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八年级第15讲 平行四边形



第十五讲

平行四边形

平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在边、角、对角线上,矩形、菱形是特殊的平行四 边形,矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等,所以,它们既有平行四边形 的性质,又有各自特殊的性质. 对角线是解决四边形问题的常用线段,对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小,连对角线 后,平行四边

形就产生特殊三角形,因此解平行四边形相关问题时,既用到全等三角形法,特殊三角形性 质,又要善于在乎行四边形的背景下探索问题,利用平行四边形丰富的性质为解题服务. 熟悉以下基本图形、基本结论:

例题求解 【例 1】 如图,在矩形 ABCD 中,已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 边上任意一点,PE⊥BD 于 E,PF ⊥AC 于 F,那么 PE+PF 的值为 . (全国初中数学联赛试题)

思路点拨 分别求出 PE、PF 困难,△AOD 为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两 腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解. 注 特殊与一般是对立统一的, 在一定条件下可以互相转化, 相对于一般而言, 特殊的事物往往更简单、 更直观、更具体.因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更为深刻 地反映着事物的本质,所以人们也往往通过一般去了解特 殊. 一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中, 不斩地得到延伸与拓展. 【例 2】 已知四边形 ABCD,从下列条件中:(1)AB∠CD,(2)BC∥AD;(3)AB=CD;(4)BC=AD; (5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D. 任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( ) A.4 种 B.9 种 C.13 种 D. 15 种 (山东省竞赛题) 思路点拨 根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定. 【例 3】】 如图,在△ADC 中,∠DAC=90°,AD⊥BC,DC、AF 分别是∠ABC、∠DAC 的平分线, BE 和 AD 交于 G,求证:GF∥AC. (湖北省荆州市中考题)

思路点拨 从角的角度证明困难,连结 CF,在四边形 AGFE 的背景下思考问题,证明四边形 AGFE 为 特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形. 【例 4】 如图,设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点,PE⊥AC 于点 E,PF⊥BC 于点 F, PG⊥EF 于 G 点,延长 GP 并在其延长线上取一点 D,使得 PD=PC,求证:BC⊥BD,且 BC=BD.

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 尽管图形复杂,但证明目标明确,只需证明△CPB≌△DPB,应从图中分离出特殊三角形、 特殊四边形,充分运用它们的性质为证题服务. 【例 5】 如图,在等腰三角形 ABC 中,延长边 AB 到点 D,延长边 CA 到点 E,连结 DE,恰有 AD=BC=CE=DE.求∠BAC 的度数. (北京市竞赛题)

思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数,相等的线段可得到全等三角形、 特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置. 注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的,一般情况是,从四边形边、角、 对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对 于假命题,要善于并熟悉构造反例. 构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多 著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例. 若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素,则通过作平行线,构造平行四边形,这是解四边 形问题的常用技巧,这是由于平行四边形能使角的位置更理想,送线段到恰当的地方,使线段比良性传递. 学力训练 1.如图,BD 是平行四边形 ABCD 的对角线,点 E、F 在 BD 上,要使四边形 AECF 是平行 四边形, 还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可,不必考 虑所有可能情形) (宁波市中考题) 2.(1)如图,已知矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O,AE⊥BD 于 E,若∠DAE:∠BAE=3:1, 则∠CAC= ; (河南省中考题) (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为 lcm 和 3cm 两部分,则这个矩形的面积 为 cm2. (武汉市中考题)

3.如图,以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF. (1)四边形 ADEF 是 ; (2)当△ABC 满足条件 时,四边形 ADEF 为矩形; (3)当△ABC 满足条件 时,四边形 ADEF 不存在. (2000 年贵州省中考题) 4 . 已 知 一 个 三 角 形 的 一 边 长 为 2 , 这 边 上 的 中 线 为 1 , 另 两 边 之 和 为 1+ 3 , 则 这 两 边 之 积 为 . (2001 年天津市选拔赛试题)

5.四边形的四条边长分别是 a、b、c、d,其中 a、c 为对边,且满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 2ab ? 2cd ,则这个 四边形一定是( ) A.平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形 C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形 6.如图,周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形,则矩形 ABCD 的面积为( ) A.98 B.196 C.280 D. 284 (湖北省荆州市中考题)

