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电动力学-第2.1节



第二章 静电场
Electrostatic field

本章主要研究静电场的一些求解方法。 本章主要研究静电场的一些求解方法。 由于静电场的基本方程是矢量方程,求解很难,因此 由于静电场的基本方程是矢量方程,求解很难, 一般都是采用引入电势来求解。 一般都是采用引入电势来求解。 因此,本章首先引进静电场的标量势函数——电势并 因此,本章首先引进静

电场的标量势函数 电势并 讨论电势的一些基本特性。 讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种 求解方法——分离变量法、镜象法、格林函数法以及电 分离变量法、 求解方法 分离变量法 镜象法、 荷在小区域分布时的近似求解方法。 荷在小区域分布时的近似求解方法。 求解的依据是:唯一性定理。 求解的依据是:唯一性定理。 本章研究的主要问题: 本章研究的主要问题:在给定的自由电荷分布以及 在周围空间介质和导体分布的情况下,怎样求解静电场。 在周围空间介质和导体分布的情况下,怎样求解静电场。 注意两点: 注意两点: ①电荷静止,即: 电荷静止, 电场不随时间变化, ②电场不随时间变化,即:

r v =0

r ?E =0 ?t

电磁学中的基本内容复习 ◆静电场的基本特点 静电场:静止电荷产生的电场。 静电场:静止电荷产生的电场。 特点: 特点: r r r 静电场可单独存在。 ① J ≡ 0 , B = H = 0 ,静电场可单独存在。
r r 等均与t无关。 ② E,ρ ( ρ f ,ρ P ), P 等均与t无关。

(在本章中,一般以代表自由电荷体密度 ρ 和面密度 σ ) 在本章中, r r r 边值关系: ◆边值关系: en × ( E 2 ? E1 ) = 0 即 E2t = E1t r r r 即 D2 n ? D1n ) = σ e ? (D ? D ) = σ
n 2 1

③静电场的基本方程(有源场): 静电场的基本方程(有源场): r r ?? D = ρf ?× E = 0

◆求介质分界面上的束缚电荷: 求介质分界面上的束缚电荷: σP +σ f r r r r r r en ? ( E 2 ? E1 ) = 当 σ f = 0 有 σ P = ε 0 ( E2 ? E1 ) ? en ε
r r r ? P = χ eε 0 E = (ε ? ε 0 ) E ◆电磁性质方程: 电磁性质方程: r r r r ? r (D = ε0E + P) ? D = εE ? r ? ε0 ? ① 均匀各向同性线性介质: ? 均匀各向同性线性介质: ? ρ P = ?? ? P = ?? 1 ? ε ? ρ f ? ? ? r ? r ? r ? σ P = ? en ? ( P2 ? P1 ) ?
0

静电平衡时的导体: ② 静电平衡时的导体:
r r 导体内部: 导体内部: J = σ E = 0 r r r σ ≠ 0 ? E = D = P = ρp = ρ f = 0

σ 外部表面: Et = 0, E = En = 外部表面: ε

电荷分布在表面上,电场处处垂直于导体表面。 电荷分布在表面上,电场处处垂直于导体表面。

第二章 第一节

静电场的标势 及其微分方程

一、静电场的标势 静电场满足的方程

r ??× E = 0 r ? ??? D = ρ

1.静电势的引入 r 因为静电场为无旋场,即 ? × E = 0,所以可以引入 因为静电场为无旋场, ? 利用推论:标量函数的梯度无旋), 标量函数 (利用推论:标量函数的梯度无旋), r 引入后定义: 引入后定义: (? × E = ?? × ?? = 0)

? ——静电场标势(简称电势)。 静电场标势( 静电场标势 简称电势)。 的选择不唯一,相差一个常数, ① ? 的选择不唯一,相差一个常数,只要知道 ? 即可 r
确定 E 。 取负号是为了与电磁学讨论一致。 ②取负号是为了与电磁学讨论一致。 ③满足迭加原理

r E = ?? ?

