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高三数学综合题2 (12)



x 1. 已知集合 M ? x y ? ln ?1 ? x ? , 集合N ? y y =e ? x ? R (e 为自然对数的底数)

?

?

?

?

则M ? N ? (
A. x x ? 1

)

?

r />?

B.

? x x ? 1?
1 z 1 3 ? i 2 2

C.

? x 0 ? x ? 1?
)

D. ?

2.复数 z ? 1 ? i, 则 ? z ? ( A.

1 3 ? i 2 2

B.

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正(主)视图(如 图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为( )

A.8

B.4

C. 4 3

D. 3

4. 函数 y ? sin ? 3x ? 的方程是( ) A. x ?

? ?

??

?? ?? ? ?? ? ? ? cos ? x ? ? ? cos ? 3x ? ? cos ? x ? ? 的图象的一条对称轴 3? 6? 3? 3? ? ? ?
C. x ? ?

?
12

B. x ?

?
6

?
12

D. x ? ? )

?
24

a b 5. “ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

2 6.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

)

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

7.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层 抽样,则不同的抽取方法数为( ) A.224 B.112 C.56 D.28 8.现有四个函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ,③ y ? x ? cos x ,④ y ? x ? 2 x 的部分 图象如下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是
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(

)

A.①④②③

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

9 . 已 知 三 点 A ? 2,1? , B ?1, ?2 ? , C ? , ? ? , 动点P ? a, b ? 满足0 ? OP ? OA ? 2 , 且

?3 ?5

1? 5?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 1 0 ? OP ? OB ? 2 ,则动点 P 到点 C 的距离小于 的概率为( 4 5? 5? ? ? A. 1 ? B. C. 1 ? D. 64 64 16 16

)

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 10. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:f ? x ? ? ? 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为( ) x?2 A. ?5 B. ?6 C. ?7 D. ?8

11.若 ? x ?

? ?

2? * ? ? n ? N ? 展开式中的第 5 项为常数,则 n 等于__________. x?

n

12.执行右面的框图,若输出 p 的值是 24,则输入的正整数 N 应为________.

13.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲 a 2 b2

线的离心率为__________. 14.已知双曲正弦函数 shx ?

e x ? e? x e x ? e? x 和双曲作弦函数 chx ? 与我们学过的正 2 2

弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角 公式, .....

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写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确结论______________. ..

7 2n 2 ? 对任意n ? N * 恒成立,则所 15.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ? x ? n 9 ? 2 ? 1? 9
2

有这样的解 x 构成的集合是____________.

16.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,若 A ?

?

BC ?C ? ? 1 的值. , 锐角C满足f ? ? ? ? , 求 4 AB ?2 6? 2

17.寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光花园” 社区人们的幸福度,现从调查人群中随机抽取 16 名,如果所示的茎叶图记录了他们的 幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) ;若幸福度分数 不低于 8.5 分,则该人的幸福度为“幸福”.

(1)求从这 16 人中随机选取 3 人,至少有 2 人为“幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 18.如图,等腰梯形 ABCD,AD//BC,P 是平面 ABCD 外一点,P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上, PA ? AB ? BC ? 2AO ? 2, BO ? 3 .

(1)证明: PA ? BO ; (2)求二面角 A-BP-D 的余弦值. 19 . 已 知 数 列

?an ?

是 首 项 为 a1 ?

* bn ? 2 ? 3 l 1 oa g , n ?n ? N ? . 4

1 1 , 公 比 q? 的 等 比 数 列 , 设 4 4

数列?cn ? 满足cn ? an ? bn
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(1)求证数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

20.椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,且短轴一端点和两焦点 2 a b 2
2

构成的三角形面积为 1,抛物线 C1 的方程为 y ? 2 px ? p ? 0? ,抛物线的焦点 F 与椭圆 的一个顶点重合. (1)求椭圆 C2 和抛物线 C1 的方程; ( 2 ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 不 同 两 点 A,B , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求?1 ? ?2 的值.
(3)直线 l 交椭圆 C2 于不同两点 P,Q,P,Q 在 x 轴上的射影分别为 P′,Q′,满足

??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OQ ? OP′ ? OQ′ ? 1 ? 0 (O 为原点),若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,判定点 S 是否
在椭圆 C2 上,并说明理由. 21.已知函数 f ? x ? ? e ? ax, g ? x ? ? e ln x ? e ? 2.71828 ???? ..
x x

(1)设曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1处的切线为 l ,点(1,0)到直线 l 的距离为 的值; (2)若对于任意实数 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围;

2 ,求 a 2

(3)当 a ? ?1时, 是否存在实数 x0 ??1, e?,使曲线C:y ? g ? x ? ? f ? x ? 在点x ? x0 处 的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:由题可得 M ? {x | x ? 1} , N ? { y | y ? 0} , 根据交集的定义可得 M ? N =

{x | 0 ? x ? 1} ,故选 C.
考点:交集 定义域 值域 2.D. 【解析】 试题分析:? z ? 1 ? i,? ? z ? 选 D. 考点:复数 复数除法 3.C 【解析】 试题分析:由图可知该几何体是直三棱柱,直三棱柱的棱长为 4 ,底面等边三角形的高为 3 , 所以其左视图的面积为 4 3 .故选 C. 考点:三视图 直三棱柱 4.A 【解析】 试题分析:对函数进行化简可得 y ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )cos( x ? )

