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100测评网北京市西城区2009年高三抽样测试数学试题(理科)2009.01


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北京市西城区 2009 年高三抽样测试 高三数学试卷(理科)
2009.1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

题号




15 16 17


18 19 20

总分

分数 第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.若集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {x || x |? 2} ,则集合 A A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?2或x ? 2}

B 等于( )

B. {x | x ? 1或x ? ?2} D. {x | x ? ?2或x ? 1} )

, 2) , b = (?3, 4) ,则 (a ? b)(a + b) 等于( 2. 若向量 a ? (1
A. 20 C. 54 B. (?10,30) D. ( ?8, 24)

3. 已知函数 f ( x) ? 3x ,那么函数 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的定义域为( ) A. {x | x ? 1} C. {x | x ? 0且x ? 1} 4. “ tan ? ? B. {x | x ? 0} D. R

3 3 ,且 sin ? ? cot ? ? 0 ”是“ sin ? ? ? ”的( ) 4 5
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

5. 已知 m 是平面 ? 的一条斜线,点 A ? ? ,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是( )

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A. l / / m, l ? ? C. l ? m, l / /? B. l ? m, l ? ? D. l / / m,l / /?

6. 已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N (2,0) ,线段 AN 的垂直 平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A. 圆 C. 双曲线 ) B. 椭圆 D. 抛物线

7.已知有穷数列{ an }(n= 1,2,3,?,6 )满足 an ?{1, 2,3,

,10} , 且当 i ? j (i, j ? 1, 2,3,

,6)


时, ai ? a j . 若 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 ,则符合条件的数列{ an }的个数是(
3 3 A. C10 C7 3 3 C. A10 A7 3 3 B. C10 C10 6 3 D. C10 A6

8. 如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙 的距离分别是 a m(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细. 现在想用 16m 长的 篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD. 设此矩形花圃的最大面积 为 S,若将这棵树围在花圃内,则函数 S ? f (a ) (单位 m2)的图象大 致是( A S ) B. C. S

A am B

D P 4m

C

D.





S




S


。 O a O a O


a O

。 a

第Ⅱ卷(

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 .

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9.若双曲线的离心率为 2,两焦点坐标为 (?2, 0), (2, 0) ,则此双曲线的方程为___________.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为___________. ? x ? 1. ?
11. 已知 ( ax ?

1 6 ) 的展开式中常数项为-160,那么 a=___________ . x

12. 若 A,B 两点在半径为 2 的球面上,且以线段 AB 为直径的小圆周长为 2 ? ,则此球的表 面积为___________,A,B 两点间的球面距离为__________. 13. 对于函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x, h( x) ? x ? 1 f ( x) ? g ( x) 的最大值为 ○

?
3

,有如下四个命题:

2;

2 f [h( x)] 在区间 [? , 0] 上是增函数; ○ 2 3 g[ f ( x)] 是最小正周期为 2? 的周期函数; ○ 4 将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位可得 g ( x) 的图象. ○ 2 其中真命题的序号是___________. 14. 已知数列 {an} 的每一项都是非负实数,且对任意 m, n ? N*有

?

?

am+ n - am - an = 0 或 am+ n - am - an = 1 .
又知 a2 = 0, a3 > 0, a99 = 33 . 则 a3 =_________, a10 =_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 在 V ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,且 a、b、c 互不相等,设 a=4, c=3, A = 2C . (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)求 b 的值.

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16.(本小题满分 12 分) 在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出 3 件进行质量检验. 已知甲、乙批次每件产品 检验不合格的概率分别为 、 ,假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响. (Ⅰ)求至少有 2 件甲批次产品检验不合格的概率; (Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多 1 件的概率.

