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6.3.1正比例函数图像与性质



1.正比例函数的定义

一般地,形如 y=kx(k为常数,k≠0)的函 数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数

2、下列哪些函数是正比例函数? (1)y=-3x (2) y=x+3 (3) y=4x (4) y=x2

我们现在已经知道了正 比例函数关系式的特点, 那么它的图象有什么特 征呢?

探究正比例函数的图像和性质

例1 画出下列正比例函数 的图象 (1) y=2x (2) y=-2x

动动



例1 画出下列正比例函数的图象
(1)y=2x;(2)y=-2x
x … -2 -1 y … -4 -2 0 1 2 … 4 …

画函数图象 的步骤:
(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线

0 2
0 1 0 -1

x … -2 y … 4

-1 2

2 … -2 …

动动


y = - 2x
5 4 3 2 1

y

y=2x

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
-2 -3 -4 -5

1 2 3 4 5

x

Y 4 2 Y=2x

Y 4 2 x x

Y=-2x

-4 -3 -2 -1 0 -2

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 -2

1

2

3

4

相同点: 两图象都是经过原点的一条直线

思考
通过以上学习,画正比例函数图象 有无简便的办法?
y
1 2 y= 1 x 2 y= 1x 2

y

0 1

x

0
1 2

1

x

结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y
k y= kx (k>0)

y= kx (k<0)

y

0 1

x

0
k

1

x

2 .如何画正比例函数的图像?

因为正比例函数的图像是一条直线, 而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时,只需 描两个点,然后过这两个点画一条 直线

在同一坐标系内画下列正比例函数的图像:

1 y = 3x y = x y = x y 3
当k>0 时,它的图 像 经过第 一、三象 限

y = 3x

3

y=x
1 y= x 3
1
3

1

o

x

在同一坐标系内画下列正比例函数的图像:

y = - 3x

y

y =- x
1 y =- x 3

1 y = - 3x y = - x y = - x 3

o

1

当k<0 时,它的 x 图像经过 第二、四 像限

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

y
O1
2

y ? 3x

y?x
y?
3 4

4 3

y
O1
2 3 4

1 x 3
-4 -3 -2 -1

2 1

x

-1

-2
-3 -4

y =-

x

1 x 3

-4

y ? ?x
y ? ?3x

正比例函数y = kx(k ? 0)的性质:
(1) 当k>0时,正比例函数的图像经过第一、三象 限,自变量x逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大。 (2) 当k<0时,正比例函数的图像经过第二、四象限, 自变量x逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。

看谁反应快
1.填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线它一定经过点 (0,0) 和 (1,k) .

(2)函数 y=4x 经过 第一、三 象 限,y 随 x 的增大而 增大 .

看谁反应快
(3)如果函数 y= - kx 的图像经过 一、三象限,那么y = kx 的图像经 过 第二、四象限 .

看谁反应快
2.下列函数(1)y=5x,(2)y=-3x,(3)y=1/2x, (4)y=-1/3x中,
(2) (4)

y随x的增大而减小的是_______

看谁反应快
b 3.已知 ab < 0 , y = x a 的图像经过哪些象限

则函数

二、四象限

看谁反应快
4.下列图像哪个可能是函数y=-8x 的图像( B )

A

B

C

D

看谁反应快

5. 正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限, 则m的取值范围是 ( ) B
A.m=1 C.m<1 B.m>1 D.m≥1

1、正比例函数y=kx的图象是经过(0,0)(1,k)的 一条直线,我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx;
2、正比例函数y=kx的图象的画法: 3、正比例函数的性质: 1)正比例函数图象是经过原点的一条直线; 2)当k>0时它的图象经过第一、三象限, y随x的增大而增大, 当k<0时它的图象经过第二、四象限, y随x的增大而减小。

y = - 3x

y

y = 3x

y =- x
1 y =- x 3
1

y=x
1 y= x 3

0

1

x

当 |k| 越大时, 图像越靠近y轴

当 |k| 相等时, 图像关于坐标 轴对称

当堂检测 1.函数y=-7x的图象在第 与点(1, -7 ),y随x的增大而
二、四 象限内,经过点(0, . 减少 3 2.函数y= 2 x的图象在第 三、一 象限内,经过点 3 0 (0, )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 . 3、正比例函数y=(k+1)x的图像中y随x 的增大而增

0

)

k>-1 大,则k的取值范是 。 4.正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限,则 m的取值范围是( B ) A.m=1 B.m > 1 C.m < 1 D. m≥ 1 5、直线y=(k2+3)x经过 一、三 象限,y随x的减 减小 。 小而

例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像 经过二、四象限,求a的取值范围。 ? 该函数图像经过二、四象限 解:

\ 比例系数k=8-2a<0 \ a>4
问: 如果正比例函数y=(8-2a)x,且y的值 随x的值增大而减少,求a的取值范围。

a>4

3. 若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A (x1, y1)和B( x2,y2),当x1<x2时, y1>y2, 则k的取值范围是 ( ) B A.k>2 B.k<2 C.k=2 D.无法确定

4.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A(x1, y1 ) 和B( x2 ,y2),且该图像经过第二、四象限. (1)求m的取值范围 (2)当x1>x2时,比较 y1与y2的大小,并说明理由.

已知直线y=(a-2)x+a2-9经过 原点,且y随x的增大而增大, 求y与x的关系式.
经过原点 X=0且Y=0

思考
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b、c的大 小关系是( )
y



② ①
x

A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c

D.b>c>a



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