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2008全国100所名校最新高考数学 模拟卷(第一套)



2008 全国 100 所名校最新高考数学 模拟卷(第一套)
说明:本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时 间:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的. 1.(文)已知命题甲为 x>

0;命题乙为 | x |? 0 ,那么 A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 (理) 已知两条直线 l1 ∶ax+by+c=0, 直线 l 2 ∶mx+ny+p=0, 则 an=bm 是直线 l1 // l2 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2.(文)下列函数中,周期为 π 的奇函数是 A. y ? sin x cos x C. y ? tan 2 x B. y ? sin x
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D. y ? sin 2 x ? cos2 x

π ? ?x ? t ? (理)方程 ? 6 (t 是参数, t ? R )表示的曲线的对称轴的方程是 ? ? y ? sin t
π (k ? Z) 3 π C. x ? 2kπ ? (k ? Z) 6
A. x ? 2kπ ?

2π (k ? Z) 3 π D. x ? kπ ? ( k ? Z) 6
B. x ? kπ ?

3.在复平面中,已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结 论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; ③ ; ② ④ ; .

其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.(文)在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶ 3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 A.1∶ 3 B.1∶9 C.1∶ 3 3 D.1∶ (3 3 ? 1)

(理)已知数列 {an } 的通项公式是 a n ? 的大小关系是 A. an ? an?1 C. an ? an?1

an ,其中 a、b 均为正常数,那么 an 与 an ?1 bn ? 1

B. an ? an?1 D.与 n 的取值相关

5.(文)将 4 张互不相同的彩色照片与 3 张互不相同的黑白照片排成一排,任何两张黑白 照片都不相邻的不同排法的种数是 A. A4 A4
4 3

4 3 B. A4 A3

4 3 C. A4 C5

4 3 D. A4 A5

(理)某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少, 具体调查结果如下表: 表 1 市场供给量 单价(元/kg) 供给量(1000kg) 表 2 市场需求量 单价(元/kg) 需求量(1000kg) 4 50 3.4 60 2.9 65 2.6 70 2.3 75 2 80 2 50 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间 A.(2.3,2.6)内 C.(2.6,2.8)内
2 2

B.(2.4,2.6)内 D.(2.8,2.9)内

6.椭圆 x ? my ? 1的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.

1 4
4

B.

1 2

C.2

D.4

7.若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,0) D.(-1,0)

8.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f (a) ? f (2) ,则 实数 a 的取值范围是 A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2

9.如图,E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,PC=10, AB=6,EF=7,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 A.60° C.0° B.45° D.120°

10.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是 A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

11.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 , F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直 2

线与双曲线的右支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 的等差中项,则 | AB | 等于 A. 8 2 B. 4 2 C. 2 2 D.8

12.如图,在正方形 ABCD 中,E、F、G、H 是各边中点,O 是正方形中心,在 A、E、B、 F、C、G、D、H、O 这九个点中,以其中三个点为顶点作三角形,在这些三角形中,互不 全等的三角形共有 A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13.若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项的和, Sn ? n2 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? ________.

?2 x ? y ? 8, ? x ? 3 y ? 9, ? 14.若 x、y 满足 ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值为________. x ? 0 , ? ? ?y ? 0
15.有 A、B、C、D、E 五名学生参加网页设计竞赛,决出了第一到第五的名次,A、B 两 位同学去问成绩,教师对 A 说:“你没能得第一名”.又对 B 说:“你得了第三名”.从这个问

题分析,这五人的名次排列共有________种可能(用数字作答). 16 .若对 n 个向量 a1 ? a2 , … , an 存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 , … , kn ,使得

k1 a1 ? k2 a2 ? ? ? kn an ? 0 成立,则称向量 a1 , a2 ,…, an 为“线性相关”.依此规定,
能说明 a1 ? (1,2), a2 ? (1,-1), a3 ? (2,2)“线性相关”的实数 k1 , k2 , k3 依次 可以取________(写出一组数值即中,不必考虑所有情况).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12 分) 已知 cos(

π 3 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? x) ? ,求 的值. 4 5 1 ? tan x

18.(12 分) 已知等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项的和为 Sn ,且 S3 , S9 , S6 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)求证: a2 , a8 , a5 成等差数列.
3

19.(12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.

