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2014届高三数学辅导精讲精练40



2014 届高三数学辅导精讲精练 40
1.若 a,b∈R,下列命题中正确的是 ①若|a|>b,则 a2>b2; ②若 a2>b2,则|a|>b; ③若 a>|b|,则 a2>b2; ④若 a2>b2,则 a>|b|. A.①和③ C.②和③ 答案 解析 C 条件|a|>b,不能保证 b 是正数, B.①和④ D.②和④ ( )

条件 a>|b|可

保证 a 是正数, 故①不正确,③正确. a2>b2?|a|>|b|≥b,故②正确,④不正确. 2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 A.a>b C.|a|>-b 答案 B ( ) B. 1 1 > a-b a ( )

D. -a> -b

3.设 a>b,则下列不等式恒成立的为 A.(a+c)4>(b+c)4 C.lg|b+c|<lg|a+c| 答案 解析 D B.ac2>bc2 1 1 D.(a+c)3>(b+c)3

应用不等式的性质可以判断每个不等式成立与否, 但要注意每个选项

上来看都是对的,因此需要我们利用性质认真判别. 当 a>b,a+c 与 b+c 为负数时,由 0>a+c>b+c, 得 0<-(a+c)<-(b+c). 所以 0<[-(a+c)]4<[-(b+c)]4,即(a+c)4<(b+c)4. 所以 A 不成立; 当 c=0 时,ac2=bc2,∴B 不成立;

当 a>b,得 a+c>b+c,但若 a+c、b+c 均为负数时, |a+c|<|b+c|,即 lg|a+c|<lg|b+c|. 故 C 不恒成立.故选 D. 4.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 1 1 A.a+b>b+a 1 1 C.a-b>b-a 答案 A ( ) b b+1 B.a> a+1 D. 2a+b a > a+2b b ( )

5.已知 0<a<b,且 a+b=1,下列不等式成立的是 A.log2a>0 C.2ab>2 答案 解析 D B.2a-b>1 D.log2(ab)<-2

1 由已知,0<a<1,0<b<1,a-b<0,0<ab<4,log2(ab)<-2,故选 D. (
2 2

6.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是 A.ab<b2<1 C.2b<2a<2 答案 解析 方法二
2

)

B.log1b<log1a<0 D.a2<ab<1

C 方法一 1 1 特值法.取 b=4,a=2.

0<b<a?b2<ab,A 不对;

y=log1x 在(0,+∞)上为减函数, ∴log1b>log1a,B 不对;
2 2

a>b>0?a2>ab,D 不对,故选 C. 7.若 a>b>c,a+2b+3c=0,则 A.ab>ac C.ab>bc 答案 A ( ) B.ac>bc D.a|b|>c|b| ( )

ln2 ln3 ln5 8.若 a= 2 ,b= 3 ,c= 5 ,则

A.a<b<c C.c<a<b 答案 解析 C a-b= ln23-ln32 <0?a<b, 6

B.c<b<a D.b<a<c

ln25-ln52 a-c= >0?a>c,∴c<a<b. 10 9.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 A.b-a>0 C.b+a>0 答案 解析 C ?-a<b<a, a-|b|>0?a>|b|,? ?a+b>0. ?a>0 B.a3+b3<0 D.a2-b2<0 ( )

10.若 1<α<3,-4<β<2,则 α-|β|的取值范围是______. 答案 解析 (-3,3) -4<β<2?-4<-|β|≤0,-3<α-|β|<3.

11.若 a>1,b<1,则下列两式的大小关系为 ab+1____a+b. 答案 解析 < (ab+1)-(a+b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b).

