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高三数学综合题2 (12)



x 1. 已知集合 M ? x y ? ln ?1 ? x ? , 集合N ? y y =e ? x ? R (e 为自然对数的底数)

?

?

?

?

则M ? N ? (
A. x x ? 1

)

?

r />?

B.

? x x ? 1?
1 z 1 3 ? i 2 2

C.

? x 0 ? x ? 1?
)

D. ?

2.复数 z ? 1 ? i, 则 ? z ? ( A.

1 3 ? i 2 2

B.

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正(主)视图(如 图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为( )

A.8

B.4

C. 4 3

D. 3

4. 函数 y ? sin ? 3x ? 的方程是( ) A. x ?

? ?

??

?? ?? ? ?? ? ? ? cos ? x ? ? ? cos ? 3x ? ? cos ? x ? ? 的图象的一条对称轴 3? 6? 3? 3? ? ? ?
C. x ? ?

?
12

B. x ?

?
6

?
12

D. x ? ? )

?
24

a b 5. “ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

2 6.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

)

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

7.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层 抽样,则不同的抽取方法数为( ) A.224 B.112 C.56 D.28 8.现有四个函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ,③ y ? x ? cos x ,④ y ? x ? 2 x 的部分 图象如下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是
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(

)

A.①④②③

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

9 . 已 知 三 点 A ? 2,1? , B ?1, ?2 ? , C ? , ? ? , 动点P ? a, b ? 满足0 ? OP ? OA ? 2 , 且

?3 ?5

1? 5?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 1 0 ? OP ? OB ? 2 ,则动点 P 到点 C 的距离小于 的概率为( 4 5? 5? ? ? A. 1 ? B. C. 1 ? D. 64 64 16 16

)

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 10. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:f ? x ? ? ? 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为( ) x?2 A. ?5 B. ?6 C. ?7 D. ?8

11.若 ? x ?

? ?

2? * ? ? n ? N ? 展开式中的第 5 项为常数,则 n 等于__________. x?

n

12.执行右面的框图,若输出 p 的值是 24,则输入的正整数 N 应为________.

13.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲 a 2 b2

线的离心率为__________. 14.已知双曲正弦函数 shx ?

e x ? e? x e x ? e? x 和双曲作弦函数 chx ? 与我们学过的正 2 2

弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角 公式, .....

试卷第 2 页,总 4 页

写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确结论______________. ..

7 2n 2 ? 对任意n ? N * 恒成立,则所 15.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ? x ? n 9 ? 2 ? 1? 9
2

有这样的解 x 构成的集合是____________.

16.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,若 A ?

?

BC ?C ? ? 1 的值. , 锐角C满足f ? ? ? ? , 求 4 AB ?2 6? 2

17.寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光花园” 社区人们的幸福度,现从调查人群中随机抽取 16 名,如果所示的茎叶图记录了他们的 幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) ;若幸福度分数 不低于 8.5 分,则该人的幸福度为“幸福”.

(1)求从这 16 人中随机选取 3 人,至少有 2 人为“幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 18.如图,等腰梯形 ABCD,AD//BC,P 是平面 ABCD 外一点,P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上, PA ? AB ? BC ? 2AO ? 2, BO ? 3 .

(1)证明: PA ? BO ; (2)求二面角 A-BP-D 的余弦值. 19 . 已 知 数 列

?an ?

是 首 项 为 a1 ?