注意:考生在(20 甲)、(20 乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19 甲)计分. 20 甲.(12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 a,点 M 在边 BC 上,△ AMC1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求证点 M 为边 BC 的中点; (2)求点 C 到平面 AMC1 的距离; (3)求二面角 M ? AC1 ? C 的大小. 20 乙.(12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形, AC=2a,

BB1 =3a,D 为 A1C1 的中点,E 为 B1C 的中点.
(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角; (2)在线段 AA 1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1 DF ,若存在,求出 | AF | ;若不存 在,说明理由.

21.(12 分) 已知双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴 a2 b2

正半轴上,且满足 | OA | 、 | OB | 、 | OF | 成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、第三象限 的渐近线的垂线 l,垂足为 P. (1)求证: PA? OP ? PA? FP ;

(2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D、E,求双曲线 C 的离心率 e 的取 值范围.

22.(14 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c(c ? b ? 1) , f (1) ? 0 ,且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负并加以证明.

参考答案
1. (文)A(理)C 2. (文)A(理)B 3.C 4. (文)D(理)B 5. (文)D (理) C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C

13.33 14.7 15.18 16.只要写出-4c,2c,c(c≠0)中一组即可,如-4,2,1 等 17.

sin 2 x ? 2 sin 2 x cos x ? 2 sin x(cos x ? sin x) ? ? sin 2 x 1 ? tan x cos x ? sin x

π π 9 7 ? ? cos( 2 x ? ) ? ?2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? ?2 ? ?1 ? . 2 4 25 25
18.(1)由 S3 , S9 , S6 成等差数列,得 S3 ? S 6 ? 2S9 , 若 q=1,则 S3 ? S6 ? 9a1 , 2S9 ? 18a1 , 由 a1 ≠0 得

S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,与题意不符,所以 q≠1.
a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) . ? ? 1? q 1? q 1? q
3

由 S3 ? S6 ? 2S9 ,得

整理,得 q3 ? q 6 ? 2q9 ,由 q≠0,1,得 q ? ? (2)由(1)知: a8 ? a2 ? q ?
6

1 . 2

1 1 a2 , a5 ? a2 ? q 3 ? ? a2 4 2

a8 ? a2 ? a5 ? a8 ,所以 a2 , a8 , a5 成等差数列.
2 19.(1)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为 A,摸出两个球共有方法 C5 ? 10 种,
1 其中,两球一白一黑有 C2 ? C31 ? 6 种.∴
1 1 C2 C3 3 ? . C52 5

P( A) ?

(2)法一:记摸出一球,放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为 B,摸出一球得 白球的概率为

2 3 ? 0.4 ,摸出一球得黑球的概率为 ? 0.6 , 5 5

∴ P(B)=0.4× 0.6+0.6+× 0.4=0.48 法二:“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”. ∴

P( B) ?

2 ? 3 ? 3 ? 2 12 ? 5? 5 25
1

∴ “有放回摸两次,颜色不同”的概率为 P 2 (1) ? C2 ? p ? (1 ? p) ? 0.48 . 20.(甲)(1)∵ △ AMC1 为以点 M 为直角顶点的等腰直角 三角形,∴

AM ? C1M 且 AM ? C1 M .


∵ 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ∴

CC1 ? 底面 ABC.

C1M 在底面内的射影为 CM,AM⊥CM.

∵ 底面 ABC 为边长为 a 的正三角形, ∴ 点 M 为 BC 边的中点. (2)过点 C 作 CH⊥ MC1 ,由(1)知 AM⊥ C1M 且 AM⊥CM,

∴ AM⊥平面 C1CM

∵ CH 在平面 C1CM 内, ∴ CH⊥AM,

∴ CH⊥平面 C1 AM ,由(1)知, AM ? CM ?

1 3 a , CM ? a 且 CC1 ? BC . 2 2

2 1 a? a C C ? CM 3 2 1 2 2 2 ? 6 a. ? 2 ∴ CC1 ? a ? a ? a . ∴ CH ? 1 C1M 6 4 4 2 3 a 2
∴ 点 C 到平面 AMC1 的距离为底面边长为

6 a. 6

(3)过点 C 作 CI⊥ AC1 于 I,连 HI, ∵ CH⊥平面 C1 AM , ∴ HI 为 CI 在平面 C1 AM 内的射影, ∴ HI⊥ AC1 ,∠CIH 是二面角 M ? AC1 ? C 的平面角. 在直角三角形 ACC1 中,

6 2 a a?a 2 CH CC1 ? AC 3 2 ? 6 ? , CI ? ? ? a , sin ?CIH ? CI 2 AC1 3 3 2 2 a2 ? ( a) 3 2
∴ ∠CIH=45° , ∴ 二面角 M ? AC1 ? C 的大小为 45°

(乙)(1)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵ AC=2a,∠ABC=90° , ∴

AB ? BC ? 2a .