? = ?1 + ? 2

★电势差:某点电势无实际意义,两点间电势差才有意义 电势差:某点电势无实际意义, r r r ?? r E = ?? ? = ?? ? el = ?E ? e l ?l r r r r ?? = ?E ? el ?l dl = el dl r r r d? = ?? ? dl = ?E ? dl P 2 ?2 选空间有限两点P 选空间有限两点P1→P2。

Q





∫ ?2 ??1 = ?∫
d? = ?

∫?1

?2

P 2 P 1 P 2 P 1

r r E ? dl

?1
P 1

r r E ? dl

为电场力将单位正电荷从P1移到P2点所作功负值。 为电场力将单位正电荷从P 移到P 点所作功负值。 电场力作正功, ①电场力作正功,电势下降 (?2<?1) , 电场力作负功, 电场力作负功,电势上升 (?2>?1) 。 ②两点电势差与作功的路径无关。 两点电势差与作功的路径无关。
r r (Q ∫LE ? dl ≡ 0)

★等势面:该面上电势处处相等。 等势面:该面上电势处处相等。 r r r 与等势面垂直, 处处成立) ( E 与等势面垂直,即 E ⊥ e n 处处成立) 参考点: ★参考点: P 2 ?2 r (1)电荷分布在有限区域,通常 电荷分布在有限区域, E2 选无穷远为电势参考点。 选无穷远为电势参考点。 ?1 r ? =0 ( P → ∞) 2 ∞ E1 P 1 ∞r r ? P = E ? dl



P

P点电势为将单位正电荷从P点移到∞处(电势参 点电势为将单位正电荷从P点移到∞ 考点)电场力所做的功。 考点)电场力所做的功。 电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点, (2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点, 否则积分将无穷大。 否则积分将无穷大。 参 r r ?P = E ? dl



P

2、电荷分布在有限区域时的几种情况的电势 r r ∞ ∞ Qr ′ Qdr ′ Q (1)点电荷 (1)点电荷 ? ( P ) = ? dl = = 3 2 P 4πε r ′ P 4πε r ′ 4πε 0 r 0 0





(2)电荷组 (2)电荷组

?(P) = ∑

n

?= (3)无限大均匀线性介质中点电荷 (3)无限大均匀线性介质中点电荷 4πε 0 r Q f 产生的电势 QP产生的电势
?f =
Qf 4πε 0 r

i =1 4πε 0 ri

Qi

Q

?P =

ε0 QP = ( ? 1)Q f ε

?=

Qf

4πε 0 r

QP

? = ? f + ?P =

Q f + QP 4πε 0 r

4πεr
r ρ(x′)

(4)连续分布电荷 (4)连续分布电荷

dV′

r r
r x
O

P

r ρ ( x′ )dV ′ ?(P) = V 4πε 0 r 无穷远处为参考点。 无穷远处为参考点。



r x′

r [例1]求均匀电场 E0 的电势。 1]求均匀电场 的电势。

[解]:均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器 产生的电场。 产生的电场。 r 相同, 因为均匀电场中每一点强度 E 相同,其电力线为平行 0 直线,选空间任一点为原点, 直线,选空间任一点为原点,并设原点的电势为 ? 0 。 y 根据 r P r r E0 2 P r ?2 ??1 = ?∫ E ? dl P x 1 θ x 得到 o

r r 设原点O到任一点P 设原点O到任一点P的矢径为 x ,积分路径也为x ,所以
r ?(P) = ?0 ? E0 ?

?(P) = ?0 ?

∫0

P

r r E ? dl

∫0

P

r r r dl = ?0 ? E0 ? x

这里有个参考点选择问题。 这里有个参考点选择问题。

[例2]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的λ,求空 2]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的λ 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的 Z 间的电势。 间的电势。 过所求场点P [解]:过所求场点P作垂直于直导线 dz r z r 的平面交于O OP=R为已知 为已知。 的平面交于O点,设OP=R为已知。 O r 设坐标轴Z如图所示,在z处取 设坐标轴Z如图所示, r r P R 线元 dl = endz ,其电荷元为
dq = λdz
dq