* bn ? 2 ? 3 l 1 oa g , n ?n ? N ? . 4

1 1 , 公 比 q? 的 等 比 数 列 , 设 4 4

数列?cn ? 满足cn ? an ? bn
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(1)求证数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

20.椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,且短轴一端点和两焦点 2 a b 2
2

构成的三角形面积为 1,抛物线 C1 的方程为 y ? 2 px ? p ? 0? ,抛物线的焦点 F 与椭圆 的一个顶点重合. (1)求椭圆 C2 和抛物线 C1 的方程; ( 2 ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 不 同 两 点 A,B , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求?1 ? ?2 的值.
(3)直线 l 交椭圆 C2 于不同两点 P,Q,P,Q 在 x 轴上的射影分别为 P′,Q′,满足

??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OQ ? OP′ ? OQ′ ? 1 ? 0 (O 为原点),若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,判定点 S 是否
在椭圆 C2 上,并说明理由. 21.已知函数 f ? x ? ? e ? ax, g ? x ? ? e ln x ? e ? 2.71828 ???? ..
x x

(1)设曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1处的切线为 l ,点(1,0)到直线 l 的距离为 的值; (2)若对于任意实数 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围;

2 ,求 a 2

(3)当 a ? ?1时, 是否存在实数 x0 ??1, e?,使曲线C:y ? g ? x ? ? f ? x ? 在点x ? x0 处 的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:由题可得 M ? {x | x ? 1} , N ? { y | y ? 0} , 根据交集的定义可得 M ? N =

{x | 0 ? x ? 1} ,故选 C.
考点:交集 定义域 值域 2.D. 【解析】 试题分析:? z ? 1 ? i,? ? z ? 选 D. 考点:复数 复数除法 3.C 【解析】 试题分析:由图可知该几何体是直三棱柱,直三棱柱的棱长为 4 ,底面等边三角形的高为 3 , 所以其左视图的面积为 4 3 .故选 C. 考点:三视图 直三棱柱 4.A 【解析】 试题分析:对函数进行化简可得 y ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )cos( x ? )

1 z

1 1? i 1? i 3 1 ?1? i ? ?1? i ? ? 1 ? i ? ? i ,故 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

? ? ? ? 3 6 3 3 ? ? ? ? ? ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )cos( x ? ? ) 3 6 3 2 6 ? ? ? ? ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )sin( x ? ) 3 6 3 6 ? ? ? ? ? k? ? ? sin(3x ? ? x ? ) ? sin(4 x ? ) , 则 由 4x ? = k? ? k , ? Z 得 x= ? ,k ?Z . 当 3 6 6 6 2 4 12 ? k ? 0 时, x= . 故选 A. 12

考点:正余弦和差角公式 对称轴 5.B 【解析】
a b 试题分析:由指数函数的单调性可得 2 ? 2 等价于 a ? b ,当 0 ? a ? b 或 a ? 0 ? b 时,

ln a ? ln b 不成立;而 ln a ? lnb 等价于 a ? b ? 0 , 能推出 2a ? 2b ;所以“ 2a ? 2b ”是
“ ln a ? ln b ”的必要不充分条件.故选 B. 考点:逻辑关系 指对数 6.A
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【解析】 试题分析:圆的圆心为 C (1, 0). 由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线 , 则

k AB =-

1 , k PC

即 k AB = -

1 1 ?? ? 1 . 又 由 直 线 的 点 斜 式 方 程 得 直 线 AB 的 方 程 为 : 0 ? (?1) kPC 1? 2

y ? (? 1 ) ? x? , 2
即 x ? y ? 3 ? 0 .故选 A 考点:圆 直线 7.B 【解析】 试题分析:根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1 个男生
2 1 的方法: C8 C4 ? 112.

故选 B. 考点:分层抽样 组合数 8.A 【解析】 试题分析:① y ? x ? sin x 在定义域上是偶函数,其图象关于 y 轴对称;② y ? x ? cos x 在定 义域上是奇函数,其图象关于原点对称;③ y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于 原点对称,且当 x ? 0 时, 其函数值 y ? 0 ;④ y ? x ? 2 ,在定义域上为非奇非偶,且当 x ? 0
x

时,其函数值 y ? 0 ,

且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 .故选 A.

考点:函数奇偶性 单调性 图像 9.A 【解析】 试题分析:动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2 ,画出可行域可知 P 的运动区域 ?0 ? a ? 2b ? 2

为以 C ? , ? ? 为中心且边长为

?3 ?5

1? 5?

