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1216直线与圆锥曲线的位置关系(整理)



乳山市第一中学

高艳山

?

直线与圆锥曲线位置关系的综合题在高考中多以

高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定, 弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等。

? 突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等
价转化等数学思想方法,对考生分析问题和解决问 题的

能力、计算能力的要求较高,起到了拉开考生 “档次” 、有利于选拔的功能。

课堂问题:
直线与圆锥曲线位置问题的有关知识点: 知识点一: 知识点二: 直线与圆锥曲线交点个数问题; 利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母 的取值或取值范围; 有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程 和弦的中点轨迹方程); 有关曲线的弦长问题; 圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。

知识点三:

知识点四: 知识点五:

知识点六:

圆锥曲线上的点对称问题;

知识点一:交点个数与位置关系
用数形结合的方法,能迅速判 断某些直线和圆锥曲线的位 置关系,但要注意:形准不漏

? 1) 几何法:运用圆锥曲线的几何性质将问 题进行等价转化; ? 2) 代数法:等价转化为直线方程和圆锥曲 线方程组成的方程组解的问题,进而转化 为一元方程解的问题。

1.直线与椭圆位置关系的判断方法: 代数法 联立直线与椭圆的方程,消去x(或y),得到 一个关于x(或y)的一元二次方程. △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 问题1.要使直线 y ? kx ? 1(k ? R)与焦点在x轴
x2 y2 ? ? 1 总有公共点,实数a的 上的椭圆 7 a

取值范围是 A.0<a≤1 B.0<a<7 C.1≤a<7 D.1<a≤7

2.直线与双曲线的位置关系 代数法 联立直线与双曲线的方程,消去x(或y),得 到一个关于x(或y)的一元二次方程.
直线与双曲线没有交点:? ? 0,或与渐近线重合 直线与双曲线有一个交点: ? ? 0,或与渐近线平行 直线与双曲线有两个交点:? ? 0 2
x 2 ? y ? 1?a ? 0? 问题2.设双曲线C的方程为 2 a

若直线x+y-1=0与双曲线左、右两支交于不同 的两点A、B,求双曲线离心率e的取值范围;

3.直线与抛物线的位置关系 联立直线与抛物线的方程,消去x(或y),得 到一个关于x(或y)的一元二次方程. ⑴直线与抛物线有两个交点?△>0 ⑵直线与抛物线有一个交点?△=0或直线 与对称轴平行. ⑶直线与抛物线没有交点?△<0

知识点二:求字母的取值范围
1 、如果曲线 y2=ax 与直线 y=(a+1)x-1 恰有一个公共 点,求正实数a的值。 2、两点A(-3,4),B(4,4),若线段AB与椭圆x2+y2/2=a2 没有公共点,求a的取值范围。

3、 椭圆 求证:

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 与直线x+y-1=0相交于两 2 a b

点P、Q,且OP⊥OQ(O为原点)。
1 1 ? a 2 b2

等于定值。

例题讲解:
例1:
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1有__ C 个公共点 A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定
y

【解题回顾】 过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交

.
o

X

变题:
变1:不论k为何值,如果直线 y=kx+b 与椭 圆y2/9+x2/4=1总有公共点,求b的取值范 围?

变2:若直线kx-y+1=0与椭圆x2/5+y2/m=1 对于任何实数k恒有公共点,则实数m的 取值范围?

例题讲解: 例 2:
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1有__ C 个公共点 A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定 2).过点(0,2)与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条 数是( D ) A、0 B、 1 C、2 D、 3 3).若直线y=kx-1与双曲线x2/9-y2/4=1仅有一个公共 点,则这样的k可取___个值.

评析:
3).若直线y=kx+1与双曲线 x ? y ? 1 仅 4 个值. 有一个公共点,则这样的k可取___ 2 2 对于直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x ? y ? 1
2 2



k ?? 2



k ? ?1

时 , 只有一个公共点。
y

p
O

x

例3.直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点. (1)当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上? (2)当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? y B 解析(1) 解析(2)
A

O

x

【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系 , 即一元二次方程首项系数是否为零的讨论。

解(1): 令A和B的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2, y2 ) 首先联立两方程

? y ? ax ? 1 ? 2 2 3 x ? y ?1 ?

