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2014 南昌二中 高三数学(文)第四次考试(1)



南昌二中 2014—2015 学年度上学期第四次考试

高三数学(文)试卷
命题人:谭 佳 审题人:陶学明
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分) 1. 已知 R 是实数集, A.(1,2) B.[0,2] C.(0,2) ,则 N∩?RM=( D.[1,2] )

2. 是 z 的共轭复数,若 z+ =

2, (z﹣ )i=2(i 为虚数单位) ,则 z=( ) A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i x+1 3. 已知命题 p:函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象恒过(﹣1,2)点;命题 q:已知平 面 α∥平面 β,则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件;则下列命题为真命题的是( ) p ∧ q A. B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q 4. 运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为( )

A. 5. 一个体积为 12 ( )

B.

C.

D.

的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为

A. 6

B.8

C.8 )

D.12 D.Bx﹣Ay=0 = ( )

6. 在下列直线中,与非零向量 =(A,B)垂直的直线是( A.Ax+By=0 B.Ax﹣By=0 C.Bx+Ay=0

7. 在△ ABC 中, ∠BAC=60°, AB=2, AC=1, E, F 为边 BC 的三等分点, 则 A. B. C. D. 8. 设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 A.3 B. C.5
2

的最小值为( D.7



1

9. 已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行, 若数列 A. 的前 n 项和为 Tn,则 T2014 的值为( B. 2012 C. ) D. 2014

2

2011 2012

2013

2013 2014

2015

10. 如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 5 分,5 小题,共 25 分) 11. 已知 tan( ﹣α)= ,则 cos( +2α)的值为 .

12. 有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9,从中任意取三条,一定能构成三角形的概 率是 . 13. 若实数 x,y 满足 的最小值是 .

14. 圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 则圆 C 的标准方程为 . 15. ①函数 在[0,π]上是减函数;



②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x﹣y=0 两侧; ③数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则当 n=4 时, Sn 取得最大值; ④定义运算 则函数 的图象在点

处的切线方程是 6x﹣3y﹣5=0. 其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上) .
2

三、解答题(6 小题,共 75 分) 16. 已知函数 的最小正周期为 π. (I)求 ω 的值; (II)在△ ABC 中,若 A<B,且 ,求 . (其中 ω 为正常数,x∈R)

17. 甲、 乙两家商场对同一种商品开展促销活动, 对购买该商品的顾客两家商场的奖励方 案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形, 且每个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分) ,如 果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

18. 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AC=AA1=4,∠ABC=90°. (I)求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的表面积 S; (II)求异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值.

3

19. 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的 b2, b3,b4. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 的值. =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2014

20. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,且 AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=AF=1. (I)求四棱锥 F﹣ABCD 的体积 VF﹣ABCD. (II)求证:平面 AFC⊥平面 CBF. (III)在线段 CF 上是否存在一点 M,使得 OM∥平面 ADF,并说明理由.

21.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意 的 t∈[1,2],函数 求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: . 在区间(t,3)上总不是单调函数,

4

高三数学文科月考试卷
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分) 1. 已知 R 是实数集, A.(1,2) B.[0,2] C.? 解答: 解:∵M={x| <1}={x|x<0,或 x>2},N={y|y= CRM={x|0≤x≤2}, 故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2} =[1,+∞)∩[0,2] =[1,2], 故选 D. 2. 是 z 的共轭复数,若 z+ =2, (z﹣ )i=2(i 为虚数单位) ,则 z=( ) A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i 解答:解:由于, (z﹣ )i=2,可得 z﹣ =﹣2i ① 又 z+ =2 ② 由①②解得 z=1﹣i 故选 D. 3. 已知命题 p:函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象恒过(﹣1,2)点;命题 q:已知平 面 α∥平面 β,则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件;则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q x+1 解答:解:当 x+1=0 时,x=﹣1,此时 y=1+1=2,即函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象恒 过(﹣1,2)点,即命题 p 为真命题. 若直线 m∥α,则 m∥β 或 m?β,充分性不成立,若直线 m∥β,则 m∥α 或 m?α, 必要性不成立, 即直线 m∥α 是直线 m∥β 的既不充分也不必要条件,即命题 q 为假命题, 则 p∧¬q 为真命题, 故选:D. 4. 运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为( )
x+1

,则 N∩?RM=( D.[1,2] +1}={y|y≥1 },



A.

B.

C.

D.

