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3.3.2 函数的极值与导数



3.3.2 函数的极值与导数

内容:函数极值的概念及其与 导数的关系 函数的极 值与导数 应用

求函数的极值
给函数的极值求 函数的解析式 给函数的极值求函 数的单调区间

本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限 转动最高点引入新课,接着探讨在跳水运动中,运动员相 对于水面的高度与起跳后的时间的函

数图象,从图象的 增与减定义函数极大值的概念,类似地借助函数图象定 义函数极小值的概念,探讨判断函数极值的方法和步骤 。重点是理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大 值与极小值,掌握利用导数求不超过三次的多项式函数 极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件.为了巩固新知识,给出3个例题和变式,通 过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。 在讲述函数的极值与导数时,采用例题与变式结合 的方法,通过例 1 和变式 1 探讨求已知函数极值的方法。 例 2 和变式 2 、例 3 和变式 3 都是利用已知的极值点求函数 的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解 的方式,重点理解导数在求函数极值中应用。

摆锤极限转动最高点

通过观看视频,大家一起讨论一下摆锤极限 转动最高点问题.

跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米) 与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t 2+6.5t+10
其图象如右.

h

o

t

h?(a) ? 0

单调递增
h?(t ) ? 0

单调递减 h?(t ) ? 0

h

o a

t

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

对于d点,
函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小, =0.

我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点,

f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.
在点x=d 附近的左侧 f ?( x) <0 在点x=d 附近的右侧 f ?( x) >0

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

对于e点, 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附 近其他点的函数值都大, =0 。

我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点,

f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。 在点 x=e 附近的左侧 f ?( x) >0
在点 x=e 附近的右侧 f ?( x) <0

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

极小值点、极大值点统称为极值点
极小值、极大值统称为极值

极大值一定大于极小值吗?

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法, 看极值与导数之间有什么关系? y

o a
y

x0

b x

x0 x0左侧 x0右侧 f?(x) f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0 增 极大值 减 f(x) x0左侧 f?(x) f?(x) <0 x x0 x0右侧 f?(x) =0 f?(x) >0
极小值


x

o

a

b x0

x

f(x)



请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值?

左正右负为极大,左负右正为极小

函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.
f ?( x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 解:

令 f ?( x) =0

得x=2,或x=-2

下面分两种情况讨论: (1)当 f ?( x) >0即x>2,或x<-2时;

(2)当 f ?( x) <0即-2<x<2时;

当x变化时,

, f(x)的变化情况如下表;

x 2 (2,+∞) (-∞,-2) -2 (-2,2) f ?( x) 0 0 + + f(x) 单调递增↗ 28 单调递减↘ -4 单调递增↗
因此,当x=-2时,f(x)有极大值, 并且极大值为f(-2)=28 当x=2时,f(x)有极小值, 并且极小值为f(2)=-4

图象如右

y
f ( x) ? x3 ?12x ? 12

-2 o

2

x

练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值.

f ?( x )=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)

x
f ?( x)

(-∞,-2)

-2 (-2,2)

2

(2,+∞)



0
-10
y

+


0
22



f(x)

f ( x) ? 6 ? 12x ? x3

-2

o2

x

一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 f ?( x )=0.当 f ?( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0

那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶”
②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0 那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”

例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值:

(1)求函数的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间。

解:(1) f

?( x ) =3ax2+2bx-2

因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值,
所以 f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0

f(x)=ax3+bx2-2x
?12a ? 4b ? 2 ? 0 即? ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 1 ? a ? ? 解得 ? 3 1 b ? ? 2 ?

f ?( x ) =3ax2+2bx-2

1 3 1 2 所以 f ( x) ? x ? x ? 2 x 3 2

(2) f ?( x ) =x2+x-2 由 f ?( x ) >0,得x<-2或x>1,

所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)
由 f ?( x ) <0,得-2<x<1, 所以f(x)的单调减区间为(-2,1)

y 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
?若寻找可导函数极值点,可否只由

f (x)?x3

f?(x)=0求得即可?
? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x=0,而x=0不是该 函数的极值点. O x

f?(x0) =0

x0 是可导函数f(x)的极值点
x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0

x0左右侧导数异号

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= ?1处有极值,且极大值为4,极小值

为0.试确定a,b,c的值.
解: f ?( x) ? 5ax4 ? 3bx2 ? x 2 (5ax2 ? 3b). 由题意, f ?( x ) ? 0 应有根 x ? ?1,故5a=3b,于是:

f ?( x) ? 5ax2 ( x 2 ? 1).
(1)设a>0,列表如下:
x

( ??,?1)
+


-1

(-1,1)

1

(1,? ?)
+


f ?( x )
f(x)

0
极大值




0
极小值

?4 ? f (?1) ?? a ? b ? c ? 4 由表可得 ,即? . ? ? 0 ? f (1) ? a?b?c ? 0

又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.

(2)设a<0,列表如下: x
f ?( x )

( ??,?1)

-1 0

(-1,1) ≥0

1 0

(1,? ?)

-

-

f(x)



极小值



极大值



? 4 ? f (1) ? a?b?c ? 4 由表可得? ,即 ? . ?0 ? f (?1) ?? a ? b ? c ? 0

又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.

练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值 为10,求a、b的值.
解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.① 又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
? a?4 ?a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或? ?b ? ?11 ? b ? 3 当a=-3,b=3时, f ?( x) ? 3( x ? 1)2 ? 0 ,此时f(x)在x=1处无

极值,不合题意. 2 ? f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1). 当a=4,b=-11时, 当-11/3<x<1时, f ?( x ) ? 0 ;x>1时, f ?( x ) ? 0 ,此时x=1是 极值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.

一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 f ?( x )=0.当 f ?( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0

那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶”
②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0 那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”

必做题:
1.(2014年天津)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图像如图所示,则函数 f ( x)
在开区间 ( a, b) 内有( A )个极小值点。

A.1

B.2

C.3
f?(x) >0

D. 4

y

y ? f ?( x)

f?(x) <0

b

f?(x) =0

a

O

x

注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别

2.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时有极值10, 则a,b的值为( C ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?4, b ? 11 D. 以上都不对

解:由题设条件得:
解之得 注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

3.求下列函数的极值:

1 ( 1 )y ? ? x x
( 2 )y ? 8 x -12x ? 6 x ? 1
3 2

选做题: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,

又有极小值,则a的取值范围为

.

注意:导数与方程、不等式的结合应用

2.(2012年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y ? f '( x) 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1)

x0 的值;(2)a,b,c的值;

略解: (1)由图像可知: (2)

注意:数形结合以及函数与方程思想的应用



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