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第七讲:简单三角恒等变换 2



简单三角恒等变换
一、引言
(一)本节的地位:三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一,也是历年高考必考 查的内容,体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求. (二)考纲要求:通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌 握二倍角的正弦、余弦、正切公式.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求 值和恒等证明.重点是应用公式进行三角函数式的

化简、求值和恒等证明. (三) 考情分析: 一般考查对公式理解与熟练运用, 以及考查运算能力、 逻辑推理能力, 在历年的高考中,常常要考查,考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇 等.对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查.

二、考点梳理
1.两角和与两角差的正弦公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; 余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 正切公式: tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角的正弦公式: sin 2? ? 2sin ? cos ? ; 二倍角的余弦公式: cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ? ;
2 2 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 3.降幂公式: sin ? ? ; cos ? ? . 2 2
二倍角的正切公式: tan 2? ? 4.解题时既要会正用这些公式,也要会逆用及变形用,特别是二倍角公式,正用── 化单角,逆用──降次.

三、典型问题选讲
(一)化简(求值)问题
例 1 求下列各式的值: ⑴ cos 20? cos 40? cos80? ; ⑵ tan 70? ? tan 50? ? 3 tan 50? ? tan 70? ; ⑶ sin 50?(1 ? 3 tan10? ). 例2 (1) 化简下列各式:

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ?; 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

1

(2)

cos2 ? ? sin 2 ? . ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

a sin

例3

已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 . ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

例4

已知 tan ?, 求 tan ? 是方程x ? 5 x ? 6 ? 0的两个实根,
2

2sin 2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ?的值 .

cos?? ? ? ? cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? cos?, tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ? tan ? ? tan ? , tan?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ,

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan?? ? ? ?。

(二)恒等变形 cos x 1 ? sin x 例 5 求证: . ? 1 ? sin x cos x

(三)与其他知识综合
例6 △ ABC 中, tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C .求 A, C . cos A ? cos B
k? , k ? Z) ,B(3,0),C(0, 4

例7

已知三点 A、B、C 的坐标分别为 A(cos? , sin ? )(? ?
1 ? sin 2? ? cos 2? 的值. 1 ? tan?

3),若 AB ? AC ? ?1 ,求

例 8(2009,湖南)已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值.

?

?

?

?

?

?

2



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