7.如图,菱形花坛 ABCD 的边长为 6m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花 部分的图形的周长(粗线部分)为( ) A.12 3 m B.20m C. 22m D.24m

(吉林省中考题) 8.在凸四边形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB+BC=CD+DA,则( ) A.AD>BC B.AD<BC C.AD=BC D.AD 与 BC 的大小关系不能确定 (“希望杯”邀请赛试题) 9.如图,△ABC 为等边三角形,D、F 分别是 BC、AB 上的点,且 CD=BF,以 AD 为边作等边△ADC. (1)求证:△ACD≌△CNBF; (2)当 D 在线段 BC 上何处时,四边形 CDEF 为平行四边形,且∠DEF=30°? 证明你的结论. (南通市中考题)

10.如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠A=90°,点 D 为 BC 上任一点,DF⊥AB 于 F,DE⊥AC 于 C,M 为 BC 的中点,试判断△MEF 是什么形状的三角形,并证明你的结论. (黑龙江省中考题) 11.如图,△ABC 中,点 O 是 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的平分线 于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F. (1)求证:CO=FO; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论. (3)当△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 是正方形? 12. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, EF∥BC, GH∥AB, EF、 GH 的交点 P 在 BD 上, 图中有 对 四边形面积相等,它们是 . (常州市中考题) 13. 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于 O, △AOB 的周长为 3+ 3 , ∠ABC=60°, 则菱形 ABCD 的面积为 .

14. 如图, 矩形 ABCD 的对角线相交于 O, AE 平分∠BAD 交 BC 于 E, ∠CAE=15°, 则∠BOE= . 15.如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4,将矩形沿 AC 折叠,点 D 落在点 D′处,则重叠部分△AFC 的 面积为 . (山东省竞赛题) 16.如图,平行四边形 ABCD 中,∠ABC=75°,AF⊥BC 于 F,AF 交 BD 于 E,若 DE=2AB,则∠AED 的大小是( ) A.60° B.65° C.70° D.75° (“希望杯”邀请赛试题)

17.如图,正△AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等,点 E、F 分别在 BC、CD 上,则∠B 的度数是( A.70° B.75° C.80° D.95° (重庆市竞赛题)

)

18.如图,正方形 ABCD 外有一点 P,P 在 BC 外侧,并在平行线 AB 与 CD 之间,若 PA= 17 ,PB= 2 , PC= 5 ,则 PD=( A.2 5 B. 19 ) C .3 2 D. 17 (“五羊杯”竞赛题)

19.如图,在平行四边形 ABCD 中,BC=2AB,CZ⊥AB 于 E,F 为 AD 的中点,若∠AEF= 54°,则∠B=( ) A.54° B.60° C.66° D.72° (武汉市选拔赛试题) 20.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D 是 AC 的中点,以 D 作 DE⊥AC 与 CB 的延长线交于 E,以 AB、BE 为邻边作长方形 ABEF,连结 DF,求 DF 的长.

21.如图,菱形的对角线 AC 与 BD 交于点 O,延长 BA 到 E,使 AE= 延长线于 F.求证:OE=
1 DF. 2

1 AB,连结 OE,延长 DE 交 CA 的 2

22.阅读下面短文: 如图 1,△ABC 是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC 补成矩形,使△ABC 的两个顶点为矩形一边 的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形 ACBD 和矩 形 AEFB(如图 2).

解答问题; (1)设图 2 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 Sl、S2,则 S1 S2(填“>”,“=”或“<”); (2)如图 3,△ABC 是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 个, 利用图 3 把它画出来; (3)如图 4,△ABC 是锐角三角形且三边满足 BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,则符合要求的矩 形可以画出 个,利用图 4 把它画出来; (4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么? (陕西省中考题) 23.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 M 在 BC 上,且 BM=AC,N 在 AC 上,且 AN=MC,AM 与 BN 相交于 P,求证:∠BPM=45°. (杭州市“求是杯”竞赛题) 24.如图,在锐角△ABC 中,AD、CZ 分别是 BC、AB 边上的高,AD、CE 相交于 F,BF 的中点为 P,AC 的中点为 Q,连结 PQ、DE. (1)求证;直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线; (2)如果△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明. (“希望杯”邀请赛试题)



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