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华附,广雅,省实,深中四校联考2009届高三上学期期末考试理数



2009 届高三四校联考水平测试

数学(理科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴 在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2.选择题每小

题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号 (或题组号) 对应的信息点, 再作答. 漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 f : x ? x 2 是集合 A 到 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 只可能是( A.φ 或{1} B.{1} C.φ 或{2} D.φ 或{1}或{2} ) )

2.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
4

) 的图象,可以把函数 y ? sin 2 x 的图象(
B.向右平移 D.向右平移
? 个单位 8 ? 个单位 4

? 个单位 8 ? 个单位 4
2

3.与直线 l1: mx ? m y ? 1 ? 0 垂直于点 P(2,1)的直线 l2 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 ) y 1 x -1 -1 x

)

D. x ? y ? 3 ? 0

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( 4.函数 y ? x
y 1 x -1 y 1

y 1 x -1

O
(A)

O
(B)
1

O
(C)

O
(D)

5. 已知 a、b 为两条不同的直线, ? 、β 为两个不同的平面,且 a⊥? , b⊥β ,则下列命题中的假命题是( ... A.若 a∥b,则? ∥β C.若 a、b 相交,则? 、β 相交 ) B.若? ⊥β ,则 a⊥b D.若? 、β 相交,则 a、b 相交 )

2 ? ? x ? cos ? 6. ? ? R, 那么曲线 ? 与 x 2 ? y 2 ? 4 一定( ? y ? ? sin 2 ? ? 2 ?

A.无公共点 C.有且仅有两个公共点

B.有且仅有一个公共点 C.有三个以上公共点

?n 2,当n为奇数时 ) ? ( 7.已知函数 f (n) ? ? 2 且 an ? f (n) ? f (n ? 1) , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 则 0 ?? n ,当n为偶数时 ) ( ?
等于( A.0 ) B.100 C.-100 D.10200

8. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件: ①对任意的 x∈R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x); ②对于任意的 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ), ③ y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对 称,则下列结论中,正确的是( A. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) C. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) ) B. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) D. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.计算: (1 ? i)(2 ? i) ? 10.若 x ? y ? 5, 则 xy 的最大值是 11. . . .

? (4 ? 2 x ? x
0

2

2

)dx =

12.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界) 内,目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最大值的最优解有无数个, 则 a 为_______________. 13.若平面上三点 A、 C 满足 AB ? 3 ,BC ? 4 ,CA ? 5 ,则 AB? BC ? BC ? CA ? CA ? AB B、 的值等于 14.在 R 上定义运算 ? : x ? y = x ( 1-y ) , 若不等式 (x-a ) ? (x + a ) < 1 对一切实数 x 都成 立, 则实数 a 的取值范围是__________。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 . 在 ?ABC

中, B ?

?
4

, AC ? 2 5, cos C ?

2 5 . 5

(1)求 sin A ;

2

(2) 记 BC 的中点为 D , 求中线 AD 的长.

16. (本小题满分 13 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将
△DEC 沿 CE 折起到△D′EC 的位置,使二面角 D′—EC—B 是直二面角. (1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′—BC—E 的正切值.

D' A E

D C

B

17. (本小题满分 13 分)某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测,

A 产品的利润与投资金额成正比例, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资金额的算术平
方根成正比例,其关系如图 2, (注:利润与投资金额单位:万元) (1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资金额的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万 元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

y
2 .4 1 .6
1

y

0 .3 0 .2

o
图1

1 .5

x

o

4

9

x

图2

18. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 A ( - 2 , 0 ) B ( 2 , 0 ) 点 C 、 点 D 依 次 满 足 、 ,

| AC |? 2, AD ?

1 ( AB ? AC ). 2

(1)求点 D 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

3

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 1 , an ? (n ? 2, n ? N ) . n 4 ?? 1? an?1 ? 2

(1)试判断数列 ? (2)设 bn ?

?1 n? ? ?? 1? ? 是否为等比数列,并说明理由; ? an ?
,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

1 an
2

(3)设 c n ? a n sin

(2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , 2

Tn ?