1 2 5 的正方形,而点 P 到点 C 的距离小于或等于 的区 4 5
1 的 圆 以 及 圆 的 内 部 , 所 以 4

域 是 以 C? ,? ? 为 圆 心 且 半 径 为

?3 ?5

1? 5?

答案第 2 页,总 12 页

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2 ?2 5? ?1? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?4? 5 ? P? ? 1 ? ? ,故选 A 2 64 ?2 5? ? ? ? 5 ?

2

考点:几何概型 10.C 【解析】 试题分析:由题意知 g ( x) ?

2 x ? 5 2( x ? 2) ? 1 1 ? ? 2? , 函数 f ( x) 的周期为 2 ,则函 x?2 x?2 x?2

数 f ( x), g ( x) 在区间 ?5,1 上的图象如下图所示: y

?

?

A B -5 -3 0

C 1 x

由图形可知函数 f ( x), g ( x) 在区间 [?5,1] 上的交点为 A, B, C ,易知点 B 的横坐标为 ?3 , 若设 C 的横坐标为 t (0 ? t ? 1) ,则点 A 的横坐标为 ?4 ? t ,所以方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,1] 上的所有实数根之和为 ?3 ? (?4 ? t ) ? t ? ?7 . 考点:数形结合 图像 周期性 11.12 【解析】
k n ?k k 试题分析:根据二项式定理可得展开式第 n+1 项为由 Tk ?1 ? Cn ( x ) ( ) , 因为第五项为

2 x

常数项,所以

n?4 ? 4 ? 0 ? n ? 12 ,故填 12. 2

考点:二项式定理 12.4 【解析】 试题分析:根据题意执行程序框图如下:

k ? 1, p ? 1, p ? 1? 1 ? 1, k ? 2, p ? 1?2 ? 2 k ? 3, p ? 2? 3?6 k ? 4, p ? 6?4 ? 24
故n ? 4.
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考点:程序框图 13.

5 3

【解析】 试题分析:由 2a ? 2c ? 4b 得 a ? c ? 2b ? 2 c2 ? a2 ,即 a 2 ? 2ac ? c 2 ? 4c 2 ? 4a 2 得 5a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0,(5a ? 3c)(a ? c) ? 0 ,即 5a ? 3c, e ? 考点:等差中项双曲线离心率双曲线几何性质 14. ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy 【解析】 试题分析:答案: ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy . 由右边 ?

c 5 5 ? .故填 a 3 3

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 2 2 2 2

?

1 x? y (e ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4

1 e x ? y ? e? ( x ? y ) x? y ?( x? y ) ? (2e ? 2e )? ? ch( x ? y) 4 2
ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy


?















sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy



sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一也可.
考点:合情推理 15. {?1, } 【解析】

2 9

? 2 7 ? 2 7 2n 2n x ? x ? ? 0 x ? x ? ? ? 9 (2n ? 1) 2 9 (2n ? 1) 2 ? ? 试题分析:不等式等价于 ? ,即 ? n 2 7 2n 2 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? ? x ? x? n ? n 2 2 ? ? 9 (2 ? 1) 9 9 (2 ? 1) 9 ? ?


2n 2n 1 ? ? (均值不等式不成立)令 t ? 2n ? 2(n ? N? ) 故 n 2 2n n (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? 1 ? 2 2n

2n 2n 1 1 1 9 ? 2? ? 2n ? ? ? 0, ? , t ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ,所以 n 2 n t 2 2 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 9 ? 2n

答案第 4 页,总 12 页

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2 ? 2 7 x ? x? ? 2n 7 2n 2 ? 9 9 2 0 , (因为 n 最小值大于 , 在 可以取等号) , x ? x ? ? 中, ? 2 n 2 (2 ? 1) 9 2 ( 1 )? 9 ? x2 ? 7 x ? 2 ? 9 9 ?
2 故x ?