1 4

1 3

17.(本小题满分 14 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中,平面 PCD ^ 平面 ABCD,PC=PD=CD=2. (Ⅰ)求证: PD ^ BC ; (Ⅱ)求二面角 B - PD - C 的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 PBC 的距离. D C B P

18.(本小题满分 14 分)

A

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1=1,数列 {an ? Sn }是公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明数列 {an ? 2} 为等比数列; (Ⅲ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn. 19.(本小题满分 14 分)

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已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 m=1,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)若存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知 f (x)、g(x)都是定义在 R 上的函数,如果存在实数 m、n 使得 h (x) = m f(x)+ng(x), 那么称 h (x)为 f (x)、g(x)在 R 上生成的一个函数. 设 f (x)=x2+ax,g(x)=x+b( a, b ? R),l(x)= 2x2+3x-1,h (x)为 f (x)、g(x)在 R 上生成的一个 二次函 数. (Ⅰ)设 a ? 1, b ? 2 ,若 h (x)为偶函数,求 h( 2) ; (Ⅱ)设 b ? 0 ,若 h (x)同时也是 g(x)、l(x) 在 R 上生成的一个函数,求 a+b 的最小值; (Ⅲ)试判断 h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论.

北京市西城区 2009 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 2009.1

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x 2 3 注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 12 分) (Ⅰ) 解: 在 V ABC 中, 由正弦定理 a = b = c , 得 4 = 3 , --------------------3 sin A sin B sin C sin A sin C 分 因为 A = 2C ,所以 解 ---------------------------6 分 ( Ⅱ ) 解 : 在 V ABC 中 , 由 余 弦 定 理 c 2 = a 2 + b2 - 2ab cos C , ---------------------------9 分 得 9 = 16 + b 2 - 8b
2 ,解得 b = 3, 或b = 7 . 3 3

y2 =1 3

10. 14

11. -2

12. 16p ,

2 p 3

13.○ 1 ○ 2

14. 1,

4 3 4 3 ,即 , = = sin 2C sin C 2sin C cos C sin C 2 得 c C= 3

o



s

因为 a、b、c 互不相等, 所 ---------------------------12 分 16.(本小题满分 12 分) (Ⅰ) 解: 记“至少有 2 件甲批次产品检验不合格”为事件 A. 分 由题意,事件 A 包括以下两个互斥事件: 1 事件 B:有 2 件甲批次产品检验不合格. ○ 的概率 公 式 , 得 由 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次 ---------------------------1 以
b= 7 3

.

P(

=

2 3

1 B鬃 ) 4

2 - C =(

1 4

) 1;

9 ( 6

4

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---------------------------3 分 2 事件 ○ C : 3 件甲批次产品检验都不合格 . 由相互独立事件概率乘法公式,得

1 1 ; P(C ) = ( )3 = 4 64
所以, “至少有 2 件甲批次产品检验不合格”的概率为 P( A) = P( B) + P(C ) =

5 ; 32

--------------------------6 分 (Ⅱ)解:记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多 1 件”为 事件 D. 由题意,事件 D 包括以下三个互斥事件: 1 事件 E:3 件甲批次产品检验都不合格,且有 2 件乙批次产品检验不合格. ○ 其 概 率

1 1 1 1 P( E ) = ( )3 ?C32 ( ) 2 (1 )= 4 3 3 288



----------------------------8 分 2 事件 F:有 2 件甲批次产品检验不合格,且有 1 件乙批次产品检验不合格. ○ 其 概 率

1 1 1 2 1 1 1 1 P( F ) = C32 ( ) 2 (1- ) ?C3 ( ) (1 ) = 4 4 3 3 16



---------------------------10 分 3 事件 G:有 1 件甲批次产品检验不合格,且有 0 件乙批次产品检验不合格. ○

1 1 3 1 1 1 1 其概率 P(G ) = C3 ( ) (1- ) 2 ?(1 ) = ; 4 4 3 8
所 以 , 事 件 D 的 概 率 为

P( D) = P( E ) + P( F ) + P (G ) =

55 288

.

---------------------------12 分 17.(本小题满分 14 分) 方法一: (Ⅰ)证明: Q 平面 PCD ^ 平面 ABCD, 又平面 PCD I 平面 ABCD=CD, BC ^ CD ,
\ BC ^ 平面 PCD, Q PD ? 平面 PCD,

P E D F C B

---------------------------3 分

A

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\ BC ^ PD ;

