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2.1.3-2.1.4空间直线与平面.平面与平面的位置关系



b

上节回顾:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

/>
那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法:

选点 平移 定角 计算

一、课前练习 异面 1、空间中两条直线的位置关系有 相交 、平行 、



2、相交直线的特点是① 共面;② 有且只有一个公共点,则
平行直线的特点是:① ; 共面 ② 没有公共点 异面直线的特点是:① 异面 ②没有公共点 。

3、下图是一个长方体,则B?B所在的直线与D?D所在的直线 的位置关系是 平行 ,则A?A所在的直线与C?D?所在的直线 所成的角是 90 度;若∠BA?B?=30?, 则A?B所在的直线与 D?D所在的直线所成的夹角是 60 度。 D?
A? A D 30? B? C B C?

上 节 回 顾

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求 (1)BE与CG所成的角? (2)FO与BD所成的角?

解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45o

(2)连接FH, ∵HD = EA,EA= FB ∴HD= FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o 所以FO与BD所成的夹角是30o

D

C

A

B

研探新知 (1)一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面,可能有几种位置关系? (2)如图,线段A1B所在直线与长方体 ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几 种位置关系?
D1 A1 D A B B1 C1

C

思 考 (1)一支笔所在的直线与一个作业本所在 的平面,可能有哪几种位置关系?

思考2
如下图所示,在长方体ABCD-A?B?C?D?中, (1)A?B所在的直线与平面A?A B B?有 无数 个公共点; (2) A?B所在的直线与平面A?A D D?有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面ABCD有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面B?B C C?有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面A?B?C?D?有 一 个公共点; (3)A?B所在的直线与平面C?CDD?有 零 个公共点; D? A? B? D C C?

A

B

直线与平面的位置关系有且只有三种:
a a a
A

α
a?α

α

α
a∥α 直线与平面α平行

a ∩ α= A 直线在平面α内 直线与平面α相交
有无数个交点 有且只有一个交点

无交点

二、新课

1、交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种:
①直线在平面内——有无数个公共点(交点); ②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③直线与平面平行——没有公共点;

2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置 a a 关系?
α
① 错误画法: a ① a

α
② a

α


α

α


α


a

填空
没有公共点 ,那么我 ①如果一条直线和一个平面_____________ 们就说这条直线和这个平面平行。 ②直线a在平面α外,是指直线a和平面α_______ 相交 或 平行 。 ________ ③直线与平面的位置关系按三种分为平行 _____或 相交 或 ________________ 直线在平面外 。 ________ 直线在平面内 或直线在平面外 按两种分为_______________ ____________。

例题示范: 例1、下列命题中正确的个数是( ) l // α ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 ②若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内 的任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内 的任意一条直线都没有公共点.

(A) 0 ( C) 2

( B) ( D)

1 3

分析
1. 判断正误 ①若直线l上有无数个点不在平面α内,则 l∥α( × ) l α
问题(1)不正确,相交时也符合

分析
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一 条直线都平行( × ) l α
问题(2)不正确, 如右图中,A'B与 平面DCC'D’平行, 但它与CD不平行。 问题(

b

c

分析
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条也与这个平面平行( × ) l

α

b

问题(3)不正确。 另一条直线有可能在平面内,如AB∥CD, AB与平面DCC'D’平行,但直线CD? 平面 DCC'D’

如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面 平行,那么另一条直线也与这个平面平行( √ )

分析
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都没有公共点( √ )

跟踪判断正误 ①若直线L 上有无数个点不在平面α内,则L∥α; ( α)

l

×

②若直线L与平面α平行,则L与平面α内的任意一条直线都 平行;( ) × l

c ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一 l 条也与这个平面平行;( × ) α b
⊙如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行;(√ ) ④若直线L与平面α平行,则L与平面α内的任意一条直线都 没有公共点;( ) √

α b

三、随堂练习 1、若直线a不平行于平面α ,且a?α, 则下列结论成立的是( B ):

a α
c b

(A)α内的所有直线与a异面 (B)α内不存在与a平行的直线; (C)α内存在唯一的直线与a平行;(D)α内的直线与a都相交;

a
2、判断题:

(1)a∥α,b ?α,则a∥b;(×) (2)a ? α,则a∥α或a和α 相交;( √ ) (3)a∩α=A, a ? α; (√ ) (4)若a ? α,b α,则 ? a、b无公共点。 (×)
b

α

b

α

a


填空







没有公共点 ,那么我 ①如果一条直线和一个平面_____________ 们就说这条直线和这个平面平行。 ②直线a在平面α外,是指直线a和平面α_______ 相交 或 平行 。 ________ ③直线与平面的位置关系按三种分为平行 _____或 相交 或 ________________ 直线在平面外 。 ________ 直线在平面内 或直线在平面外 按两种分为_______________ ____________。

2、若直线a不平行平面

则下列结论成立的是( B )

? ,且

a ??

