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2012-2013学年广西桂林十八中高一上学期期中考试 数学试卷



桂林十八中 12—13 学年度上学期 12 级期中考试试卷


命题人: 易 斌


审题人:以伟男

注意事项: 1、本卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2、答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚. 3、请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题

卷上作答无效. 4、考试结束后,上交答题卡.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂到答题卡的相应位置. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CuM)∩N= A. ?2,3,4? B. ?2? C. ?3? D. ?0,1,2,3,4? 2.设集合 M ? x 0 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 ,给出如下四个图形,其中能表示从集合

?

?

?

?

M 到集合 N 的 函数关系的是
y
2

y
2

y
2 1

y
2

O
A.

1

x

O
B.

2

x

O
C.

2

x

O

1

2

x

3. 设 f ? x ? ? 3 ? 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3 x ? 8 ? 0在x ? ?1,2 ? 内近似解的过程中得
x x

D.

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0 ,则方程的根落在区间 A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D. 不能确定 2 4. 二次函数 f ( x) ? x ? 4 x ( x ? [0,5]) 的值域为 A. [?4,??) B. [0,5] C. [?4,5] D. [?4,0] 1? log 2 5 5. 2 等于
A.7 B.10 C.6 D. 9 2

6. 在映射 f : A ? B中 , A ? B ? {( x, y ) | x, y ? R} ,且 f : ( x, y ) ? ( x ? y, x ? y ) ,则 A 中的元素 (?1,2) 在集合 B 中的像为 A. (?1,?3) B. (1,3) C. (3,1) D. (?3,1) 7.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是 A. 8? cm 2 B. 12? cm 2 C. 16? cm 2 D. 20? cm 2 8. 若函数 f (x) 为奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? 10 , 则 f (?2) 的值是
x

1 1 C. 100 D. ? 100 100 x 9. 函数 y ? a 与 y ? ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 在同一坐标系中的图像只可能是
A. ? 100 B.

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y 1 0 1 x -1

y 1 0 x

y 1 0 1 x

y 1 0 1 x

A. B. C. D. 2 0.31 10. 三个数 a ? 0.31 , b ? log 2 0.31 , c ? 2 之间的大小关系为 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 11. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体表面积及体积为
5

6

俯视图

正视图

侧视图

A. 24? cm 2 , 12? cm3 B. 15? cm 2 , 12? cm3 C. 24? cm 2 , 36? cm3 D.以上都不正确 n?5 ?a (n ? 6, n ? N ), ? 12. 已知函数 f (n) ? ? 是增函数,则实数 a 的取值范围是 a ?(4 ? 2 )n ? 4 (n ? 6, n ? N ), ? (A) (0,1) (B) (7,8) (C) [7,8) (D) (4,8)

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 13. 已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 (2, 2 ), 则f (9) ? 14. 已知函数 . .

?log x ( x ? 0) 1 f ? x ?=? x2 ,则 f [ f ( )] ? 4 ? 3 ( x ? 0)

15. 已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为__________. 16. 定义在 R 上的函数 当 为

x>0时,f ? x ?>0,f ? 2 ?=4 , 则 f ? x ? 在 [?2012, ?100] 上 的 最 大 值
.

f ? x ? 满足,对任 x、y ? R 均有 f ? x ? y ?=f ? x ? ? f ? y ? ,且

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 将解答过程填写在答题卡的相应位置. 17. (本小题满分 10 分)计算

2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5log5 3 . 9

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18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? a 2 , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 1 , A ? B ? ??3? , 若 求实数 a 的值.

?

?

?

?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

2x ?1 . 2x ?1

(Ⅰ)判断函数 f (x) 的奇偶性,并证明; (Ⅱ)利用函数单调性的定义证明: f (x) 是其定义域上的增函数.

20. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? log a (3 ? ax)(a ? 0, a ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使函数 f (x) 在 [1,2] 递减,并且最大值为 1,若存在,求出 a 的 值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且销售量近似地满足 前 30 天价格为 g

f ? t ?=-2t+200(1 ? t ? 50,t ? N) ,

? t ?=

1 t+30(1 ? t ? 30,t ? N) , 2
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后 20 天价格为 g

? t ?=45(31 ? t ? 50,t ? N) .

(Ⅰ)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (Ⅱ)求日销售额 S 的最大值.

22. (本小题满分 12 分) f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a、b ? R ,当 a ? b ? 0 设 时,都有

f (a ) ? f (b) ? 0. a?b (Ⅰ)若 a ? b ,试比较 f (a ) 与 f (b) 的大小关系;
x x x

(Ⅱ)若 f (9 ? 2 ? 3 ) ? f (2 ? 9 ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范 围.

