ? 消去 y 得 (1 + 2k ) x + 12kx + 14 = 0 , ------------------7 分 ? y = kx + 3,
g ( x)
k ?1 k ?1

分 -------------------11 分

k ?1

k ?1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

2

0

0

2

2

2

2

?

? = 144k 2 ? 4(1 + 2k 2 ) ?14 = 32k 2 ? 56

由 ? > 0 ,得到 k 又x +x
1 2

2

>

7 4



-----------------------------------8



=

14 ?12k , x1 ? x2 = 2 1 + 2k 1 + 2k 2

所以 x

0

=

?6 k 3 , y0 = kx0 + 3 = 2 1 + 2k 1 + 2k 2



?6k 3 , ) 所以 N (1 + -------------------------------------------10 分 2 k 1 + 2k 假设 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ⊥ AB , 又因为 M (1, 0) ,
2 2

所以 k

MN

× k = ?1

,即

3 1 + 2k 2 × k = ?1 ?6k ?1 1 + 2k 2



---------------------11



化简 2k + 3k + 1 = 0 ,解得 k = ?1 或 k = ? 1 ---------------12 分 2 这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意 k 不能使得 MN ⊥ AB ,故 ?ABM 不能为等边三角形. ------------14 分 20.解: (Ⅰ)有序整点列 A (0, 2), A (3, 0), A (5, 2) 与 B (0, 2), B (2,5), B (5, 2) 互为正交点列. -------------------------1 分 理由如下: B B = (3, ? 3) , 由题设可知 A A = (3, ?2), A A = (2, 2) , B B = (2,3), 因为 A A iB B = 0 , A A iB B = 0 所以 A A ⊥ B B ,A A ⊥ B B . 所以整点列 A (0, 2), A (3, 0), A (5, 2) 与 B (0, 2), B (2,5), B (5, 2) 互为正交点列. ----------------------------3 分 A A = (3,1) , (Ⅱ)证明 :由题意可得 A A = (3,1), A A = (3, ?1), 设点列 B , B , B , B 是点列 A , A , A , A 的正交点列,
2
1 2 3 1 2 3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

1

2

2

3

2

3

1

2

1

2

2

3

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

则可设 B B = λ (?1,3), B B = λ (1,3), BB 因为 A 与B , A 与B 相同,所以有
1 2 1 2 3 2 3 1 1 4 4

4

= λ3 ( ?1,3) , λ1,λ2,λ3 ∈ Z

? ?-λ1 +λ2 -λ3 =9 ① ? ? ?3λ1 +3λ2 +3λ3 =1 ②

因为 λ ,λ ,λ
1 2

3

∈Z

,方程②不成立,

所以有序整点列 A (0, 0), A (3,1), A (6, 0), A (9,1) 不存在正交点列.----------8 分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列 A(5) . -------------------------------------------9 分 当 n = 5 时,设 A A = (a , b ), a , b ∈ Z , 其中 a , b 是一对互质整数, i = 1, 2,3, 4 若有序整点列 B , B , B , B , B 是点列 A , A , A , A , A 的正交点列,
1 2 3 4

i

i +1

i

i

i

i

i

i

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

则BB
i

i +1 = λi ( ?bi , ai ), i = 1,2,3,4

,由 ∑ A A = ∑ B B
4 4 i i +1 i i =1 i =1

i+1


1

4 ? 4 ? λ b = ai , ∑ ∑ i i ? ? i =1 i =1 ? 4 4 ? λa = b . ∑ ii ∑ i ? ? i =1 i =1

① ②
1 2 3 4

取 A (0, 0), a =3, i = 1, 2,3, 4 , b = 2, b = ?1, b = 1, b = ?1 由于 B , B , B , B , B 是整点列,所以有 λ ∈ Z , i = 1, 2,3, 4 . 等式②中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以存在无正交点列的整点列 A(5) . -----------------------------------13 分
i 1 2 3 4 5 i



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