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山东省新泰市第一中学2015-2016学年高二12月月考数学(理)试题



新泰一中 2014 级高二上学期第二次大单元测试 数学试题(理倾)
注意事项: 1、 本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 2、 答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.答选择题前先将自己的姓名、考号、考 试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 3、 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案. 4、 非选择题要写在答题纸对应的区域内,超出部分无效,严禁在试题或草稿纸上答题.

2015 年 12 月

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.) 1.在 ?ABC 中, a ? 2 3, b ? 2 2, B ? A.

?
4

,则 A 等于(

) D.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6
) D. y 2 ? 8x

? 2? 或 3 3

2.准线方程为 x ? 2 的抛物线的标准方程是( A. y 2 ? ?4x B. y 2 ? ?8x C. y 2 ? 4 x

3.设 p : x ? ?1或x ? 1 ; A.必要不充分条件 C.充要条件

q : x ? ?2或x ? 1 ,则 ?p是?q 的(
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

4.设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2,则 A.

2a1 ? a 2 的值为( 2a 3 ? a 4



1 1 1 B. C. D.1 8 4 2 1 1 b a 5. 若 ? ? 0, , 则下列不等式 (1)a ? b ? ab , ( 2) a ? b , (3)a ? b , (4) ? ? 2 a b a b
中,正确的个数为 A.1 个 6. 在 R 上定义运算 A. (?4,1) C. (??, ?4) ? (1, ??) ( B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 )

a c x 3 2 0 若 成立, 则 x 的取值范围是( ? ad ? bc , ? b d ?x x 1 2
B. (?1, 4) D. (??, ?1) ? (4, ??)

7. 如 图 , ABC ? A 1B 1C1 是 直 三 棱 柱 , ?BCA ? 90 , 点 D1 , F 1 分别是
o

的中点,若 BC ? CA ? CC1 ,则 BD1与AF1 所成角的余弦值是 A1 B1 、 A1 C1 ( )

30 A. 15

1 B. 2

30 C. 10

15 D. 10

8. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点,若 AB ? a ,

AD ? b , AA 1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是 (
A. ?


D1 M B1 C1

1 1 a? b?c 2 2

B.

1 1 a? b?c 2 2
A

A1

1 1 C. ? a ? b ? c 2 2

1 1 D. a ? b ? c 2 2

D B

C

9. 已知点 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点, F 为抛物线的焦点,点 A 在圆

C : ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 1 上,则 MA ? MF 的最小值为(
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



10. 如图 F1,F2 分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以

OF1 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为
( A. )

3 2 2 2

B.

1 2

C.

D. 3 ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题: (本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.与曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为 24 49 36 64

12. 在△ABC 中,若三边长分别为 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则△ABC 面积等于

?3 x ? y ? 6 ? 0 y ?3 ? 13. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若 z= ,则实数 z 的取值范围为___ _____ x ?1 ? x ? 0, y ? 0 ?
14.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的圆心, 则

1 1 ? 的最小值是 a b
2

15. 下列四个命题中 ①命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0,则x ? 4 ”的逆否命题为“若 x ? 4, 则x2 ? 3x ? 4 ? 0 ” ②“ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件
2

③命题“若 m ? 0,则方程x ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为真命题
2

④命题“若 m ? n ? 0,则m ? 0且n=0 ”的否命题是“若 m ? n ? 0. 则 m ? 0 且 n ? 0 ”
2 2
2 2

⑤对空间任意一点 O ,若满足 OP ? 其中真命题的为

??? ?

? 1 ??? ? 1 ???? 3 ??? OA ? OB ? OC ,则 P, A, B, C 四点一定共面. 4 8 8

(将你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题: (本大题共6题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a . 设 p : 方程 f ( x) ? 0 有实数根; q : 函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上是增函数.若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

17.







12





?ABC中, 角A, B, C的对分别为 a, b, c





a(1 ? c C o) ? s c(1 ? c

A o) ? s 3b .

(1)求证: a, b, c 成等差数列; (2)求 cos B 的最小值.

18. (本题 12 分) 如图,PCBM 是直角梯形, ∠ PCB =90°,PM ∥ BC ,PM =1,BC AB AC ACB PC =2,又 =1,∠ =120°, ⊥ ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (1)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (3)求三棱锥 P ? MAC 的体积.

19. (本题 12 分)已知 {an } 是等比数列,公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , 且

S3 7 ? , a4 ? 4, a2 2

数列{bn }满足 : bn ?

1 , n ? log 2 an?1

(1)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)设数列 {bn bn?1} 的前 n 项和为 Tn ,求证

1 1 ? Tn ? (n ? N *). 3 2

20.(本题 13 分)某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是三种不同颜色的羊毛,下 表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量. 羊毛颜色 红 绿 黄 每匹需要 / kg 布料 A 4 6 2 布料 B 4 3 6 供应量/ kg 1400 1800 1800

已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元。那么如何安排生产才能够产生最大 的利润?最大的利润是多少?

21. (本题 14 分)已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, O 为坐标原点, a 2 b2

点 P ( ?1,

2 ) 在椭圆上,且 PF1 ? F1 F2 ? 0 ,⊙ O 是以 F1 F2 为直径的圆,直线 l : 2

y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并且与椭圆交于不同的两点 A, B.
(I)求椭圆的标准方程; (II)当 OA ? OB ? ? ,且满足

2 3 ? ? ? 时,求弦长 |AB| 的取值范围. 3 4

新泰一中 2014 级高二上学期第二次大单元检测 数学试题(理倾) (参考答案)
一、选择题:1—5: DBBAB 6—10: ACACD 11. 6 3 15. ① ② ⑤ 13. ? ?3, ? 5

y2 x2 ? ?1 二、填空题:11. 16 9
14. 4

? ?