∴ B(0,0,0),C(0, 2a ,0),A( 2a ,0,0),

A1 ( 2a ,0,3a), C1 (0, 2a ,3a), B1 (0,0,3a).


D(

3 2 2 2 a, a , 3a ) , E (0 , a , a) , 2 2 2 2 3 2 a, ). 2 2



CA1 ? ( 2a , ? 2a , 3a ) , BE ? (0 ,



| CA1 |? 13a , | BE | ?
cos? ?| CA1 ? BE |?

9 7 11 a , ∴ CA1 ? BE ? 0 ? a 2 ? a 2 ? a 2 , 2 2 2



CA1 ? CA1

7 143 7 143 . 故 BE 与 A1C 所成的角为 arccos . 143 143

(2)假设存在点 F,要使 CF⊥平面 B1DF ,只要 CF ? B1F 且 CF ? B1D . 不妨设 AF=b,则 F( 2 ,0,b), CF ? ( 2a , ? 2a , b) , B1F ? ( 2a ,0,

b ? 3a) , B1D ? (
恒成立.

2 2 a, a ,0) , ∵ CF ? B1D ? a2 ? a2 ? 0 , ∴ CF ? B1D 2 2

B1F ? CF ? 2a2 ? b(b ? 3a) ? 0 ? b ? a 或 b ? 2a ,
故当 | AF |? a 或 2a 时, CF ? 平面 B1DF .

a ? y ? ? ( x ? c ), ? a ab a2 ? b 21.(1)法一:l: y ? ? ( x ? c ) , ? 解得 P( , ). b c c ? y ? b x, ? a ?


| OA | 、 | OB | 、 | OF | 成等比数列,
A( a2 , 0) c




PA ? (0 , ?

ab ) c

OP ? (

ab a 2 ab b2 , ) , FP ? (? , ), c c c c



a 2b 2 a 2b 2 PA? OP ? ? 2 , PA ? FP ? ? 2 . ∴ c c
ab a2 , ). c c

PA? OP ? PA? FP

法二:同上得 P(

∴ PA⊥x 轴. PA? OP ? PA? FP ? PA? OF ? 0 . ∴

PA? OP ? PA? FP .

a ? a4 ? y ? ? ( x ? c), 2 2 2 2 2 (2) ? ∴ b x ? 2 ( x ? c) ? a b . b b ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2, ?
(b 2 ? a4 2 a4 a 4c 2 ) x ? 2 cx ? ( ? a 2b 2 ) ? 0 , ∵ b2 b2 b2



a 4c 2 ? ( 2 ? a 2b 2 ) b x1 ? x2 ? ? 0, a4 2 b ? 2 b



b 4 ? a 4 ,即

b2 ? a 2 , c2 ? a2 ? a2 . ∴

e 2 ? 2 ,即

e? 2.

22.(1) f (1) ? 0 ? 1 ? 2b ? c ? 0 ? b ? ? 故c ? ?
2

c ?1 1 ? 1 ? ?3 ? c ? ? 2 3

c ?1 . 又 c<b<1, 2

方程 f(x)+1=0 有实根,

即 x ? 2bx ? c ? 1 ? 0 有实根,故△= 4b2 ? 4(c ? 1) ? 0 即 (c ? 1) 2 ? 4(c ? 1) ? 0 ? c ? 3 或 c ? ?1 又 c<b<1,得-3<c≤-1,由 b ? ?

c ?1 知b ? 0 . 2

(2) f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c ? x 2 ? (c ? 1) x ? c ? ( x ? c)(x ?1) , f (m) ? ?1 ? 0 . ∴ c<m<1 ∴ ∴ ∴

c ? 4 ? m ? 4 ? ?3 ? c .

f (m ? 4) ? (m ? 4 ? c)(m ? 4 ? 1) ? 0 . f (m ? 4) 的符号为正.



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