1 z

1 1? i 1? i 3 1 ?1? i ? ?1? i ? ? 1 ? i ? ? i ,故 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

? ? ? ? 3 6 3 3 ? ? ? ? ? ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )cos( x ? ? ) 3 6 3 2 6 ? ? ? ? ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )sin( x ? ) 3 6 3 6 ? ? ? ? ? k? ? ? sin(3x ? ? x ? ) ? sin(4 x ? ) , 则 由 4x ? = k? ? k , ? Z 得 x= ? ,k ?Z . 当 3 6 6 6 2 4 12 ? k ? 0 时, x= . 故选 A. 12

考点:正余弦和差角公式 对称轴 5.B 【解析】
a b 试题分析:由指数函数的单调性可得 2 ? 2 等价于 a ? b ,当 0 ? a ? b 或 a ? 0 ? b 时,

ln a ? ln b 不成立;而 ln a ? lnb 等价于 a ? b ? 0 , 能推出 2a ? 2b ;所以“ 2a ? 2b ”是
“ ln a ? ln b ”的必要不充分条件.故选 B. 考点:逻辑关系 指对数 6.A
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【解析】 试题分析:圆的圆心为 C (1, 0). 由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线 , 则

k AB =-

1 , k PC

即 k AB = -

1 1 ?? ? 1 . 又 由 直 线 的 点 斜 式 方 程 得 直 线 AB 的 方 程 为 : 0 ? (?1) kPC 1? 2

y ? (? 1 ) ? x? , 2
即 x ? y ? 3 ? 0 .故选 A 考点:圆 直线 7.B 【解析】 试题分析:根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1 个男生
2 1 的方法: C8 C4 ? 112.

故选 B. 考点:分层抽样 组合数 8.A 【解析】 试题分析:① y ? x ? sin x 在定义域上是偶函数,其图象关于 y 轴对称;② y ? x ? cos x 在定 义域上是奇函数,其图象关于原点对称;③ y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于 原点对称,且当 x ? 0 时, 其函数值 y ? 0 ;④ y ? x ? 2 ,在定义域上为非奇非偶,且当 x ? 0
x

时,其函数值 y ? 0 ,

且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 .故选 A.

考点:函数奇偶性 单调性 图像 9.A 【解析】 试题分析:动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2 ,画出可行域可知 P 的运动区域 ?0 ? a ? 2b ? 2

为以 C ? , ? ? 为中心且边长为

?3 ?5

1? 5?

1 2 5 的正方形,而点 P 到点 C 的距离小于或等于 的区 4 5
1 的 圆 以 及 圆 的 内 部 , 所 以 4

域 是 以 C? ,? ? 为 圆 心 且 半 径 为

?3 ?5

1? 5?

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2 ?2 5? ?1? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?4? 5 ? P? ? 1 ? ? ,故选 A 2 64 ?2 5? ? ? ? 5 ?

2

考点:几何概型 10.C 【解析】 试题分析:由题意知 g ( x) ?

2 x ? 5 2( x ? 2) ? 1 1 ? ? 2? , 函数 f ( x) 的周期为 2 ,则函 x?2 x?2 x?2

数 f ( x), g ( x) 在区间 ?5,1 上的图象如下图所示: y

?

?

A B -5 -3 0

C 1 x

由图形可知函数 f ( x), g ( x) 在区间 [?5,1] 上的交点为 A, B, C ,易知点 B 的横坐标为 ?3 , 若设 C 的横坐标为 t (0 ? t ? 1) ,则点 A 的横坐标为 ?4 ? t ,所以方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,1] 上的所有实数根之和为 ?3 ? (?4 ? t ) ? t ? ?7 . 考点:数形结合 图像 周期性 11.12 【解析】
k n ?k k 试题分析:根据二项式定理可得展开式第 n+1 项为由 Tk ?1 ? Cn ( x ) ( ) , 因为第五项为

2 x

常数项,所以

n?4 ? 4 ? 0 ? n ? 12 ,故填 12. 2

考点:二项式定理 12.4 【解析】 试题分析:根据题意执行程序框图如下:

k ? 1, p ? 1, p ? 1? 1 ? 1, k ? 2, p ? 1?2 ? 2 k ? 3, p ? 2? 3?6 k ? 4, p ? 6?4 ? 24
故n ? 4.
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考点:程序框图 13.

5 3

【解析】 试题分析:由 2a ? 2c ? 4b 得 a ? c ? 2b ? 2 c2 ? a2 ,即 a 2 ? 2ac ? c 2 ? 4c 2 ? 4a 2 得 5a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0,(5a ? 3c)(a ? c) ? 0 ,即 5a ? 3c, e ? 考点:等差中项双曲线离心率双曲线几何性质 14. ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy 【解析】 试题分析:答案: ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy . 由右边 ?

c 5 5 ? .故填 a 3 3

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 2 2 2 2

?

1 x? y (e ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4

1 e x ? y ? e? ( x ? y ) x? y ?( x? y ) ? (2e ? 2e )? ? ch( x ? y) 4 2
ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy


?















sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy



sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一也可.
考点:合情推理 15. {?1, } 【解析】

2 9

? 2 7 ? 2 7 2n 2n x ? x ? ? 0 x ? x ? ? ? 9 (2n ? 1) 2 9 (2n ? 1) 2 ? ? 试题分析:不等式等价于 ? ,即 ? n 2 7 2n 2 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? ? x ? x? n ? n