解答:解:第一次执行循环结构:n←0+2,x←2×t,a←2﹣1;∵n=2<4,∴继续执行循环结 构. 第二次执行循环结构:n←2+2,x←2×2t,a←4﹣1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构,
5

第三次执行循环结构:n←4+2,x←2×4t,a←6﹣3; ∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出 3 . 由于结束时输出的结果不小于 3, 故 3 ≥3,即 8t≥1,解得 t 故答案为:B. 5. 一个体积为 12 ( ) 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为
8t 8t



A.6 B.8 解答:解:设棱柱的高为 h, 由左视图知,底面正三角形的高是 故底面三角形的面积是

C.8

D.12

,由正三角形的性质知,其边长是 4, =4

由于其体积为 ,故有 h× = ,得 h=3 由三视图的定义知,侧视图的宽即此三棱柱的高,故侧视图的宽是 3,其面积为 3× = 故选 A

6. 在下列直线中,与非零向量 =(A,B)垂直的直线是( A.Ax+By=0 B.Ax﹣By=0 C.Bx+Ay=0 解答:解:Ax+By=0 的方向向量是(﹣B,A) , Ax﹣By=0 的方向向量是(B,A) , Bx+Ay=0 的方向向量是(﹣A,B) , Bx﹣Ay=0 的方向向量是(A,B) , ∴与非零向量 =(A,B)垂直的直线是 Ax+By=0. 故选:A.
6

) D.Bx﹣Ay=0

7. 在△ ABC 中, ∠BAC=60°, AB=2, AC=1, E, F 为边 BC 的三等分点, 则 A. B. C. D.

= (



解答:解:∵在△ ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1, ∴根据余弦定理可知 BC= 由 AB=2,AC=1,BC= 满足勾股定理可知∠BCA=90° 以 C 为坐标原点,CA、CB 方向为 x,y 轴正方向建立坐标系 ∵AC=1,BC= ,则 C(0,0) ,A(1,0) ,B(0, ) 又∵E,F 分别是 Rt△ ABC 中 BC 上的两个三等分点, 则 E(0, 则 ∴ 故选 A. 8. 设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 A.3 B. C.5
2

) ,F(0, ) ,

) =(﹣1, )

=(﹣1, =1+ =

的最小值为( D.7



解答:解:由题意知,a>0,△ =1﹣4ac=0,∴ac=4,c>0, 则 则 则 ≥ 2× =3,当且仅当 时取等号,

的最小值是 3.

故选 A. 9. 已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行, 若数列 A. 的前 n 项和为 Tn,则 T2014 的值为( B. ) D.
2

2011 2012

2012 2013

C.

2013 2014

2014 2015

解答:解:∵函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平 行, 2 由 f(x)=x +bx 求导得:f′(x)=2x+b, 2 由导函数得几何含义得:f′(1)=2+b=3?b=1,∴f(x)=x +x
7

所以 f(n)=n(n+1) ,∴数列 所以 的前 n 项的和即为 Tn,

的通项为

=

=



则利用裂项相消法可以得到: =1﹣

所以数列的前 2014 项的和为:T2014=

2013 . 2014

故选 C. 10. 如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

解答:解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平 稳. 故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,5 小题,共 25 分) 11. 已知 tan( 解答: 解:设 t= 则 cos( ﹣α)= ,则 cos( ﹣α,即 α= +2α)的值为 ﹣ .

﹣t,tant= , =﹣ .

+2α)=cos(π﹣2t)=﹣cos2t=﹣

8

故答案为:﹣ . 12. 有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9,从中任意取三条,一定能构成三角形的概 率是 .

解答: 解:显然共有 1,3,5;1,3,7;1,3,9;1,5,7;1,5,9;1,7,9;3,5,7; 3,5,9;3,7,9;5,7,9. 共 10 种情况. 根据三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 其中能构成三角形的有 3,5,7;3,7,9;5,7,9.三种情况,故概率是 故填: . .

13. 若实数 x,y 满足

的最小值是 1 .

解答: 解:令 t=x+2y 作出不等式组表示的平面区域,如图所示 由于 t=x+2y 可得 y= ,根据直线在 y 轴上的截距越大,t 越大

∴直线 t=x+2y 平移到点 O(O,0)时,t 取得最小值 0,此时,z=1 故答案为:1

9

14. 圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 2 2 则圆 C 的标准方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =4 . 解答: 解:设圆心为(2t,t) ,半径为 r=|2t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , 2 2 ∴t +3=4t , ∴t=±1,其中 t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,2t=2, ∴(x﹣2) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 15. ①函数 在[0,π]上是减函数;
2 2



②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x﹣y=0 两侧; ③数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则当 n=4 时,Sn 取得最大值; ④定义运算 则函数 的图象在点

处的切线方程是 6x﹣3y﹣5=0. 其中正确命题的序号是 ②④ (把所有正确命题的序号都写上) . 解答: 解:①,∵y=sin(x﹣ )=﹣cosx,在[0,π]上是增函数,故①错误; ②,将 A(1,1) 、B(2,7)的坐标分别代入 3x﹣y 得(3×1﹣1)?(3×2﹣7)=﹣2 <0,故点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x﹣y=0 两侧,即②正确; ③,∵数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,又 a1+a5=2a3, ∴2a3=0, 故当 n=2 或 3 时 Sn 取得最大值,故③错误; ④,∵ =a1b2﹣a2b1,

