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数学归纳法——张文根



数学归纳法
上课人:张文根 时间:2014年11月19日

学习目标
1、明白数学归纳法的递推原理 2、合理选择数学归纳法证明问题时的第一个取值 3、明白由n=k成立推导n=k+1成立时,代数式是如何变化的 4、证明不等式时,注意数学归纳法和其它方法的综合应用。

课前热身
n n +1 2 n + 1 1

、 求证: 12+22+…+n 2= . 6 证明 (1)当 n=1 时,左边=1, 1· ?1+1??2+1? 右边= =1,左边=右边,等式成立; 6
(2)假设 n=k (k∈N*)时,等式成立, k?k+1??2k+1? 2 2 2 即 1 +2 +…+k = , 6 则当 n=k+1 时, k?k+1??2k+1? 2 2 2 2 1 +2 +…+k +(k+1) = +(k+1)2 6 ?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] = 6
所以当 n=k+1 时,等式仍然成立.

由(1)、(2)可知,对于?n∈N*等式恒成立.

2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为

1 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( C 2
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

)

3.用数学归纳法证明 1+2+3+…
4 2 n ? n +n2= ,则当 n=k+1 时左端 2

应在 n=k 的基础上加上(

D
2

)

(A)k +1
2

2

(B)(k+1)

(C) ( k ? 1) 4 ? ( k ? 1) 2 (D)(k +1)+(k +2)+(k +3)+… 2 +(k+1)
2 2 2

要点梳理
数学归纳法

忆一忆知识要点

一般地,数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法,若

n0 是起始值,则 n0 是使命题成立的最小正整数,所以对于某些与正整数
有关的数学命题,我们可以用数学归纳法:其基本步骤为:

(1)当n取第一个值n0 (n0∈N*)时,结论正确; 归纳奠基 注:n0是否一定为1? (2)假设当n=k (k∈N*,且n≥n0)时结论正确, 归纳推理 证明当n=k+1时结论也正确. 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.

典例剖析
证明:1 +

1 3

+…+

1 ≤ 2n ? 1

2n ? 1 .

证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当n=2时,左边<右边,所以命题成立. ②假设 n=k(k≥2,k ? N )时命题成立,
*

即 1+

1 3

+… +

1 2k ? 1



2k ? 1 ,

当 n =k+1 时 左边= 1+

1 3

+… +

1 2k ? 1

+

1 2k ? 1



2k ? 1 +

1 2k ? 1

<

2k ? 1 +

2 2k ? 1 ?

2k ? 1

=

2k ? 1 +

2(

2k ? 1 ? 2

2k ? 1)

=

2k ? 1 =

2( k ? 1) ? 1 .

命题成立. 由①、②可知,
对一切 n ? N 都有 1+
*

1 3

+…

+

1 2n ? 1



2 n ? 1 成立.

课堂小结:本节课你有什么收获?
1、数学归纳法证明问题的原理

2、数学归纳法证明问题的步骤
3、从n=k成立证明n=k+1成立时代数式 的变化特征 4、注意数学归纳法与其他证明方法 的综合应用





稿

n 3n +1 1.用数学归纳法证明:(n +1)+(n + 2)+…+(n +n )= (n ∈ 2 N*) 的第二步中,当 n = k + 1 时等式左边与 n = k 时的等式左边的差 等于________.

2、 求证:1+ (n ? N ).
*

1 2

+

1 1 +… + <2 n 3 n

(2)证明:只需证:1+

1 1 + …+ ≤ 3 2n ? 1

2n ? 1 .
①当 n=1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 n=2 时,左边<右边,所以命题成立.

②假设 n=k(k≥2,k ? N )时命题成立,
*

即 1+

1 1 +…+ ≤ 2k ? 1 , 3 2k ? 1

当 n=k+1 时,

左边=1+

1 3

+…+

1 + 2k ? 1

1 2k ? 1



2k ? 1 +

1 2k ? 1

<

2k ? 1 +

2 2k ? 1 ? 2k ? 1

=

2( 2k ? 1 ? 2k ? 1) 2k ? 1 + 2

=

2k ? 1 = 2(k ? 1) ? 1 .

命题成立. 由①、②可知,

探 究 提 高
1 在各项为正的数列 {an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 2 ? 1? ?an+ ? . an? ? (1)求 a1, a2, a3; (2)由 (1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你 的猜想.

规范解答 解 1? 1? (1)S1= a1= ?a1+ ?得 a2 1= 1. 2? a1 ?

∵ an>0,∴ a1= 1, 1? 1? 由 S2= a1+ a2= ?a2+ ?, 2? a2 ? 得 a2 2+ 2a2- 1= 0,∴ a2= 2- 1.

1? 1? 又由 S3= a1+ a2+ a3= ?a3+ ? 2? a3? 得 a2 3+ 2 2a3- 1= 0,∴ a3= 3- 2.
(2)猜想 an= n- n-1 (n∈N*) 证明:①当 n=1 时,a1=1= 1- 0,猜想成立.

②假设当 n=k (k∈N*)时猜想成立, 即 ak= k- k-1,
则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk 1 ? 1? 1? 1? ?a ? = ? k+1+ - ?ak+ ?, 2? ak+ 1? ak? ? 2?
? ? 1? 1 1 1? ? ? k- k- 1+ ? a + 1+ 即 ak+1= ? - k ? 2? ak+ 1? k- k- 1 ? ? ? 2? ? 1 ? 1? ? ? = ?ak+ 1+ - k, 2? ak+ 1? ?

∴ a2 k+ 1+ 2 kak+1- 1= 0, ∴ ak+1= k+ 1- k.
即 n=k+1 时猜想成立. 由①②知,an= n- n-1 (n∈N*).



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