2 . 3

20. (本小题满分 14 分)已知 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 是定义在 R 上的函数, 其图象交 x 轴 于 A, B, C 三点, 若点 B 的坐标为(2, 0 ), 且 f (x) 在[-1, 0 ]和[4, 5]上有相同的单调性, 在[0, 2]和[4, 5]上有相反的单调性. (1)求 b 的取值范围; a

(2)在函数 f (x) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜率为 3b ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)求| AC |的取值范围.

4

参考答案
一.ABDD 二. 9. 3-i DBBB 25 10. 4
11. 4 3 12. -2, 或 6 13. -25 1 3 14. (- , 2 2 )

15. 解: (1)由 cos C ?

2 5 , C 是三角形内角, 5
2 2

?2 5? 5 ? 得 sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) ? sin cos C ? cos sin C 4 4
? 2 2 2 5 3 10 ? 5? ? ? 2 5 2 5 10
BC AC AC 2 5 3 10 ?6 ? , BC ? sin A ? ? sin A sin B sin B 2 10 2
,

(2) 在△ABC 中,由正弦定理,

? CD =

1 2 5 BC = 3 , 又在△ADC 中, AC=2 5 , cosC = 2 5

由余弦定理得, AD ?

AC2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos C
2 5 ? 5 5

= 20 ? 9 ? 2 ? 2 5 ? 3 ?

16. 解: (1)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形, 易知, ∠BEC=90°,即 BE⊥EC. 又∵平面 D′EC⊥平面 BEC,面 D′EC∩面 BEC=EC, ∴BE⊥面 D′EC,又 C D′? 面 D′EC , ∴BE⊥CD′; (2)法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥BC 垂足为 F,连接 D′M,D′F,则 D′M⊥EC. ∵平面 D′EC⊥平面 BEC, ∴D′M⊥平面 EBC, A ∴MF 是 D′F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得: D′F⊥BC B ∴∠D′FM 是二面 D′—BC—E 的平面角. 在 Rt△D′MF 中,D′M= ∴ tan ?D ?FM ?

D' E M F C

D

1 1 1 2 EC= ,MF= AB= 2 2 2 2

D ?M ? 2, MF
5

即二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间 直角坐标系. 则 B( 2 ,0,0) ,C(0, 2 ,0) ,D′(0,

2 2 , ) 2 2

设平面 BEC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ;平面 D′BC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 )

BC ? (? 2 , 2 ,0), D ?C ? (0, ?n2 ? BC ? 0 ? 由? ? ?n2 ? D ?C ? 0 ?

2 2 ,? ), 2 2
A

z D' E

?? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 0 ? ? 2 2 y2 ? z2 ? 0 ? 2 ? 2 n1 ? n2

D C y

B x

取x 2 ? 1, 得n2 ? (1,1,1), ? cos ? n1 , n2 ??
? tan ? n1 , n2 ? =
? ?

| n1 | ? | n2 |
2

?

3 3

∴二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 17. 解: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f (x) 万元, B 产品的利润为 g (x) 万元. 由题意设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k 2 x .由图知 f (1) ? 又 g (4) ? 1.6 ,? k 2 ? 从而 f ( x ) ?

1 1 ,? k1 ? . 5 5

4 . 5

1 4 x ( x ? 0) , g ( x ) ? x ( x ? 0) . 5 5

(2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入( 10 ? x )万元,设企业利润为 y 万元.

y ? f (10 ? x) ? g ( x) ?


10 ? x 4 ? x (0 ? x ? 10) , 5 5

x ? t ,则 y ?

1 14 10 ? t 2 4 ? t ? ? (t ? 2) 2 ? (0 ? t ? 10) . 5 5 5 5

14 ? 2.8 ,此时 x ? 4 . 5 答:当 A 产品投入 6 万元,则 B 产品投入 4 万元时,该企业获得最大利润,利润为 2.8 万
当 t ? 2 时, y max ? 元. 18. 解: (1)设 C、D 点的坐标分别为 C( x0 , y 0 ) ,D ( x, y ) ,则 AC ? ( x0 ? 2, y0 ) ,

6

AB ? (4,0) , 则 AB ? AC ? ( x0 ? 6, y0 ) ,故 AD ?

x y 1 ( AB ? AC) ? ( 0 ? 3, 0 ) 2 2 2
? x0 ? 2 x ? 2, ? ? y 0 ? 2 y.