(A) (B) ( C) ( D)

? 内所有直线与a异面 ? 内不存在与a平行的直线 ? 内存在唯一的直线与a平行 ? 内的直线与a都相交

练习示范: 3 已知直线a在平面α外,则 ( D) (A)a∥α (B)直线a与平面α至少有一 个公共点 (C)a?α=A (D)直线a与平面α至多有一个公共点。

巩固练习: 4.选择题 (1)以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面) ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则 a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?, b??,则a∥b 其中正确命题的个数是 ( A )
王新敞
奎屯 新疆

(A )0 个 (B )1 个 (C )2 个 (D )3 个

巩固练习: 5.已知a∥?,b∥?,则直线a,b的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( D) (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个 6.如果平面?外有两点A、B,它们到平面?的距 离都是a,则直线AB和平面?的位置关系一定 是(C ) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB ??

巩固练习:

7.已知m,n为异面直线,m∥平面?,n∥ 平面b,?∩b=l,则l ( C) (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交
8.完成教材P49 练习



思 与 延



? 问题1、平行于同一平面的两条直线 一定是两条平行直线吗? ? 问题2、两条平行线中的一条平行一 个平面,则另一条也一定平行于这个 平面吗? ? 问题3、无公共点的两条直线一定是 D′ 平行直线吗?
A′
D A B′

C′

C B

四、小结: 1、空间中直线与平面的三种位置关系: 直线在平面内——有无数个公共点(交点);

相交——有且只有一个公共点;
直线在平面外 平行——没有公共点; 2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系: a a a

α

α

α

① ② ③ 3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系: ① a? α ② a∩α=A ③ a∥ α

3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。
? ①直线a在平面α内,记作a α ;

②直线a与平面α相交于A点,记作a∩α=A; ③直线a与平面α平行,记作a∥α;


则l//







1、判断下列命题的正确

(1)若直线l上有无数个点不在平面 内, (2)若直线l与平面 平行,则l与平面 ? 内的 任意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )

。(

?



?

X

X

?

X

?



?

例题示范: 分析:可以借助长方体模型来看上述问题是否正 确。 问题(1)不正确,相交时也符合。 问题(2)不正确, 如右图中,A'B与 平面DCC'D’平行, 但它与CD不平行。 问题(3)不正确。 另一条直线有可能在平面内,如AB∥CD,AB与平 面DCC'D’平行,但直线CD?平面DCC'D’ 问题(4)正确,所以选(B)。

探究平面与平面之间的位置关系
思考:两平面有哪几种位置关系?如何分类? 复习:公理3
若两个不重合平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线。

P∈? P∈

} { b
?

?∩b=l
P∈l

探究平面与平面之间的位置关系
第一、二层的底面α和β无 论怎样延伸都没有公共点;
A B

?

?

前、后两面房顶γ和δ则 有一条交线AB.

b

?
二层楼房示意图

一、两个平面的位置关系
(1)两个平面平行

如果两个平面没有公共点,我们就说 这两个平面互相平行.
(2)两个平面相交 如果两个平面有公共点,它们就相交于 一条过该公共点的直线,我们就说这两个平 面相交 .

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种

①两个平面平行——没有公共点;记为 ? // b ②两个平面相交——有一条公共直线,记为 ? ? b = a
分类的依据是什么?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行,如图1, 而不应画成图2那样.

×
图1 图2

两个平面平行或相交的画法及表示

? b

?

b

l

β
α

?//b

??b=l

两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交

有一条公共直线
α∩β=a

a

探究1
b ,直线a、b,且?//b,a??, 已知平面 ? 、 b?b,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

a ? b

b

答:平行或异面

探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ
α
相交于一条交线

β

l

a

b

l a

γ

α

三条交线

三条交线

探究3

? 一个平面至多可以把空间分成几个部分? ? 两个平面至多可以把空间分成几个部分? ? 三个平面至多可以把空间分成几个部分?

例2:已知? ∥β, a ? b?b 则直线a和直线b的位置关系如何?

?

?
b

a b b

归纳总结
(1)空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

A
A

a a

点在直线上

A? a A? a A ??

点在直线外
点在平面内 点在平面外

? A A ?