---------------------------4 分

(Ⅱ)解:取 PD 的中点 E,连接 CE、BE,
QVPCD 为正三角形, \ CE ^ PD ,

由(Ⅰ)知 BC ^ 平面 PCD,
\ CE 是 BE 在平面 PCD 内的射影, \ BE ^ PD , \ CEB









B-PD-C









,

---------------------------7 分 在 VCEB 中, ? BCE

90o , BC=2, CE =

3,

\ tan ? CEB

BC 2 3 , = CE 3
面 角 B-PD-C 的 大 小 为

\



arctan

2 3 3



---------------------------10 分 (Ⅲ)解: Q 底面 ABCD 为正方形, \ AD / / BC ,

Q AD ? 平面 PBC, BC ? 平面 PBC,
\ AD / / 平面 PBC,

\ 点 A 到平面 PBC 的距离等于点 D 到平面 PBC 的距离,
过 D 作 DF ^ PC 于 F,
Q BC ^ 平面 PCD, \ B C^ DF ,

Q P CI B C =

, C

\ DF ^ 平面 PBC, 且 DF I 平面 PBC=F, \ DF





D







PBC







,

---------------------------13 分 在等边 VPCD 中, DC = 2, DF ^ PC,

\ CF = 1, DF =

DC 2 - CF 2 =

3,

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\
点 A 到 平 面 PBC 的 距 离 等 于

3

.

---------------------------14 分 方法二: (Ⅰ)证明:取 CD 的中点为 O,连接 PO,

Q PD=PC, \ PO ^ CD , Q 平面 PCD ^ 平面 ABCD, 平面 PCD I 平面 ABCD=CD,
\ PO ^ 平面 ABCD,

z P E D O x M B C y

---------------------------2 分

如图,在平面 ABCD 内,过 O 作 OM ^ CD 交 AB 于 M, 以 O 为原点, OM、OC、OP 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角 坐标系 O-xyz, 则 B(2,1,0), C(0,1,0), D(0, - 1,0), P(0,0, 3) , A

uuu r Q PD = (0, - 1, uuu r uuu r \ PD?BC 0,

uuu r 3), BC = (- 2,0,0) ,

\ BC ^ PD ;

---------------------------4 分

(Ⅱ)解:取 PD 的中点 E,连接 CE、BE,如(Ⅰ)建立空间坐标系,则 E (0, QVPCD 为正三角形, \ CE ^ PD ,

1 3 , ), 2 2

uuu r uur Q BD = (- 2, - 2,0), BP = (- 2, - 1, 3) ,
uuu r uur \ | BD |= | BP |= 2 2 ,
\ BE ^ PD , \ CEB









B-PD-C









,

---------------------------7 分

uur r 3 3 uuu 3 3 Q EB = (2, , ), EC = (0, , ), 2 2 2 2 uur uuu r EB ×EC 3 21 , \ cos ? BEC uur uuu r = = 7 7× 3 | EB | ×| EC |

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\
二 面 角 B-PD-C 的 大 小 为

arccos

21 7



--------------------------10 分 (Ⅲ)解:过点 A 作 AF ^ 平面 PBC 于 F,
\ AF 为点 A 到平面 PBC 的距离, 设|AF|=h,

uuu r uur Q BC = (- 2,0,0), CP = (0, - 1, 3) ,
uuu r uur \ BC ?CP 0 ,即 BC ^ CP ,
1 | BC | ?| PC | 2 , 2

\ VPBC 的面积 SV PBC =

Q 三棱锥 A-PBC 的体积 VA- PBC = VP- ABC ,
\ 1 1 鬃 SV PBC h = 鬃 SV ABC | PO | , 3 3 2 3 3 ,解得 h =
A 到

2 即 ?h 3

3,
平 面 PBC 的 距 离 为

\



3

.

---------------------------14 分 18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: Q 数列 {an ? Sn }是公差为 2 的等差数列,

\ (an+ 1 + Sn+ 1 ) - (an + Sn ) = 2,
---------------------------3 分



an+ 1 =

an + 2 , 2

Q a1 = 1,
\ a2 = 3 7 , a3 = 2 4


---------------------------5 分 (Ⅱ)证明:由题意,得 a1 - 2 = - 1,

a - 2 Q n+ 1 = an - 2

an + 2 - 2 1 2 = , an - 2 2

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\ {an - 2 } 是 首 项 为 -1 , 公 比 为
---------------------------9 分

1 2

的 等 比 数 列 ;

1 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)得 an - 2 = - ( ) n- 1 , 2 1 n- 1 \ na ) n = 2 n - n( 2
---------------------------10 分 ,

1 1 1 \ Tn = (2 - 1) + (4 - 2 ? ) [6 - 3?( ) 2 ] L + [2n - n ( ) n- 1 ] , 2 2 2 1 1 1 \ Tn = (2 + 4 + 6 + L + 2n) - [1 + 2 ? 3?( ) 2 L + n ( ) n- 1 ] , 2 2 2
设 An = 1 + 2 ?