? x0 ? 3 ? x ? 2, ? ? 又 AD ? ( x ? 2, y ), 故? 2 解得 ? y 0 ? y. ? 2 ?

2 代入 | AC |? ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? 2 中, 整理得 x 2 ? y 2 ? 1 ,即为所求点 D 的轨迹方程.

(2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

①.

又设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a 2 ? 4) 2 a a ?4

②.

因为直线 l :kx-y+2k=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切.故

| 2k |

1 2 ? 1 ,解得 k ? . 3 k 2 ?1


将①代入②整理得, (a 2 k 2 ? a 2 ? 4) x 2 ? 4a 2 k 2 x ? 4a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 ? 0 将k ?
2

1 3 代入上式,整理得 (a 2 ? 3) x 2 ? a 2 x ? a 4 ? 4a 2 ? 0 , 3 4
a2 , a2 ? 3

设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 由题意有

a2 4 2 ? 2 ? (a 2 ? 3) ,求得 a ? 8 .经检验,此时③的判别式 ? ? 0. 2 5 a ?3

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

19. 解: (1)?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n?1 ] , an an?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,∴数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?
1 1 ? (?1) n ? 3(?2) n?1 ,即 ? 3(?2) n ?1 ? (?1) n ?1 . an an

(2)依(Ⅰ)的结论有

bn ? (3 ? 2n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1.
Sn ? 9 ? 1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2

7

(3)? sin

(2n ? 1)? (?1) n ?1 ? (?1) n ?1 ,又由(Ⅱ)有 a n ? 2 3 ? 2 n ?1 ? 1

3? 2 ?1 1 1 1 1 ? ? ??? 则 Tn ? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 1? n 1 1 1 1 1 2 ? 3 ( 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) = 3 1 2 2 2 1? 2 1 2 2 = ( 1- n )< 3 3 2 2 ? ∴ 对任意的 n ? N , Tn ? . 3
20. 解: ( 1 )因为 f (x) 在[-1, 0 ]和[0, 2]上有相反的单调性.所以 x = 0 是 f (x) 的一个极值 点, 故 f /( 0 ) = 0, 即 3ax2 + 2bx + c = 0 有一个解为 x = 0, 则 c = 0. 此时, 易得 3ax2 + 2bx = 0 的另一解 x = - 反的单调性, 所以, - 2b 3a ≥2 且- 2b 3a 2b 3a , 因为 f (x) 在[0, 2]和[4, 5]上有相 b ≤-3. a b + 9 ), a

? cn ?

1
n ?1



≤4 ?-6 ≤

( 2 )假设存在点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜率为 3b, 即 f /( x0 ) = 3b, 即 3ax02 + 2bx0 -3b = 0 , ∵ △ = ( 2b )2 - 4×3a×(-3b) = 4b2 +36 ab = 4 ab ( 而-6 ≤ 3b. (3 ) 依题意可令 f (x) = a (x―2) (x―? ) ( x―? ) = a [ x3 ― (2+? +? )x2 + ( 2? + 2? +? ? )x ―2? ? ]
? b=-a (2 + ? ? ? d=-2a? ?

b ≤-3, ∴△< 0. 故不存在一点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜率为 a



+?)

? ? +? = ―a ―2 ? ? d ?? ? =―2a
b d b = -4 ( + 2), a a b b + 2 )2-8 ( +2) = a a b ―2)2―16 , a

因为 f (x) 交 x 轴于点 B ( 2, 0 ), 所以 8a + 4b + d = 0 , 即 d = -4 ( b + 2a ) , 于是, ∴ | AC |=| ? ―? | = =

(? +? )2 -4? ? ( (

b 2d (― ―2 )2 + = a a

b b b 因为-6 ≤ ≤-3, 所以, 当 =―6 时, | AC |max = 4 3 , 当 =―3 时, | AC |min = 3 a a a 故 3≤| AC |≤4 3 .

8



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