7 2 2 2 2 x ? ,解得 x ? ?1 或 x ? ,所以答案为 {?1, } .故填 {?1, } . 9 9 9 9 9

考点:基本不等式恒成立问题 16.(1) ? (2) 2 【解析】 试题分析: (1)要得到 f ? x ? 的最小正周期,必须对 f ? x ? 进行化简,首先观察 x ? 系,可以发现

?
6

与x?

?
3

之间的关

?
6

?

?
3

?

?
2

, 故 利 用 诱 导 公 式 ( 奇 变 偶 不 变 符 号 看 象 限 ) 把 sin ? x+

? ?

??
? 3?

?? ? ? ?? cos ? ? ? x ? ?? , 再利用正弦的倍角公式即可得到函数 f ? x ? 的最简形式 , 利用周期 6 ?? ?2 ?
T? 2?

?

即可得到最小正周期.

(2)把 f ?

?C ? ? 1 ? ? ? 带入(1)得到的 f ? x ? 中,化简即可求的 C 角的大小,A 角已知,所以可 ?2 6? 2

以求的 C,A 两个角的正弦值,利用正弦定理可得所求比值即为 A,C 两个角的正弦之比,带入即 可求出

BC . AB π 6

试题解析:

π π π π ? ( x ? )] 3 6 2 6 π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , 6 6 3 2π ? π. 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 6分 2 C π C π π (2)由(1)得, f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , 2 6 2 6 3 1 π 由已知, sin C ? ,又角 C 为锐角,所以 C ? , 2 6 π 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 12 分 ? ? π 1 AB sin C sin 6 2
(1)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) sin[
答案第 5 页,总 12 页

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考点:诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式 17.(1)

121 9 (2) 140 4

【解析】 试题分析: (1)首先通过茎叶图分析可得 16 人中,幸福的人有 12 人,则考虑通过计算事件这 16 人中随机 选取 3 人,至少有 2 人为“幸福”的对立事件,即从这 16 人中随机抽取 3 人,至多 1 人是幸
3 福的,也就是抽取的 3 人的只有 1 人或者没有人是幸福的,利用组合数 C16 计算得到 16 抽取 3 1 1 0 2 人的所有的基本事件,再分步计数原理用组合数 C12 计算得到对立事件所包含的 C4 ? C12 C4

基本事件,再利用古典概型的概率计算公式即可得到对立事件的概率 ,则所求事件的概率为 1 减去对立事件的概率. (2)因为 16 人中有 12 人是幸福的,即该社区中幸福的人占

3 1 ,非幸福人数占 ,有题可得可 4 4

得 ? 的取值可以是 0,1,2,3,则利用独立试验同时发生的概率计算公式可以得到 ? 分别为 0,1,2,3 时所对应的概率,即可得到分布列,再把 ? 的值域对应概率相乘之和即可得到期望. 试题解析: (1)记至少有 2 人是“幸福”为事件 A ,由题意知

p ( A) =1-

2 1 3 1 18 121 C4 C4 ? C12 =1= ; 3 3 140 140 140 C16 C16

6分

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

1 1 p (? ? 0) ? ( )3 ? , 4 64 9 1 3 1 2 ( ) ? , p(? ? 1) ? C3 4 4 64 3 1 27 , p(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 4 4 64 3 27 , 10 分 p(? ? 3) ? ( )3 ? 4 64
所以 ? 的分布列为:

?
P

0
1 64

1

2

3
27 64
12 分

9 64

27 64

E? ?

1 9 27 27 144 9 ? 0+ ?1+ ? 2+ ? 3= = 64 64 64 64 64 4

考点:分布列期望茎叶图
答案第 6 页,总 12 页

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18. (1)见解析(2) ?