电荷元在P点的电势为d? , 电荷元在P
λdz d? = = 4πε 0r 4πε 0r

r = z 2 + R2

由于上式是基于无限远处为电势零点,而直导线延申至 由于上式是基于无限远处为电势零点, 无限远,所以不能以无限远为电势零点, 无限远,所以不能以无限远为电势零点,那么此题电势 的计算有两种方法: 的计算有两种方法: 参 r r ①已知电场在积分路径中的 ?P = E ? dl 分布,利用右式计算: 分布,利用右式计算: P



②已知某种电荷元电势公式,用积分求电荷连续分布的 已知某种电荷元电势公式, 带电体的电势: 带电体的电势: r 此式基于无穷远 ρ ( x′ )dV ′ ?(P) = ∫ 处为参考点。 处为参考点。 V 4πε 0 r 对于点电荷,若设某点P0为电势零点,则P点的电势为: 对于点电荷,若设某点P 为电势零点, 点的电势为:
?=



P0

P

r r q E ? dl = 4πε 0

∫r

r0

dr q ?1 1 ? ? ? ? = 2 4πε 0 ? r r0 ? r ? ?

q

r0 P0

r
P

所以,若取直导线在R0处为电势零点,那么电荷元在P 所以,若取直导线在R 处为电势零点,那么电荷元在P 处的电势应为: 处的电势应为:
? ? dq ? 1 1 ? 1 1 λ ? ? ? ? ? == d? = ? ?r r ? ? 2 ?dz 4πε 0 ? 4πε 0 ? z + R 2 0 ? z 2 + R0 2 ? ? ?

整个直导线在P点的电势为: 整个直导线在P点的电势为:
?(P) =



V

λ d? = 4πε 0



+∞

?∞

? ? 1 1 ? ? ? ? 2 ?dz ? z + R2 z 2 + R0 2 ? ? ?

Q



+∞ ?∞

du u2 + a 2

= ln(u + u2 + a 2 ) + C

? ? 1 1 ? ? dz = lim ? ? 2 b→∞ 2 2? 2 ? ? z +R z + R0 ? ?



+b

?b

= lim ln( z +
? ?ln z + = lim b→∞ ? z + ? ? ?ln b + = lim b→ ∞ ? b + ?
b→ ∞

[

? ? 1 1 ? ? dz ? ? 2 2 2 2? ? z +R z + R0 ? ? ?

z 2 + R 2 ) ? ln( z +
+b

z 2 + R0 2 )

]

+b ?b

? z 2 + R2 ? z 2 + R0 2 ? ?
2 2

?b

? 2 2 2 2 ? 1+ 1+ R /b ?1+ 1+ R /b ? = lim ?ln ? ln b→ ∞ ? 1 + 1 + R 2 / b 2 ? 1 + 1 + R0 2 / b 2 ? 0 ? ?

? b +R ?b+ b + R ? ? ln 2 2 b + R0 ? b + b 2 + R02 ? ?
2 2

? 2 2 1 ? 1 + R 2 / b2 ? 0 ?ln 1 + 1 + R / b ? = lim b→∞ ? 1 + 1 + R 2 / b 2 1 ? 1 + R 2 / b 2 ? 0 ? ?
2 (1 + 1 + R0 / b 2 ) (1 + 1 + R 2 / b 2 ) 分母× 分母× 分子× 分子× ? ? 2 2 ? (1 + 1 + R 2 / b 2 )2 1 ? (1 + R0 / b ) ? = lim ?ln 2 2 2 ? b→ ∞ ? ? 1 + 1 + R 2 / b 2 ? 1 ? (1 + R / b ) ? ? ? 0 ? ? ? ?
2 ? ? ? 2 2? 2 ? 1 + 1 + R0 / b ? R ? R02 ? ? ? 0 = lim ?ln = ln 2 2 2 2 R2 ? b→∞ R ? (1 + 1 + R / b ) ? ? ?