1 2

1 3?( ) 2 2

1 L + n ( ) n- 1 , 2 1 L + n ( )n , 2

1 ○ 2 ○

\

1 1 1 An = + 2 ?( ) 2 2 2 2

1 3 ?( )3 2

由○ 1 -○ 2 ,得

1 1 1 1 1 An = 1 + + ( ) 2 + L + ( ) n- 1 - n ( ) n , 2 2 2 2 2

1 1- ( ) n 1 2 - n ( 1 )n , \ An = 1 2 2 12
1 \ An = 4 - (n + 2) ( ) n- 1 , 2 \ Tn = n(2 + 2n) 1 + (n + 2) ?( ) n- 1 2 2 1 4 = (n + 2) ?( ) n- 1 2 n(n + 1) - 4
.

------------------------14 分 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,得 M (1,0) ,直线 l 的方程为 y = x - 1.

ì y = x- 1 ? 由? , 得 x2 - 6 x + 1 = 0 , í 2 ? ? ? y = 4x
设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 P 的坐标为 P( x0 , y0 ) ,

则 x1 = 3 + 2 2, x2 = 3- 2 2, y1 = x1 - 1 = 2 + 2 2, y2 = x2 - 1 = 2 - 2 2 , 故 点

A( +

+

3

B -

- 2

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---------------------------3 分 所以 x0 =

x1 + x2 = 3, y0 = x0 - 1 = 2 , 2

故圆心为 P(3, 2) , 直径 | AB |= 所 以 以 AB

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 = 8 ,

为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 ;

---------------------------6 分 方法一: (Ⅱ)解:设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , MB ? ? AM (? ? 0) . 则 AM ? (m ? x1, ? y1 ), MB ? ( x2 ? m, y2 ) , 所以 ?

? x2 ? m ? ? ( m ? x1 ) ? y2 ? ?? y1

1 ○

因为点 A, B 在抛物线 C 上,
2 所以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

2 ○ 消 去



1 ○

2 ○



x2 , y1 , y2



? x1 ? m

.

--------------------------10 分 若此直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,则 | OM |2 ?| MB | ? | AM | ,
2 即 | OM |2 ? ? | AM | ? | AM | ,所以 m2 ? ?[( x1 ? m)2 ? y1 ],

因为 y12 = 4 x1 , ? x1 ? m ,所以 m2 ?

m [( x1 ? m)2 ? 4 x1 ] , x1
3 ○

2 整 理 得 x1 ? (3m ? 4) x1 ? m2 ? 0 ,

--------------------------12 分 因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以关于 x1 的方程○ 3 有正根, 因为方程○ 3 的两根之积为 m2>0, 所以只可能有两个正根,

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?3m ? 4 ? 0 ? 所以 ? m 2 ? 0 ,解得 m ? 4 . ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 0 ?
故 当 m ? 4 时 , 存 在 直 线 l 使 得 | A M | , |O M | , M | 成 B 等 | 比数列. -------------------------14 分 方法二: ( Ⅱ ) 解 : 设 使 得 | AM | , |OM | , |MB成 | 等 比 数 列 的 直 线 AB 方 程 为

x = m (m > 0) 或 y = k ( x - m) (k

0) ,

当直线 AB 方程为 x = m 时, A(m, 4m), B(m, 因为 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,

4m) ,

所以 | OM |2 ?| MB | ? | AM | , 即 m 2 ? 4m , 解得 m=4, 或 m=0(舍); -------------------8 分 当直线 AB 方程为 y = k ( x - m) 时,

ì y = k ( x - m) ? 由? ,得 k 2 x2 - (2k 2 m + 4) x + k 2m2 = 0 , í 2 ? y = 4 x ? ?
设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 =

2k 2 m + 4 , x1 x2 = m2 , k2

1 ○

由 m>0, 得 D = (2k 2m + 4)2 - 4k 2 ?k 2m2

16k 2m + 16 > 0 .

