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直线的参数方程



直线的参数方程

课题引入
1. 在平面直角坐标系中,确定一条直线的几 何条件是什么?
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线

3. 根据直线的这个几何条件,你认为应当怎 样选择参数?
直线的参数方程 的推导

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

在直线上任取一点M(x,y),则
?????? ? (x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) M 0M ?

? 设e是直线l的单位方向向量,则

y

?????? ? ? 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? 使M 0 M ? te,即

? e ? (cos ? ,sin ? )

? e(cos ? ,sin ? )

M(x,y)

?
O

M0(x0,y0) x

( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? )

x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ?
即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ?

直线的参数方程(标准式)
?x ? x 0 ? t cos ? 直线的参数方程 ( t为参数) ? ?y ? y 0 ? t sin?
思考: (1)直线的参数方程中哪些是常量?哪些是变量? (2)参数t的取值范围是什么? (3)该参数方程形式上有什么特点?

? x ? 3 ? t sin 200 ( 1 )直线? (t为参数)的倾斜角是( ) 0 B ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
? 2 x ? 1 ? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t 。 ? 2 ?

(2 )直线x ? y ? 1 ? 0的一个参数方程是

?????? ? ? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中

?????? ? ? ?????? ? ? 解: ? M M ? te ? M 0 M ? te 0 ? ? 又 ? e是单位向量, ? e ?1
?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

参数t的几何意义吗?

y M M0

所以,直线参数方程中参 数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离. |t|=|M0M|

? e
O
x

?????? ? ? ? M 0 M ? te
此时,若t>0,则 若t<0,则
M0M M0M

的方向向上;
y

的点方向向下;

M(x,y)
M0(x0,y0)

若t=0,则M与点M0重合.

? e

O

x

?x ? y ?1 ? 0 2 解:由? 得: x ? x ?1 ? 0 (*) 2 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样 ?y? x

求解本题呢? ?由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?1,x1 ? x2 ? ?1
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10
由(*)解得:x1 ? ?1? 5 ?1? 5 ,x 2 ? 2 2

3? 5 3? 5 ? y1 ? ,y2 ? 2 2
记直线与抛物线的交点 坐标A(
则 MA ? MB ? ( ?1 ?

?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 , ),B( , ) 2 2 2 2

?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

( 1 )如何写出直线 l的参数方程?
( 2 )如何求出交点 A,B所对应的参数 t1,t 2 ?

( 3 ) AB 、 MA ? MB 与t1,t 2有什么关系?

y

O

· · · · ? x
B

? x ? x0 ? t cos ? A M(x,y) ? (t是参数) y ? y ? t sin ? 0 ? M0(x0,y0)

?t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M| ?t只有在标准式中才有上述几何意义

设A,B为直线上任意两点,它们所对应的参 数值分别为t1,t2. (1)|AB|= t1 ? t 2 (2)M是AB的中点,求M对应的参数
t1 ? t 2 2

小结:
1.直线参数方程的标准式

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
|t|=|M0M|
2.参数直线方程的应用
求(线段)弦长

作业:
?

书面作业:习题2.3

第1题

?

课后思考:结合课本第26页习题第2题,思考:直线的 参数方程唯一吗?和本节课所学的参数方程

对比要注意什么?参数t的意义还一样吗?

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?



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