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山东省新泰市第一中学2015-2016学年高二12月月考数学(文)试题



新泰一中 2014 级高二上学期第二次大单元测试 数学试题(文)
选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是(
1 A. (- ,1) 2

2015.12

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个


1 D. (- ?,- )?(1,+?) 2

B. (1,+?)

C. (-?,1)?(2,+ ?)

2.已知命题 p : ?x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为

(

)

A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x

B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x )

3.在 ?ABC 中,若 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 角形 4.抛物线 x 2 ? ?
1 A. (- ,0) 8

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三

1 y 的焦点坐标为( 4
B .


1 16 1 ), 0 ) 16

1 (0,- C ) 8

.

( 0D ,(--

.

5.已知 p : x ? 1 ≤4, q : x 2 ? 5 x ? 6, 则 p 是 q 成立的 ( A.必要不充分条件 C.充要条件

)

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )
b a ? a b

6.a、b为非零实数,且a<b,则下列命题成立的是(
1 1 ? 2 2 ab ab

A. a 2 ? b 2

B.

2 C. a b ? ab

2

D.

7.两个正数 a、b 的等差中项是

5 ,一个等比中项是 6 ,且 a ? b ,则双曲线 2

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 等于( a 2 b2



A.

3 2

B.

15 2

C.

13

D.

13 3

8.过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 5 ,则 AB =(
A.10 B.9

) C .8 D.7

? x ? 4 y ? ?3 ? 9.已知目标函数 z ? 2 x ? y 且变量 x , y 满足下列条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 ?x ?1 ?
( ) B. zmax ? 12 ,无最小值 D.无最小值也无最大值
m 3 1 ? ? ? 0 恒成立,则 m 的最大值为 3a ? b a b

A. zmax ? 12, zmin ? 3 C.无最大值, zmin ? 3 10.已知 a ? 0, b ? 0, 若不等式 ( ) A.4 B.16

C. 9

D.3

二.填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。请把答案填在答题纸 的相应位置。 11.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a 4 ? 1 ,则 a5 ? ____________.
x2 12. 已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,m 为等比中项, 则圆锥曲线 ? y 2 ? 1的 m

离心率是

.

13.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测 得树尖的仰角为30° ,45° ,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度为

14.下列四个命题: ①若 0 ? a ? b ,则

1 1 1 ? ;② x ? 0 , x ? 的最小值为 3 ; a b x ?1

③椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 比椭圆 ? ? 1 更接近于圆; 4 3 4 2

④设 A, B 为平面内两个定点,若有 | PA | ? | PB |? 2 ,则动点 P 的轨迹是椭圆; 其中真命题的序号为________________.(写出所有真命题的序号)

x ? a 恒成立, 15. 若对任意 x ? 0 , 2 则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1



三.解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤。请将解答过程写在答题纸的相应位置。 16.(本小题满分 12 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对 的边 (1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?
3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

17. (本小题满分 12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x 2 +2ax ? 4 ? 0 ,对一切 x ? R 恒 成立,q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数。若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)设椭圆 C : (1)求 C 的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, 4) ,离心率为 . . 2 5 a b

(2)求过点 (3,0) 且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数列

4 5

{bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上.
(1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; (3)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 13 分) 要建一间体积为 75m 3 ,墙高为 3m 的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每 平方米的造价为 500 元, 墙壁每平方米的造价为 400 元,地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽,能使总造价最低?最低造价是多少?

21. (本小题满分 14 分) 设中心在坐标原点的椭圆 E 与双曲线 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 有公共焦点,且它们的离 心率互为倒数。

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在过点 A(2,0) 的直线交椭圆 E 于 P,Q 两点,且满足 OP ? OQ , 求存在求 ?OPQ 的面积,若不存在说明理由。

新泰一中 2014 级高二上学期第二次大单元测试 数学试题(文)答案
一、选择题:1.D 2.C 二、填空题:11.
?1

3.C

4.C

5.A 6.B 12.

7.D 8. B

9.C

10.B

30 或 7 6
1 5

13. (30+30 3) m

14. ①③ 三、解答题: 16 解:(1)由 S ?ABC ?

15. a ?

1 1 3 3 ,得 b=1 bc sin A ? ? 2b ? ? 2 2 2 2
1 ? 3 ,得 a= 3 . 2

由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 12 ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2 ?