105 35

【解析】 试题分析: (1)要证明直线 PA 垂直 BO,根据线面垂直的性质只需要证明 BO 垂直于 PA 所在的面 PAD 即可, 首先 O 是点 P 在面 ABCD 上的投影,则有 PO 垂直于面 ABCD,即有 BO 与 PO 垂直,三角形 ABO 的 三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明 BO 垂直于 AD,即有 BO 垂直于面 PAD 内两条 相交的直线,则 BO 垂直于面 PAD,故有 BO 垂直于 PA. (2)根据(1)利用 AD,PO,BO 两两垂直,即可分别设为 x,y,z 轴建立三维直角坐标系,利用坐标 法来求解二面角,即分别求出面 ABP 与面 BPD 的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角, 根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值. 试题解析: (1)在 ?AOB 中, AB ? 2, AO ? 1, BO ? 3 , 则 AB2 ? AO2 ? BO2 ,∴ AO ⊥ BO . ∵ PO ⊥平面 ABCD ,∴ PO ⊥ BO . 又 AO ? 平面 PAO , PO ? 平面 PAO ,且 AO ? PO ? O , ∴ BO ⊥平面 PAO . 又 PA ? 平面 PAO ,∴ PA ⊥ BO . 6分

z

P

O A B

D y

x

C

(2)由题知,以 O 为坐标原点, OB, OD, OP 为 x, y, z 轴, 建立如图空间直角坐标系 O ? xyz . 由已知, PA ? 2, AO ? 1 ,∴ PO ? 3 . 因为等腰梯形 ABCD , AD / / BC , AB ? BC ? 2 , 所以 OD ? 3 ,∴ P 0,0, 3 , A?0,?1,0? ,

?

?

B 3,0,0 , D?0,3,0? ,
所以 AB ?

?

?

8分

? 3,1,0?, AP ? ?0,1, 3?, DB ? ? 3,?3,0?, DP ? ?0,?3, 3 ?.
答案第 7 页,总 12 页

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??? ? ?? ? ? AB ? m ? 3x1 ? y1 ? 0 设平面 APB 的法向量为 m ? ?x1 , y1 , z1 ? ,则 ? ??? , ? ?? AP ? m ? y ? 3 z ? 0 ? ? 1 1
令 y1 ? 3 ,故 x1 ? z1 ? ?1 ,即 m ? ? 1, 3,?1 . 设平面 DPB 的法向量为 n ? ?x2 , y2 , z2 ? ,

?

?

??? ? ?? ? DB ? m ? 3x2 ? 3 y2 ? 0 ? 则 ? ??? , ? ?? DP ? m ? ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ? 2 2
令 y2 ? 3 ,∴ x2 ? z 2 ? 3 ,即 n ? 3, 3,3 .

?

?

?? ? ?? ? m?n ?3 105 ? ? 故 cos m, n ? ?? , ?? 35 | m|?| n | 5 ? 21
设二面角 A ? BP ? D 的大小为 ? ,由图可知 ? 是钝角, 所以二面角 A ? BP ? D 的余弦值为 ? 考点:坐标法线线垂直线面垂直法向量 19.(1) S n ? 【解析】 试题分析: (1)已知等比数列的首项与公比 ,根据等比数列的通项公式即可求的数列 ?an ? 的通项公式, 带入 bn ? 2 ? 3log1 an n ? N
4

105 . 35

12 分

2 3n ? 2 1 n ? ? ( ) (2) m ? 1或m ? ?5 3 3 4

?

*

? ,即可求出数列 ?b ? 的通项公式,不难发现 ?a ? , ?b ? 分别
n n n

为等比数列与等差数列,则利用错位相减法即可求出 数列?cn ? 满足cn ? an ? bn 的前 n 项和

Sn .
(2)该问题是个恒成立问题,只需要求出数列 ?cn ? 的最大值,则需要考查该数列的单调性,不 妨设对数列 ?cn ? 的相邻两项做差,不难发现数列 ?cn ? 的第一与第二项相等,从第三项开始单 调递减,则该数列的最大值为 c1 ,则 m 满足 c1 ?