λ ln 2 ?(P) = 4πε 0 R

R0 2

二、静电势的微分方程和边值关系 1.? 满足的方程 ★泊松方程(Poisson equation): 泊松方程( equation): ρ 2 ? ?=? ε 仅为自由电荷分布, 其中 ρ 仅为自由电荷分布,适用于均匀各向同性 线性介质。 线性介质。 r r r 导出过程: ★导出过程: D = εE E = ?? ? r r ? ε? ? E = ?ε? ? ?? = ?ε? 2? = ρ ??D = ρ

?

特例:在无自由电荷存在的空间,拉普拉斯方程 特例:在无自由电荷存在的空间, (Laplace equation) :

ρ ??=? ε
2

? 2? = 0

(适用于 ρ = 0的区域 )。

静电场的基本问题 在各种不同条件下求解Poisson equation或 在各种不同条件下求解Poisson equation或Laplace equation是处理静电问题的基本途径 是处理静电问题的基本途径。 equation是处理静电问题的基本途径。

1 ρ( x′) r ?( x) = ∫V r dV 4πε0 这个式子只反映了电荷激发电场这一面, 这个式子只反映了电荷激发电场这一面,而没有反映 电场对电荷的作用另一面。 电场对电荷的作用另一面。 如果空间还有导体存在的活, 如果空间还有导体存在的活,那么物理机制为

r 如果电荷是连续分布的,则观察点 x处的标势为 如果电荷是连续分布的, r

r ρ(x′)

- ++ + -+ 导 + + 体 + + - - +++

考虑到感应情况,诸问题的模拟是: 考虑到感应情况,诸问题的模拟是:
给定电荷分布 感应电荷分布 求空间一点 电场分布

而场引起导体上

而感应电荷分布反过来引起

现在, 现在,要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用 一点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的, 的,一点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的, 即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式, 即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式,而在 导体表面或其他边界上场和电荷的相互作用关系则由 边值关系和边界条件反映出来,称之为边值问题。 边值关系和边界条件反映出来,称之为边值问题。

2.边值关系 (1)在介质的分界面上, (1)在介质的分界面上,电场满足的边值关系为 在介质的分界面上 r r r r ?en ×(E2 ? E1) = 0 ? en r r ?r ?en ? (D2 ? D ) = σ ? 1 且为电势所满足的边值关系: 介质2 且为电势所满足的边值关系: 介质2 介质1 介质1 ??1 = ?2 r ? ? ??2 ??1 E1 ? ε1 = ?σ ?ε2 ? ?n ?n
2

r E2
2 ?l2 1 ?l 1

证明: 证明: (a) ?1 = ?2

?2 ??1 = ?∫1

r r r r r r E ? dl = ?E1??l 1?E2??l 2

= ?E1n??l1?E2n??l 2

极限值是0 极限值是0,所以

?1 = ?2

(b) 由

ε2

?n r r r en ? (D2 ? D ) = σ 1

??2 ?n

? ε1

??1

= ?σ

? D2 n ? D1n = σ

r en

ε 2 E 2n ? ε 1 E1n = σ

Q ∴ ∴

?? r = ?? ? el ?l

?? En = ? ?n
? ε1 ??1 ?n = ?σ

r r ?? r = ?? ? en = ?E ? e n ?n

ε2

??2 ?n

(2)在介质与导体的分界面上的情况 (2)在介质与导体的分界面上的情况 由于导体表面为等势面,因此在导体表面上电势为 由于导体表面为等势面, 一常数。 一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分 界面上,并考虑导体内部电场为零, 界面上,并考虑导体内部电场为零,则可以得到第二个 边值关系。 边值关系。 因此,导体与介质分界面上的边值关系为: 因此,导体与介质分界面上的边值关系为: ?? S = const ?? = 常数 ? ? ? ?? ? ?? = ?σ = ?σ ?ε ?ε
? ?n
S

? ?n

式中S指导体的表面。 式中S指导体的表面。 归纳起来,静电场的基本问题是: 归纳起来,静电场的基本问题是: 求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程,在所有分界面 求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程, 上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界 条件的电势的解。 条件的电势的解。