(2)由 a ? c cos B ,可得角 C= 900 。由 b ? c sin A,C ? 900 可得b ? c sin A ? a。 , 所以 ?ABC 为等腰直角三角形。 17.
( ? ?, ? 2 ] ?1 [ 2 , )
16 ? 1,?b ? 4. b2

18.解: (1)将 (0, 4) 代入 C 的方程得 又由 e ? ? , 得 即1?
c a 3 5
a2 ? b2 9 ? , 2 25 a

x2 y2 16 9 ? ? 1. 的方程为 ? , ? a ? 5, ? C 25 16 a2 25 4 4 (2)过点 (3,0) 且斜率为 的直线方程为 y ? ( x ? 3). 5 5

设直线与 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 即 x2 ? 3x ? 8 ? 0, 解得 x1 ?
3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? . 2 2

4 5

x 2 ( x ? 3) 2 ? ? 1. 25 25

设线段 AB 的中点坐标为 ( x' , y' ) 则 x' ? 即中点坐标为 ( , ? ).
3 2 6 5

x1 ? x2 3 ' y1 ? y2 2 6 ? ,y ? ? ( x1 ? x2 ? 6) ? ? , 2 2 2 5 5

19.解: (1)由 2an ? S n ? 2 得: 2a1 ? S1 ? 2 ; 2a1 ? a1 ? 2 ; a1 ? 2 ; 由 2an ? S n ? 2 得: 2a2 ? S2 ? 2 ; 2a2 ? a1 ? a2 ? 2 ; a2 ? 4 ; (2)由 2an ? S n ? 2 ┅①得 2an?1 ? S n?1 ? 2 ┅②; ( n ? 2) 将两式相减得:2an ? 2an?1 ? S n ? S n?1 ;2an ? 2an?1 ? an ;an ? 2an?1( n ? 2 ) 所以:当 n ? 2 时:

an ? a2 2

n ?2

? 4? 2

n ?2

n ? 2 ;当 n=1 时, a2 ? 2a1

所以: ?an ? 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n ; 又由:等差数列 {bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. 得: bn?1 ? bn ? 2 ,且 b1 = 2 ,所以: bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ; (3) cn ? an bn ? n2n?1 ;利用错位相减法得: Tn ? ?(n ? 1)2n?2 ? 4 ;

20.解:设仓库地面的长为 x( x ? 0) m ,宽为 y( y ? 0) m ,则有 3xy ? 75 , 所以 y ?
25 . x

则仓库屋顶的面积为 xy m2 ,墙壁的面积为 6( x ? y) m2 . 所以仓库的总造价 W ? 500 xy ? 400 ? 6( x ? y) , 将y?
25 25 代入上式,整理得 W ? 12500 ? 2400( x ? ) . x x

因为 x ? 0 , 所以 W ? 12500 ? 2400( x ?

25 25 ) ? 12500 ? 2400 ? 2 x ? ? 36500 , x x

25 ,即 x ? 5 时,W 取得最小值 36500. x 25 ?5 . 此时 y ? x

且当 x ?

答: 当仓库地面的长为 5 m , 宽为 5 m 时, 仓库的总造价最低, 最低造价为 36500 元.

21.解: (1)设椭圆 E 的方程为
? a 2 ? b2 ? 1 ? 则有 ? 1 2 ? ? 2 ?a
? ?a ? 2 解得 ? ? ?b ? 1

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? 椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)假设存在: 当 k 不存在时,直线为 x ? 2 与椭圆无交点 当 k 存在时,设 PQ : y ? k ( x ? 2) 代入
x2 ? y 2 =1 整理得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设 P( x1 , y1 ),Q( x1 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

? y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ?
5 5

2k 2 10k 2 ? 2 ?0 ? OP ? OQ , ? y y ? x x ? 0 即 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

解得: k ? ?

则:直线 PQ 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 2) 即 x ? 5 y ? 2 ? 0 5

代入

1 64 ? 4 ? 7 ? 2 12 x2 ? y 2 ? 1 整理得: ? 7 x 2 ? 8x ? 2 ? 0 , 则 PQ ? 1 ? ? 2 5 7 7

点 O 到直线 PQ 的距离 d ? 则: S ?OPQ ?
1 2 PQ d ? 6 2 7

2 6 ? 3 6

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