消去y得到

解:(2)由题意知OA与OB垂直

知识点三:弦中点问题
? 求中点弦所在直线方程和弦的中点 轨迹方程
? “点差法”、“韦达定理”

遇到弦中点,两式减一减;

若要求弦长,韦达来帮忙.

知识点三: 有关弦中点的问题(求中点弦所在直 线方程和弦的中点轨迹方程)
【例】 已知椭圆 的直线方程.

x2 y2 ? ?1 ,求以点P(2,1)为中点的弦所在 16 9

点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.
?x y

2 2 x y 对于椭圆 ? M ( x1 , y1 )、 N(x2 , y2 ) ? 1 (a ? b ? 0) 设 2 2 a b 2 2 2 2 2 2

则: ? 12 ? 12 ? 1 ?a b
? 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 2 b2

? kMN

y1 ? y2 设椭圆的中心为O,MN的中点为P,则 kop ? x1 ? x2 2
即(3)可表示为 k MN ? kop
b ?? 2 a

y1 ? y2 y1 ? y2 2 y中 y中-0 ? , ? = x1 ? x2 x1 ? x2 2 x中 x中-0

x1 ? x2 y1 ? y2 (1) ( 1 )-(2)得 ? ?0 2 2 y1 ? y2 y1 ? y2a b2 b (3) (2)? x ? x ? x ? x ? ? a 2 1 2 1 2

例、点P(3,2)是椭圆4x2+9y2=144内一点,过点P的 弦恰是以P为中点,求此弦所在直线方程。

例4:已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否作 一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为AB的 中点;若存在,求AB的弦长。 解法一:(韦达定理) 解法二:(点差法)
AB ?| x1 ? x 2 | 1 ? k 2
1 AB ?| y 1 ? y 2 | 1 ? k
2

【解题回顾】 中点弦(韦达定理,点差法) 【易错分析】 “点差法”的前提条件: 两个交点的存在性

解:假设能作出这样的直线l,与双曲线交点为 A( x1 , y1 ), B( x2, y2 ) (1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1与双曲线相切,不合题意 (2)当直线的斜率存在时,可设直线方程为 y-1=k(x-1), 此时联立两方程可得: ? y ? 1 ? k ? x ? 1? ? 消去y得?2 ? k ?x ? 2k ?1 ? k ?x ? ?1 ? k ? ? 2 ? 0 ? y
2 x ? ?1 ? ? 2 2 2 2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

2k ?1 ? k ? 2? k2

? P为AB 的中点,? x1 ? x2 ? 2 即 ?k ? 2

2k ?1 ? k ? ?2 2 2?k

而k ? 2时(1)式为2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 其? ? 0 即直线与双曲线无交点 , 所以不存在这样的直线 .

解:假设存在这样的直线l,它与双曲线的两交点分别为: A( x1 , y1 ), B( x2, y2 ) 把两点坐标分别代入椭圆方程得:

? 2 y12 x1 ? ? 1 (1) ? ? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? ? ? 由 ( 1 ) ? ( 2 ) 得 : x ? x ? x ? x ? ? 1 2 1 2 2 2 y ? x 2 ? 2 ? 1 ( 2) 2 ? 2 ? y ? y2 2? x1 ? x2 ? ? 1 ? 又 p 为 AB 的中点, ? x1 ? x2 ? 2 y1 ? y2 ? 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? K AB ? 2 即直线的斜率为 2 , 此时直线方程为: y ? 2 x ? 1 由解法一知道此直线与 双曲线没有交点 , 所以假设不成立 .
代入双曲线方程得判别式小于零,故无交点,直线不存在 不能作出满足题意的直 线.

知识点四:弦长问题
总结:
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

( 1 )弦长公式 , 若弦 AB 过焦点,可用焦点弦公式,但是在双曲 线中要判断 A, B 两点是在双曲线的同支还是异支 上。

1 y ? y2 2 1 k

(2)直线与圆锥曲线的有关问题通常可通过联 立方程组处理 (3)与中点、斜率有关的问题,可用“点差法” 处理



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