3? ?

三、解答题:
16.

????????2 分 ????????4 分

????????7 分 ????????10 分 ????????12 分

17.解:(1)证明:由正弦定理得 sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=3sinB ? sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB ? sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB ? sinA+sinC=2sinB.

由正弦定理知 a+c=2b, 所以 a,b,c 成等差数列. ??????????6 分

a +c -b (2)cosB= = 2ac

2

2

2

a2+c2-?

a+c
2

?2

2ac

3a2+3c2-2ac 3 a2+c2 1 = = · - 8ac 8 ac 4 3 1 1 ≥ - = , 4 4 2 1 所以当 a=c 时,(cosB)min=2. ??????????12 分

18.解: (1)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB ? BC ? B ∴ PC ? 平面ABC , 又∵ PC ? 平面PAC ∴ 平面PAC ? 平面ABC

??????3 分

(2)在平面 ABC 内,过 C 作 CD ? CB ,建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图)
3 1 ? ,设 P ? 0,0, z ?? z ? 0? , 由题意有 A ? ,? ,0? 0 0 ? ? ? 2 ? ? 2 ???? ? ? ? ? ??? 则 M ? 0,1, z0 ? , AM ? ? 3 , ? 1 , z0 ? , CP ? ? 0, 0, z0 ? ? 2 ? 2 ? ?

由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60 ,得 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 2 z0 2 ? 3 ? z0 , AM ? CP ? AM ? CP ? cos 600 ,即 z0 ?

0

2

解得 z0

?1

? ???? ? ??? ? ? ? ∴ CM ? ? 0, 0,1? , CA ? ? 3 , ? 1 , 0 ? ,设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1? , ? 2 2 ? ? ?
? y1 ? z1 ? 0 ? ? n ? 1, 3, ? 3 则? 3 ,取 ,得 x ? 1 1 1 y ? z ? 0 ? 1 1 ? 2 2 ?? 平面 ABC 的法向量取为 m ? ? 0,0,1? ?? ? ?? ? m?n ? 3 设 m 与 n 所成的角为 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? 7 m?n

?

?

显然,二面角 M ? AC ? B 的平面角为锐角, 故二面角 M ? AC ? B 的平面角大小为 arccos (3)由(Ⅱ)知, PCMN 为正方形 ∴ VP ? MAC ? VA? PCM ? VA? MNC ? VM ? ACN ?

21 ??????9 分 7
??12 分

1 1 3 ? AC ? CN ? sin1200 ? MN ? 3 2 12

19.解:

----------------4 分

-----------------------------------------5 分

-----------------------6 分

(2)设

------8 分

=

----------------------------10 分

因为

,所以

----------12 分

20.解:设每月生产布料 A、B 分别为 x 匹、y 匹,利润为 Z 元,那么

?4 x ? 4y ? 1 4 0 0 , ?6 x ? 3y ? 1 8 0 0 , ? ? ?2 x ? 6y ? 1 8 0 0 , ① ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

目标函数为 z ? 120 x ? 80 y

???4 分

作出二元一次不等式①所表示的平面区域(阴影部分)即可行域

6 x ? 3 y ? 1800

2 x ? 6 y ? 1800
M

4 x ? 4 y ? 1400

???8 分 120 x ? 80 y ? 0 3 1 3 1 z ,得到斜率为 ? ,在轴上的截距为 z ,随 z 把 z ? 120 x ? 80 y 变形为 y ? ? x ? 2 80 2 80 3 1 z 经过可行域上 变化的一族平行直线。如图可以看出,当直线 y ? ? x ? 2 80
M 时,截距

?4 x ? 4 y ? 1400, 1 z 最大,即 z 最大。 解方程组 ? 80 ?6 x ? 3 y ? 1800.
所以 zmax ? 120 x ? 80 y ? 38000.

得 M 的坐标为 x=250 , y=100

???12 分

答:该公司每月生产布料 A、B 分别为 250 、100 匹时,能够产生最大的利润,最大的利润 是 38000 元。

???13



21. 【解析】:(I)依题意,可知 PF1 ? F1 F2 ,
∴ c ? 1,

1 1 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1 2 a 2b x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆的方程为 2

?????4 分

(II)直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O :x2 ? y 2 ? 1相切,则

m k ?1
2

? 1 ,即 m 2 ? k 2 ? 1 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 ,得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0 , ? ? y ? kx ? m

?

?

∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B. 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?. ∴ ? ? 0 ,? k ? 0 ? k ? 0 ,
2

x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

m 2 ? 2k 2 1 ? k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 +km( x1 ? x2 ) ? m ? ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
∴ OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

1? k 2 ?? 1 ? 2k 2




2 1? k 2 3 ? ? 2 3 1 ? 2k 4
2

1 ? k 2 ? 1, 2

??????10 分

∴ AB ? 1 ? k

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 2

4 ?k 4 ? k 2 ? ?1
, 则

2?k4 ? k2 ?



1 u ? k 4 ? k 2 ( ? k 2 ? 1) 2

3 ?u?2 4



|AB |? 2

2u 1 1 ?3 ? =2 , u ? ? , 2? 4u ? 1 2 2(4u ? 1) ?4 ?

∵ |AB | ? u ? 在 ? ,2? 上单调递增 4

?3 ? ? ?



6 4 ? |AB |? .?????14 分 2 3

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