∵a>1,b<1,∴1-a<0,1-b>0. ∴(1-a)(1-b)<0,∴ab+1<a+b. 12.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是______. 答案 解析 1 2<a<1 ∵a2+1>2a,loga(a2+1)<loga2a,

∴0<a<1. ∵loga(2a)<loga1, 1 1 ∴2a>1,∴a>2,∴2<a<1. 1 13.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b<a”的________条件. 答案 既不充分也不必要

解析

1 1 一方面,若 0<ab<1,则当 a<0 时,0>b>a,∴b<a不成立;另一方面,

1 若 b<a,则当 a<0 时,ab>1,∴0<ab<1 不成立. 14. (2011· 天津理)设 x, y∈R, 则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的________ 条件. 答案 解析 充分而不必要条件 因为 x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4 易证, 所以充分性满足; 反之, 不成立,

7 如 x=y=4,满足 x2+y2≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 x2+ y2≥4 的充分而不必要条件. a b 1 1 15.已知 a+b>0,比较b2+a2与a+b的大小. 答案 解析 a b 1 1 b2+a2≥a+b a b ?1 1? a-b b-a ? + ? b2+a2-?a b?= b2 + a2 =

2 ? 1 1 ? ?a+b??a-b? (a-b)?b2-a2?= . a2b2 ? ?

∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴

?a+b??a-b?2 a b 1 1 ≥0,∴b2+a2≥a+b. 2 2 ab

16.已知 a>0 且 a≠1,比较 loga(a3+1)和 loga(a2+1)的大小. 答案 解析 > 当 a>1 时,a3>a2,a3+1>a2+1.

又 y=logax 为增函数, 所以 loga(a3+1)>loga(a2+1); 当 0<a<1 时,a3<a2,a3+1<a2+1. 又 y=logax 为减函数, 所以 loga(a3+1)>loga(a2+1). 综上,对 a>0 且 a≠1,总有 loga(a3+1)>loga(a2+1). 17.已知 m∈R,a>b>1,f(x)= 答案 mx ,试比较 f(a)与 f(b)的大小. x-1

当 m>0 时,f(a)<f(b);当 m=0 时,f(a)=f(b);

当 m<0 时,f(a)>f(b). 解析 f(x)= mx 1 1 1 =m(1+ ),所以 f(a)=m(1+ ),f(b)=m(1+ ). x-1 x-1 a-1 b-1 1 1 <1+ .①当 m>0 时,m(1+ a-1 b-1

由 a>b>1,知 a-1>b-1>0,所以 1+ 1 1 )<m(1+ ),即 f(a)<f(b); a-1 b-1

②当 m=0 时,m(1+ ③当 m<0 时,m(1+

1 1 )=m(1+ ),即 f(a)=f(b); a-1 b-1

1 1 )>m(1+ ),即 f(a)>f(b). a-1 b-1

x2 x3 1.(2010· 江苏理)设 x,y 为实数,满足 3≤xy ≤8,4≤ y ≤9,则y4的最大值是
2

________. 答案 解析 27 由题设知, 实数 x, 均为正实数, y 则条件可化为 lg3≤lgx+2lgy≤lg8,

?lg3≤a+2b≤3lg2, x3 lg4≤2lgx-lgy≤lg9, lgx=a, 令 lgy=b, 则有? 又设 t=y4, ?2lg2≤2a-b≤2lg3, 则 lgt=3lgx-4lgy=3a-4b.令 3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得 m=-1,n= x3 2,即 lgt=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27.∴y4的最大值是 27. x2 x4 另解:将 4≤ y ≤9 两边分别平方,得 16≤y2≤81.① 1 1 1 又由 3≤xy2≤8,可得 ≤ 2≤ .② 8 xy 3 x3 x3 由①×②,得 2≤y4≤27,即y4的最大值是 27. 2.设二次函数 f(x)=ax2 +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m, 1 n(m<n).若 a>0,且 0<x<m<n<a,比较 f(x)与 m 的大小. 答案 <

解析

由题意知,F(x)=a(x-m)(x-n),

∴f(x)=a(x-m)(x-n)+x. ∴f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1). 1 ∵a>0,且 0<x<m<n<a, ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m.



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