1 2 m ? m ? 1 ,带入 c1 解二次不等式即可求的 4

m 的取值范围.
试题解析:
n (1)由题意知, an ? ( ) ( n ? N*) ,

1 4

所以 bn ? 3log 1 an ? 2, bn ? 3log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 ,
4 4

1 4

答案第 8 页,总 12 页

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n 故 an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N*) ,

1 4

1 3分 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 所以 Sn ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) . 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 2 3n ? 2 1 n ?( ) ? ? ? ( ) (n ? N *) 所以 Sn ? ? 7分 3 3 4 3 3 4 1 n ?1 1 n 1 n ?1 (2)因为 cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *) 4 4 4 1 所以当 n ? 1 时, c 2 ? c1 ? , 4
n 所以 cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ( n ? N*)

当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn , 所以当 n ? 1 时, cn 取最大值是 又 cn ?

1 , 4

1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 , 4 1 2 1 所以 m ? m ? 1 ? 4 4
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5
2

12 分

考点:等差数列与等比数列错位相减法恒成立最值 20.(1) y 2 ? 4 x (2)-1(3)见解析 【解析】 试题分析: (1)根据题意设出椭圆 C2 的方程,题目已知离心率即可得到

c 的值,根据椭圆的几何性质,短 a

轴端点与两焦点构成的三角形以焦距为底边长 , 以短半轴长为高 , 即该三角形的面积为

1 ?2c ?b ,再根据 a, b, c 之间的关系即可求出 a, b, c 的值,得到椭圆的标准方程.抛物线 C1 的 2
交点在 x 轴的正半轴,故抛物线的焦点为椭圆的右顶点 ?1,0 ? ,即可求出 p 得到抛物线的方 程. (2)讨论直线 AB 的斜率,当斜率不存在时与 y 轴没有交点,所以不符合题意,则斜率存在,设直 线 AB 的斜率为 k 得到直线 AB 的方程,联立直线与抛物线的方程得到 AB 两点横坐标的韦达定 理,把向量的横坐标带入 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 向量的坐标表示得到 x1 , x2 , ?1 , ?2 之间的
答案第 9 页,总 12 页

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

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关系为 ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1? x2 ) ? x2 , 反解 ?1 , ?2 ,带入 ?1 ? ?2 ,利用 x1 ? x2 , x1 x2 (韦达定理) 带入 ?1 ? ?2 即可得到 ?1 ? ?2 为定值. (3)设出 P,Q 两点的坐标,则可以得到 P ', Q ' 的坐标,带入条件 OP ? OQ ? OP′ ? OQ′ ?1 ? 0 得 到 P,Q 横纵坐标之间的关系,因为 P,Q 在椭圆上,则满足椭圆的方程,这两个条件得到的三个 式子相加配方即可证明点 S 在椭圆上,即满足椭圆的方程. 试题解析: (1)由题意,椭圆 C2 的方程为

??? ? ??? ? ???? ???? ?

c 2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,又 ? , bc ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 , 2 b a a 2

解得 a ?

2, b ? c ? 1, ∴椭圆 C2 的方程是 x 2 ?

y2 ? 1 . 由此可知抛物线 C1 的焦点为 F 2
4分

(1, 0),得 p ? 2 ,所以抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x .
(2) ?1 ? ?2 是定值,且定值为 ?1 ,由题意知,

直线的斜率 k 存在且不为 0 ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 N (0, ?k ) 联立方程组

? y2 ? 4x , 消 去 y 得 : k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0 且 ? y ? k ( x ? 1) ?