因为 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以 | OM |2 ?| MB | ? | AM | ,
2 所以 m2 ? ( x1 ? m)2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 ,

2 ○

因为 A, B 两点在抛物线 C 上,
2 所 以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

3 ○

--------------------11 分 由○ 1 ○ 2 ○ 3 ,消去 x1 , y1 , x2 , y2 ,

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得 m = 4(1 +

1 ), k2

因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以 m = 4(1 +

1 )> 4 , k2

综 上 , 当 m ? 4 时 , 存 在 直 线 l 使 得 | A M | , |O M | , M 成 |等 比 数 列 . | B ----------------------14 分 20.(本小题满分 14 分) ( Ⅰ ) 解 : 设 h(x) = m f(x)+ng(x) , 则

h( x) = m( x2 + x) + n( x + 2) = mx2 + (m + n) x + 2n (m
因为 h( x) 为一个二次函数,且为偶函数, 所以二次函数 h( x) 的对称轴为 y 轴,即 x ? ? 所以 n ? ?m ,则 h( x) ? mx2 ? 2m , 则 ---------------------------3 分

0) ,

m?n ?0, 2m

h( 2) ? 0



(Ⅱ)解:由题意, 设 h( x) = mf ( x) + ng ( x) = mx2 + (am + n) x + bn ( m, n ? R, 且 m ? 0 ) 由 h (x)同时也是 g(x)、l(x) 在 R 上生成的一个函数, 知存在 m0 , n0 使得 h( x) = m0 g ( x) + n0l ( x) = 2n0 x2 + (m0 + 3n0 ) x + (bm0 - n0 ) , 所以函数 h( x) = mx2 + (am + n) x + bn = 2n0 x2 + (m0 + 3n0 ) x + (bm0 - n0 ) ,



ì m = 2n0 ? ? ? ? í am + n = m0 + 3n0 ? ? ? ? ? bn = bm0 - n0

,

---------------------------5 分 消去 m0 , n0 , 得 am = ( 因 为

1 3 + )m , 2b 2
, 所 以

m? 0

a=

1 3 + 2b 2

,

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---------------------------7 分 因为 b>0, 所以 a + b = 故

1 3 3 + + b? 2b 2 2


2 b?


1 2b

3 + 2


2

(当且仅当 b = 值 为

2 时取等号), 2
3 + 2 2
.

a+b

---------------------------9 分 (Ⅲ)结论:函数 h(x)不能为任意的一个二次函数. 以下给出证明过程. 证明:假设函数 h(x)能为任意的一个二次函数, 那么存在 m1, n1 使得 h(x)为二次函数 y=x2, 记为 h1 ( x) = x2 , 即

h1 ( x) = m1 f ( x) + n1g ( x) = x2



1 ○ 同理,存在 m2, n2 使得 h(x)为二次函数 y = x2 + 1 ,记为 h2 ( x) = x2 + 1, 即 2 ○ 由○ 2 -○ 1 ,得函数 h2 ( x) - h1 ( x) = (m2 - m1 ) f ( x) + (n2 - n1 ) g ( x) = 1 , 令 m3 = m2 - m1 , n3 = n2 - n1 ,化简得 m3 ( x2 + ax) + n3 ( x + b) = 1 对 x ?R 恒成立, 即 m3 x2 + (m3a + n3 ) x + n3b = 1 对 x ?R 恒成立,

h2 ( x) = m2 f ( x) + n2 g ( x) = x2 + 1

.

ì ì m3 = 0 m3 = 0 ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? , 即 í m3 a + n3 = 0 í n3 = 0 , ? ? ? ? ? ? n b = 1 3 ? ? ? ? n3b = 1
显然, n3b = 0? b

0 与 n3b = 1 矛盾,

所以,假设是错误的,

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故 函 数 h(x) 不 能 为 任 意 的 一 个 二 次 函 数 .

---------------------------14 分 注:第(Ⅲ)问还可以举其他反例.

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