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2014届高三数学一轮复习专讲专练 :8.2 空间几何体的表面积和体积


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32

B.16+16 2

C.48

D.16+32 2

解析:由三视图知,四棱锥是底面边长为 4,高为 2 的正四棱锥,∴四棱锥 1 的表面积是 16+4×2×4×2 2=16+16 2,故选 B. 答案:B 2.设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.9π+42 9 C.2π+12

B.36π+18 9 D.2π+18

解析:该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为 3,长 4 ?3? 9 方体的底面是边长为 3 的正方形, 高为 2, 故所求体积为 2×32+3π?2?3=2π+18,
? ?

故选 D. 答案:D 3.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠ BSC=45° ,则棱锥 S-ABC 的体积为( 3 A. 3 4 3 C. 3 ) 2 3 B. 3 5 3 D. 3

解析:如图,设球心为 O,OS=OA=OC 得∠SAC=90° ,又∠ASC=45° , 2 2 1 所以 AS=AC= 2 SC,同理 BS=BC= 2 SC,可得 SC⊥面 AOB,则 VS-ABC=3S
△AOB

1 4 3 · SC=3× 3×4= 3 ,故选 C. 答案:C 4.(2013· 山西演练)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表

面积为(

)

16 A. 3 π 19 C. 3 π

19 B.12π 4 D.3π

解析:由三视图可知该几何体是底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱.其外接 球的球心为上下底面中心连线的中点.
?2 3?2 19 ?1? 19 ? = ,S=4πR2= π,故选 C. ∴R2=?2?2+? 12 3 ? ? ? 3 ?

答案:C 5.(2012· 课标全国)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某 几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6

B.9

C.12 D.18 解析:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3,此几何体的体积为 V= 1 1 3×2×6×3×3=9.正确地理解三视图是解题的关键. 答案:B 6.(2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( ) 2 A. 6 2 C. 3 3 B. 6 2 D. 2 1-?
? 3?2 6 ?= , 3 ?3 ?

解析:设三角形 ABC 的中心为 M,球心为 O,则 OM= 2 6 则点 S 到平面 ABC 的距离为 3 . 1 1 3 2 6 2 所以 V=3×2× 2 × 3 = 6 ,所以选 A. 答案:A 二、填空题

7. (2012· 上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面, 则该圆锥的 体积为__________.

解析:设底面半径为 r,如图所示. 1 l=2π,∴rl=2, 2·2πr· 1 又∵2πl2=2π,∴l=2,∴r=1. ∴h= l2-r2= 3, 1 3 ∴V=3·π·12· 3= 3 π. 充分利用展开图是半圆这一条件,才能求出 r 与 l. 3 答案: 3 π 8.(2012· 江苏)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1 =2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为__________cm3.

解析:连接 AC 交 BD 于 O 点,∵AB=CD, ∴ABCD 为正方形,∴AO⊥BD. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1B⊥面 ABCD, 又 AO?面 ABCD,∴B1B⊥AO. 又 B1B∩BD=B, ∴AO⊥面 BB1D1D,即 AO 长为四棱锥 A-BB1D1D 的高, AC 3 2 ∴AO= 2 = 2 ,SBB1D1D=BB1×BD=3 2×2=6 2. 1 3 2 ∴VA-BB1D1D=3×6 2× 2 =6. 答案:6 9.(2012· 上海)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2. 若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的 体积的最大值是__________.

[

解析:如图,过 B 点作 BE⊥AD,连接 EC.可证 AD⊥面 EBC. ∴VD-ABC=VD-EBC+VA-EBC

由 AB+BD=AC+CD=2a,可知当 E 为 AD 中点时体积最大,取 BC 中点 F,连接 EF. 1 ∴VD-ABC=3· S△BEC 2c· ∵BE= a2-c2, ∴EF= a2-c2-1, 1 ∴S△BEC=2· a2-c2-1, 2· 2 ∴VD-ABC=3c a2-c2-1. 2 答案:3c a2-c2-1 三、解答题 10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

解析:(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体是四棱锥, 且四棱锥的底面 ABCD 是相邻两边长分别为 6 和 8 的矩形,高 HO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点,如图所示. 1 ∴该几何体的体积 V=3×8×6×4=64. (2)如图所示,作 OE⊥AB,OF⊥BC,侧面 HAB 中,HE= HO2+OE2= 42+32=5, 1 1 ∴S△HAB=2×AB×HE=2×8×5=20. 侧面 HBC 中,HF= HO2+OF2= 42+42=4 2.

1 1 ∴S△HBC=2×BC×HF=2×6×4 2=12 2. ∴该几何体的侧面积 S=2(S△HAB+S△HBC)=40+24 2. 11.(2013· 滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 解析:(1)直观图如图所示:

(2)方法一:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的 3 体积是以 A1A,A1D1,A1B1 为棱的长方体的体积的4,在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1 于 E,则 AA1EB 是正方形,∴AA1=BE=1 m.

在 Rt△BEB1 中,BE=1m,EB1=1 m,∴BB1= 2 m. ∴几何体的表面积

1 =1+2×2×(1+2)×1+1× 2+1+1×2 =7+ 2(m2). 3 3 ∴几何体的体积 V=4×1×2×1=2(m3). 3 ∴该几何体的表面积为(7+ 2)m2,体积为2 m3. 方法二:几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法 同方法一, V 直四棱柱 D1C1CD-A1B1BA=Sh 1 =2×(1+2)×1×1 3 =2(m3). 3 ∴几何体的表面积为(7+ 2)m2,体积为2 m3. 12.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示,墩的上半部分是 正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 2、图 3 分别是该标 识墩的正视图和俯视图.

图1 (1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD⊥平面 PEG.

图2

图3

解析:(1)侧视图同正视图,如图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V=VP-EFGH+VABCD-EFGH 1 =3×402×60+402×20 =32 000+32 000

=64 000(cm3). (3)如图,连接 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连接 PO.

由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面 EFGH,∴PO⊥HF. 又 EG⊥HF,∴HF⊥平面 PEG. 又 BD∥HF,∴BD⊥平面 PEG.


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