∴f(x)=
2

= x +x ﹣x,

3

2

∴[f′(x)]|x=1=(x +2x﹣1)|x=1=2, ∴f(x)的图象在点(1, )处的切线方程为:y﹣ =2(x﹣1) ,整理得:6x﹣3y﹣ 5=0,故④正确; 综上所述,正确答案为②④. 故答案为:②④.
10

三、解答题(6 小题,共 75 分) 16. 已知函数 的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)在△ ABC 中,若 A<B,且 解 解: (1) 答:∵ ,求 . (其中 ω 为正常数,x∈R)

=

=

. (4 分)

而 f(x)的最小正周期为 π,ω 为正常数, ∴ ,解之,得 ω=1. (6 分) .

(2)由(1)得 若 x 是三角形的内角,则 0<x<π, ∴ 令 ∴ 解之,得 ,得 或 或 . , . ,

由已知,A,B 是△ ABC 的内角,A<B 且 ∴ , ,∴ . (10 分)



又由正弦定理,得

. (12 分)

17. 甲、 乙两家商场对同一种商品开展促销活动, 对购买该商品的顾客两家商场的奖励方 案如下:
11

甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形, 且每个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分) ,如 果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

2 解答: 解:如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积 π?R ,

阴影部分的面积为



则在甲商场中奖的概率为:



如果顾客去乙商场,记 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3, 记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) (a2,a3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a3,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 15 种, 摸到的是 2 个红球有(b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 3 种, 则在乙商场中奖的概率为:P2= ,

又 P1<P2,则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大. 18. 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AC=AA1=4,∠ABC=90°. (1)求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的表面积 S; (2)求异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值.

12

解答: 解: (1)在△ ABC 中,因为 AB=2,AC=4,∠ABC=90°,所以 BC= S△ ABC= AB×BC=2 .…(1 分)

.…(1 分)

所以 S=2S△ ABC+S 侧=4 +(2+2 +4)×4=24+12 .…(3 分) (2)连接 BC1,因为 AC∥A1C1,所以∠BA1C1 就是异面直线 A1B 与 AC 所成的角 (或其补角) .…(1 分) 在△ A1BC1 中,A1B=2 ,BC1=2 ,A1C1=4,…(1 分) 由余弦定理可得 cos∠BA1C1=

19. 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的 b2, b3,b4. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ) 设数列{cn}对任意自然数 n 均有 解答: 解: (Ⅰ)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∵a2,a5,a14 成等比数列, 2 ∴(1+4d) =(1+d) (1+13d) , 解得 d=2, ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1; 又 b2=a2=3,b3=a5=9, ∴q=3,b1=1, n﹣1 ∴bn=3 . =an+1 成立, 求 c1+c2+…+c2014 的值.

13

(Ⅱ)∵

+

+…+

=an+1,



=a2,即 c1=b1a2=3,



+

+…+

=an(n≥2) ,



=an+1﹣an=2(n≥2) ,
n﹣1

∴cn=2bn=2?3 ∴cn=

(n≥2) , .
2 2013

∴c1+c2+…+c2014=3+2?3+2?3 +…+2?3 2 2013 =3+2(3+?3 +…+3 ) =3+2?

=3 . 20. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,且 AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=AF=1. (1)求四棱锥 F﹣ABCD 的体积 VF﹣ABCD. (2)求证:平面 AFC⊥平面 CBF. (3)在线段 CF 上是否存在一点 M,使得 OM∥平面 ADF,并说明理由.

2014

解答: 解: (1)∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60° 作 FG⊥AB 交 AB 于一点 G,则
14

∵平面 ABCD⊥平面 ABEF ∴FG⊥面 ABCD(3 分) 所以 (2)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF, ∵AF?平面 ABEF, ∴AF⊥CB, 又∵AB 为圆 O 的直径, ∴AF⊥BF,∴AF⊥平面 CBF. ∵AF?面 AFC,∴平面 AFC⊥平面 CBF; (3)取 CF 中点记作 M,设 DF 的中点为 N,连接 AN,MN 则 MN ,又 AO ,则 MN AO,

所以 MNAO 为平行四边形, (10 分) ∴OM∥AN, 又 AN?平面 DAF,OM?平面 DAF, ∴OM∥平面 DAF. (12 分)

21.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若函数 y=f (x) 的图象在点 (2, f (2) ) 处的切线的倾斜角为 45°, 对于任意的 t∈[1, 2],函数 值范围; (Ⅲ)求证: 解答: 解: (Ⅰ) (2 分) . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ;
15

当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

16



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