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北京市西城区2014年高三二模试卷数学理



北京市西城区 2014 年高三二模试卷 数学(理科)
第 I 卷(选择题 共 40 分)

2014.5

一、

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题 ).

目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,

B ? {x | x ? a} ,若 A I B ? A ,则实数 a 的取值范围是(
A. (??, ?2] B. [?2, ??) C. (??, 2] D. [2, ??)

2.在复平面内,复数 z ? (1 ? 2i)2 对应的点位于( A. 第一象限 B.第二象限

). D.第四象限 ).

C.第三象限

3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C :
A. 5 C. 3 B. D.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是( a 2 b2
5 2 3 2

4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集 合,则( ). A. 2 ? A ,且 4 ? A B.
2 ? A ,且 4 ? A

C. 2 ? A ,且 2 5 ? A D. 2 ? A ,且 17 ? A 5.设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

6.如图,阴影区域是由函数 y ? cos x 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是 (
A. 1

).
B. 2 C.
π 2

D. π

0, ? x… x 4, ?0剟 ? 0, 7.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y… 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? 所表 y 10 ?0剟 ? x ? y ? 8? 0 ?

示的平面区域是 ? .从区域 ? 中随机取一点 P( x, y ) ,则 P 为区域 ? 内的点的概率是( A.


).

1 4

B.

3 5

C.

3 4
1第

D.

1 5

8.设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为

M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x(?) ,点 N 的纵坐标的最大值与最小值之
差为 y (?) . 若 ? 是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论: ① x(?) 的最大值为 2 ; ② x(?) ? y(?) 的取值范围是 [2, 2 2] ; ③ x(?) ? y(?) 恒等于 0. 其中所有正确结论的序号是( A.① B.②③ ). C.①② D.①②③

第 II 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1 9. ( x ? )6 的二项展开式中,常数项为_________. x 1 10.在 V ABC 中,若 a ? 4, b ? 3,cos A ? ,则 sin A ? ______, B ? ______. 3
E D ? E 11. 如图, 且C AB 和 CD 是圆 O 的两条弦, AB 与 CD 相交于点 E , ? A E4 , B E : ? 4 1 :

, 则 AE ? _______;

AC ? ______. BD

12.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为_________.
F ? M N 13. 设抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点,N (2, 2) , 则M

的取值范围为_________.

14.已知 f 是有序数对集合 M ? {( x, y) | x ? N* , y ? N*} 上的一个映射,正整数对 ( x, y ) 在映射 f 下的象为实 数 z ,记作 f ( x, y) ? z ,对于任意的正整数 m, n(m ? n) ,映射 f 由下表给出:
( x, y ) f ( x, y ) ( n, n ) ( m, n ) ( n, m )

n

m?n

m?n

则 f (3,5) ? _______,使不等式 f (2x , x)? 4 成立的 x 集合是_________.
页 2第

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(cos? , 2 sin ? ), B(sin ? ,0) ,其中 ? ? R .
uuu r 2π ,求向量 AB 的坐标; 3 uuu r π (II)当 ? ?[0, ] 时,求 AB 的最大值. 2

(I)当 ? ?

16. (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A, B 两班中各抽 5 名学生进行视力检 测.检测的数据如下:
3 , 5. 9. 1 , 4. 6 , 4. 1 , 4. A 班的 5 名学生的视力检测结果: 4.
9 , 4. 5. 1 , 4. 0 , 4. 0 , 4. B 班的 5 名学生的视力检测结果: 5.

(I)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (II)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明)
6 的人数,求 X 的分布 (III)现从班的上述 5 名学生中随机选取 3 名学生,用 X 表示其中视力大于 4.

列和数学期望. 17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 底 面 ABC , AC ? BC , H 为 PC 的 中 点 , M 为 AH 的 中 点 ,
PA ? AC ? 2, BC ? 1

(I)求证: AH ? 面 PBC ; (II)求 PM 与平面 AHB 所成角的正弦值 (III)设点 N 在线段 PB 上,且
PN ? ? , MN ∥平面 ABC ,求实数 ? 的值. PB



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18. (本小题满分 13 分)

e x ?1 ,其中 a ? R ax2 ? 4 x ? 4 (I)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值;
已知函数 f ( x) ? (II)当 a ? 1 时,试确定函数 f ( x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 设 A, B 是椭圆 W : 合) , O 为坐标原点. (I)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程;
uuur uuu r (II)设 N 为 x 轴上一点,且 OM ? ON ? 4 ,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C ,证明:点 B 与点
C 关于 x 轴对称.

x2 y 2 ? ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 轴于点 M (与点 A, B 不重 4 3

20. (本小题满分 14 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N* ,都有 an ? N* , an ? an?1 .设 m ? N* ,记使得 an? m 成立的
n 最大值为 bm .

(I)设数列为 1,3,5,7, L ,写出 b1 , b 2 , b3 的值; (II)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } ; (III)设 ap ? q, a1 ? a2 ? L ? ap ? A ,求 b1 ? b2 ? L ? bq 的值. (用 p, q, A 表示)



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