A ??

(2)空间中线与线的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

b
a

两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交
两直线不共面且无 公共点两直线异面

a∥ b
aIb=A
a、b异面

b A
a
b
a

(3)空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面无公共点
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥?

? ?

A

a ?? = A

a

a ??

(4)空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
b
β α

两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交

α∥β

? ?b =l

自测自评P22 1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确 的是B ( ) A.A∈l,l?α
C.A?l,l?α 2.下列说法正确的是(

B.A∈l,l?α
D.A?l,l?α )

A.桌面是平面
B.一个平面的面积是26 m2 C.空间图形是由点、线、面构成的

D.用平行四边形表示平面,2个平面重叠在一起,比 一个平面要厚 解析:平面是一个无边界,无厚度,不可度量的图形.
答案:C

自测自评P22 3.能确定一个平面的条件是(
A.空间三个点 B.1个点和1条直线 C.无数个点 D.两条相交直线

)

解析:不在同一条直线上的三个点可确定一个平面, A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,

故不正确.
答案:D

跟踪训练P23 2.下列说法正确的个数是( )

①梯形的四个顶点在同一平面内; ②三条平行直线必共面; ③有三个公共点的两个平面必重合; ④每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共 面. A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①④正确. 答案:B

多点共线问题P23 课本P53 如图,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的

边AB、BC、CD、DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O.
求证:B、D、O三点共线.

证明:要证三点共线,只需确定一点在另两点确定的 直线上即可. ∵E∈AB,H∈AD ∴E∈平面ABD,H∈平面ABD ∴EH?平面ABD ∵EH∩FG=O, ∴O∈平面ABD

同理O∈平面BCD,即O∈平面ABD∩平面BCD

又∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴O∈BD,即B,D,O三点共线.

点评:证明多点共线通常利用公理3,即两相交 平面交线的惟一性,通过证明点分别在两个平面内, 证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确 定一条直线,然后证明其他点也在其上.

跟踪训练P23课本P53 3.已知:△ABC在平面α外,它的三边所在直线交α于

点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB?平 面ABC,

∴P∈平面ABC,P∈α,
∴P在平面ABC与α的交线上, 同理Q,R均在这条交线上. ∴P,Q,R三点共线.

练习1:如图,在正方体中,与A1B成 45 °角的棱有( D )条
A、2
D1 A1

B、 3
C1 B1

C、6

D、 8

D A B

C

思考题: 1、a与b是异面直线,且c∥a,则c与b一定( )。 (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面 直线的对数是( )对。 ( A) 6 ( B) 3 (C)8 (D)12 3、一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以 确定( )平面。 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个

D

A

B

4.空间两直线平行是指它们( ) A.无交点 B.共面且无交点 C.和同一条直线垂直 D.以上都不对 5.在空间,如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行,则这两个角( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补

B

C

练习6:已知异面直线a,b所成角为 50°,P为空间一点,则过P点与a,b 所成角都是30 °直线有几条?

2条

练习1:判断下图正方体中每对异面直线 所成的角是多少? 45° 1. A1B与D1C1 45 ° 2. A1B与C1C 45° 3. A1B与CD 90° D1 C 1 4. A1B与C1D
A1 B1 D A B C

5. A1B与B1D1

60°

6. B1B与AD
7. A1B与B1C

90° 60°

练 习

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求 (1)BE与CG所成的角? (2)FO与BD所成的角?

解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45o

(2)连接FH, ∵HD = EA,EA= FB ∴HD= FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o 所以FO与BD所成的夹角是30o

D

C

A

B

五、小测: 1.练习。 (一)填空。 1、如果一条直线和一个平面 没有公共点 ,那么我们就说这条 直线和这个平面平行。 相交 。平行 2、直线a在平面α外,是指直线a和平面α 或 平行 直线在平面内 3、直线与平面的位置关系按三种分为 相交 或 或 。 直线在平面外 按两种分为 直线在平面内 或 。 (二)判断正误。 1、直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;( ) × 2、若直线a在平面α外,则a ∥α; ( ) × 3、若直线a ∥b,直线b α,则a ∥α; ( ) ? × ? 4、若直线a ∥b,b α,那么直线 a就平行于平面α √ 内的无数条直线; ( ) (三)画出满足下列条件的图形。 A a? α,A∈α,A∈a,b∩α=A

六、作业:

1.画出满足下列条件的图形。
a∥α,b∩α=A,a∩b=B

2.导与练

小结:空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
b
β α

两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交

α∥β

? ?b =l



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