桂林十八中 12 级高一上学期期中考试数学答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11 A 12 D

二、填空题: 13. 3 14.

1 9

15. 28

16.

?200

三、解答题: log 3 17. 解:原式=2 log 3 2 ? log 3 32-log3 9) ? log 3 23 ? 5 5 ………4 分 ( = 2 log 3 2 ? log 3 2 -2log3 3 ) ? 3log 3 2 ? 3 ………7 分 (5 = ?3log 3 2 +2 ? 3log 3 2 ? 3 =-1………10 分 18. 解: (1) ∵A∩B={-3},∴-3∈B,易知 a2+1≠-3. ………1 分 ①若 a-3=-3,则 a=0, 此时 A={0,1,-3},B={-3,-1,1}, 则 A∩B={1,-3},这与已知矛盾.………5 分 ②若 2a-1=-3,则 a=-1, 此时 A={0,1,-3},B={-3,-4,2}, 则 A∩B={-3}.………10 分 综上可知 a=-1. ………12 分 19. (1) f (x) 为奇函 数. ………1 分
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? 2 x ? 1 ? 0, ? f (x) 的定义域为 R, 2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 又? f (? x) ? ? x ? ?? x ? ? f ( x) 2 ?1 1? 2x 2 ?1 ? f (x) 为奇函
数.

………2 分

………6 分

2 2 ?1 任取 x1 、 x 2 ? R ,设 x1 ? x 2 , 2 2 1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ………9 分 ? x1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
(2)? f ( x) ? 1 ?
x

? x1 ? x 2 ? 2 x1 ? 2 x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 又 2 x1 ? 1 ? 0, 2 x2 ? 1 ? 0 , ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . ? f (x) 在 其 定 义 域 R 上 是 增 函 ?
数. ………12 分

20. (1)由题意: f ( x) ? log 2 (3 ? 2 x) ,? 3 ? 2 x ? 0 ,即 x ? 所 以 函 数

3 , 2
义 域 为

f (x)





3 ………4 分 (??, ) ; 2 (2)令 u ? 3 ? ax ,则 u ? 3 ? ax 在 [1,2] 上恒正,? a ? 0, a ? 1 ,? u ? 3 ? ax 在 [1,2] 上
单调递减,

?3 ? a ? 2 ? 0





3 ………7 分 a ? (0,1) ? (1, ) 2 又 函 数 f (x) 在 [1,2] 递 减 , ? u ? 3 ? ax 在 [1,2] 上 单 调 递 减 , ? a ? 1 , 即 3 ………9 分 a ? (1, ) 2 又? 函数 f (x) 在 [1,2] 的最大值为 1,? f (1) ? 1 , 即 , f (1) ? log a (3 ? a ? 1) ? 1 3 ………11 分 ?a ? 2 3 3 ?a 与 矛 盾 , 不 存 ?a ? a ? (1, ) 2 2
在. 21. 解: (1)根据题意得: ? ?1 ? ?? ?2t ? 200 ? ? t ? 30 ? ,1 ? t ? 30, t ? N s?? ………3 分 ?2 ? ? 45(?2t ? 200) 31 ? t ? 50, t ? N ? ………12 分

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?-t2+40t+6 000, 1≤t≤30,t∈N, ? =? ………6 分 ? ?-90t+9 000, 31≤t≤50,t∈N.

(2)①当 1≤t≤30,t∈N 时,S=-(t-20)2+6 400, 当 t=20 时,S 的最大值为 6 400. ………8 分 ②当 31≤t≤50,t∈N 时,S=-90t+9 000 为减函数, 当 t=31 时,S 的最大值是 6 210. ………10 分 ∵6 210<6 400, ∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6 400. ………12 分 22. (1)因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,由题意得:

f (a ) ? f (?b) ? 0 ,所以 f (a ) ? f (?b) ? 0 ,又 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, a?b , 即 ? f (?b) ? ? f (b) ? f (a ) ? f (b) ? 0 . ………6 分 f (a ) ? f (b) ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 R 上 的 单 调 递 增 函 f (x) 为
数,
x x x

………7 分 即

? f (9 ? 2 ? 3 ) ? f (2 ? 9 ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立, , ? f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? ? f (2 ? 9 x ? k ) x x x ………8 分 f (9 ? 2 ? 3 ) ? f (k ? 2 ? 9 ) , x x x x x , ?k ? 3?9 ? 2?3 对 任 意 ?9 ? 2 ? 3 ? k ? 2 ? 9
立, 即 值. k 小 ………9 分 于 函 数

x ? [0,??)


恒 最

成 小

u ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x , x ? [0,??)
………10 分

令 t ? 3 x ,则 t ? [1,??) ? u ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ?

? k ? 1.
……12 分

1 3

1 ? 1, 3


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