三、利用静电标势来描述静电场的能量 1、一般方程 能量密度: 能量密度: (均匀各向同性线性介 1 r r r r w = E?D 因为: 质)因为: H , B = 0 2 2、用 ρ、 ? 表示的静电场能量 总能量为: 总能量为: 推导过程: 推导过程: r r r r r E ? D = ?? ? ? D = ?? ? (?D ) + ?? ? D
1 W = 2 1 总能量: W = 总能量: 2

∫∞

r r E ? DdV

∫∞

ρ?dV
r = ?? ? (?D ) + ?ρ

r r r 1 1 [? ? ? (?D) + ρ? ]dV W = E ? DdV = 2 ∞ 2 ∞ r 1 1 W =? ? ? (?D )dV + ρ?dV 2 ∞ 2 ∞

∫ ∫







∫V

r ? ? (?D )dV =

∫S

r r ?D ? dS

1 ?∝ r



r→∞

1 D∝ 2 dS ∝ r 2 r r r 1 ?D ? dS → 0 ? S 2



∫∞

r r 1 ?D ? dS ∝ r r ? ? (?D )dV = 0

1 1 W = ∫∞ ρ?dV W = ∫ ρ?dV 即: 2 2 V 积分只需遍及电荷分布的区域V 积分只需遍及电荷分布的区域V 注意理解: 注意理解:

1)该公式只适合于静电场情况,能量不仅分布在电 该公式只适合于静电场情况, 荷区。 荷区。 1 不代表静电场能量密度, 2) ρ? 不代表静电场能量密度,静电场能量存在于 2 整个静电场分布的区域中。 整个静电场分布的区域中。
W 3) = 1 2

∫∞

r r 1 E ? DdV 与 W = ∫ ρ?dV 2 ∞

的适用范围是有区别的。 的适用范围是有区别的。

[例3]求带电荷量为Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 3]求带电荷量为Q 半径为a的导体球的静电场总能量。 求带电荷量为 [ 解] : (1)

1 W = ∫ ρ?dV 2 V

(2)

1 W = 2

∫∞

r r E ? DdV

选取柱坐标:原点的坐标为 选取柱坐标: ),场点的坐标为 ),场点的坐标为( (0,z’),场点的坐标为(R,0), 考虑到导线是无限长, 考虑到导线是无限长,电场 无关。 强度显然与z无关。 r r r r = Reρ ?z′ez 由于 电荷元

Z

z
O

dz

r r
P

r θ R

r 1 dq r 1 λdz r λ 因此 E = ∫∞ r3 r = 4πε0 ?∫∞ r3 r = 4πε ∫ (R2 + z2 )3 2 dz 4πε0 ? 0 ?∞
∞ ∞

dq = λdz



r r Reρ ? zez

Q z = Rtgθ ,

dz = Rsec2 θdθ
dz
2 32

∫?∞

+∞ 2

?π / 2 R2(1 + tg2θ ) (R + z ) π /2 sec2θ π /2 1 dθ = = dθ ?π / 2 R2 sec3θ ?π / 2 R2 secθ 32

=



π /2

sec2θdθ





∫?∞


+∞

= 2 2 32 (R + z )
zdz (R + z )
2 2 32

dz

∫?π / 2
2

π /2

cosθ 2 dθ = 2 R2 R
3

∫?∞

+∞

=

∫?π / 2
π /2

π /2

Rtgθ R sec θ



=


∫?π / 2

Rsinθ dθ = 0 2 R

r λ r 2 E= Reρ ? 2 4πε0 R λ r eρ = 2πε0R

设P0点与导线的垂直距离为R0,则P点到P0点的电势差为

?(P) ??(P ) = ?∫R 0
R

R 0

r r E ? dl

λ r r r r eρ ? (eρdR+ e? Rd? + ezdz) = ?∫R πε0R 02

λ dR = ?∫R 2πε0 R R λ ln R =? 2πε0 R0
R
0

R λ ln =? 2πε0 R0 若选P0为参考点(即 ?(R0 ) = 0),则 为参考点( ),则

λ R ?(P) = ? ln 2πε0 R0



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