? 2k 2 ? 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x1 ? x2 ? k 2 , 由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得 ?1 (1 ? x1 ) ? x1, ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得 ? ?x ? x ? 1 ? 1 2

?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 , 可得 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
'

9分

(3)设 P( xP , yP ), Q( xQ , yQ ),? S ( xP ? xQ , yP ? yQ ), 则 P ( xP ,0), Q ( xQ ,0).
'

由 OP ? OQ ? OP' ? OQ' ? 1 ? 0 得 2xP xQ ? yP yQ ? ?1 ① 将点 P, Q 坐标带入椭圆方程得, xP ?
2

? ??? ? ???? ???? ????

y 2 yP 2 ? 1 ② xQ 2 ? Q ? 1 ③ 2 2

答案第 10 页,总 12 页

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由①+②+③得 ( xP ? xQ ) ?
2

( yP ? yQ )2 2

?1
13 分

所以点 S ( xP ? xQ , yP +yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,所以点 S 在椭圆 C2 上. 考点:抛物线椭圆根与系数的关系 21.(1) a ? ?e ? 1 或 a ? ?e ? 1. (2) (?e, ??) (3)不存在 【解析】 试题分析:

(1)该问切点横坐标已知 ,则利用切点在曲线上,带入曲线 f ? x ? 即可得到切点的纵坐标,对

f ? x ? 进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,
利用直线的点斜式即可求的切线的方程 ,利用点到直线的距离公式结合条件点 ?1,0 ? 到切线

的距离为

2 即可求的参数 a 的值. 2

ex (2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法 ,即把参数 a 与 x 进行分离得到 a ? ? ,则 x
? ex ? ex a ? ? ? ? ,再利用函数的导函数研究函数 y ? ? 在区间 ? 0, ??? 的最大值,即可求的 x ? x ? max
a 的取值范围. (3)根据切线的斜率即为曲线 C 在切点处的导函数值,即该问可以转化为是否存在 x0 ??1, e? 使 得

y'

x ? x0

? |

, 0 令

M ( x) ? g ? x ? ? f ? x ? ? ex ln x ? ex ? x
即 存 在

,



M ' ( x) ?

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 x x
0, 对

x0 ??1, e?, 使



M '?

0

?x? ? ' g ? 0 ? ?x ? '

f ? Mx 0 ' ? x0 ? 再次求导进行最值求解可得 M ' ? x ? ? 0 , 所以

不存在 x0 ??1, e?, 使得 M ' ? x0 ? ? g ' ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 0 . 试题解析: (1) f ?( x) ? e x ? a , f (1) ? e ? a .

y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a ,
∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 . 2 分

答案第 11 页,总 12 页

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又点 (1, 0) 到切线 l 的距离为

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ,所以 , ? 2 2 2 2 (e ? a) ? (?1)
4分

解之得, a ? ?e ? 1 或 a ? ?e ? 1.

(2)因为 x ? 0, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, 若 x ? 0, f (0) ? 1 ? 0 恒成立;

ex 若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ? ,在 x ? 0 上恒成立, x
x

设 Q( x) ? ?

ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ? , 则 Q ' ( x) ? ? x2 x2 x

当 x ? (0,1) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q(1) ? ?e , 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . 9分

(3)依题意,曲线 C 的方程为 y ? ex ln x ? ex ? x ,令 M ( x) ? ex ln x ? ex ? x 所以 M ( x) ?
'

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , x x

设 h( x ) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 ,则 h' ( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1, e?, h' ( x) ? 0 , x x x x

故 h( x) 在 1, e 上单调增函数,因此 h( x) 在 1, e 上的最小值为 h(1) ? 0

? ?

? ?

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 x 1 x 又 x0 ??1, e? 时, e ? 0, ? ln x ? 1 ? 0 x 1 ' x 所以 M ( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 x
即 h( x ) ? 曲线 y ? ex ln x ? ex ? x 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 M ' ( x) ? 0 有实数解, 但 是 M ' ( x )? , M ' ( x) ? 0 没 有 实 数 解 , 故 不 存 在 实 数 x0 ?[1, e], 使 曲 线 0 14 分

C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直.
考点:导数最值单调性零点
答案第 12 页,总 12 页



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