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高2015届高二数学练习题



高 2015 届高二数学练习题
一.选择题: 1.复数 z ?

3?i 等于 1? i
B. 1 ? 2i C. 2 ? i

( C ) D. 2 ? i ( B )

A. 1 ? 2i

2.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则

2b

? 3i 的值为 1 ? bi
C. 5

A. 2 3.已知函数 y ? A. y ?
/

B. 5

D. 15 ( B )

x ? 1 ,则它的导函数是
1 x ?1 2
B. y / ?

x ?1 2( x ? 1) x ?1 2( x ? 1)

C. y ?
/

2 x ?1 x ?1
2

D. y / ? ?

4、抛物线 y ? ? x 的焦点坐标为( C A、 ? 0, ?

) C、 ? 0, ?

? ?

1? 4?

B、 ? , 0 ?

?1 ?4

? ?

? ?

1? ? 4?

D、 ? ? , 0 ?

? 1 ? 4

? ?

5、设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,若双曲线 C 上的动点到 F1 , F2 的距离之差的 132 122
( D )

绝对值是 8 ,则双曲线的方程是

x2 y2 A、 2 ? 2 ? 1 13 5
x2 y 2 C、 2 ? 2 ? 1 3 4
6、曲线

x2 y 2 B、 2 ? 2 ? 1 13 12 x2 y 2 D、 2 ? 2 ? 1 4 3
( B ) D、离心率相等

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1? k ? 9 ? 的 25 9 25 ? k 9 ? k
B、短轴相等

A、长轴相等

C、焦距相等

x2 y 2 7、如图,已知 F1,F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上, a b
线段 PF2 与圆 x ? y ? b 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,
2 2 2

则椭圆 C 的离心率为( C

)

A、

2 3

B、

3 3

C、

5 3

D、

2 3
( D )

8.函数 y ?

2( x ? a) 的图象如右图所示,则 ( x ? a)2 ? b A. a ? (0,1), b ? (0,1) B. a ? (0,1), b ? (1, ??)
C. a ? (?1,0), b ? (1, ??) D. a ? (?1,0), b ? (0,1)

9、已知向量 a ? ? x, y ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,其中 x, y, ? ? R ,若 a ? 4 b ,则 a ? b ? ? 成
2

立的一个必要而不充分条件是( D ) A 、 ?3 ? ? ? 3 C、 ? ? 3或? ? ?3 B、 ?1 ? ? ? 1 D、 ? ? 1或? ? ?1

10.某人制定了一项旅游计划,从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览。如果 A、B 为必 选城市,并且在游览过程中必须按先 A 后 B 的次序经过 A、B 两城市(A、B 两城 市可以不相邻) ,则有不同的游览线路 A.120 种
2 3 5 3 解: 1 . 2 C 2 C5 A 5 ? 600

( D C.480 种



B.240 种

D.600 种

11.有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次运 两个.若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个集 装箱分配给这 3 台卡车运送,则不同的分配方案的种数为 ( D ) A.168 B.84 C.56 D.42 二、填空题: 12.二项式 (1 ?

1 10 1 ) 的展开式中含 5 的项的系数是 2x x
10

.?

63 8

13.在 (1 ? x) 6 (1 ? x ? x 2 )的展开式中 , x 2的系数为

14.一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实圆,○表示空心圆) : ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆,那么在前 2003 个圆中,有 圆.61
3 2 2 15.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1(k ? 0) ,若 f ( x) 的单调减区间是 (0,4) ,

个空心

则在曲线 y ? f ( x) 的切线中,斜率最小的切线方程是_________________.

12 x ? y ? 8 ? 0
16.在杨辉三角的斜线中, C0 0
0 C1

C1 1 C1 2 C2 2
2 C3

C0 2
0 C3

C1 3 C1 4 C2 4

C3 3 C3 4 C4 4

C0 4

… … … …
0 1 2 0 1 每条斜线上的数字之和构造数列 C 0 C1 , C0 C3 + C1 C0 …, 2 + C1 , 2 , 4+ C3 + C2 , 0,

这个数列的第 n 项为 答案:

(用 n 的表达式表示) 。

1 5

[(

1? 5 n 1? 5 n ) -( )] 2 2

3 2 17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, x ? ?? 2,2?表示过原点的曲线,且在 x ? ?1 处的切

线的倾斜角均为

3 ? ,有以下命题: 4

3 ① f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? 4 x, x ? ?? 2,2?;

② f ( x) 的极值点有且只有一个; ③ f ( x) 的最大值与最小值之和等于零; 其中正确命题的序号为_ 三、解答题: 4 1 3 n + x2) 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x . ①③

18. (12 分)已知(
3

(1)含 x 的项;

(2)系数最大的项.
n ?2 2 18.解: (1)由题设知 Cn ? 45,即Cn ? 45,?n ? 10.
1 4 10 ? r 2 3 r 11r ?30 12

Tr ?1 ? C ( x )
r 10

?

? (x ) ? C x
r 10

,令

11r ? 30 6 3 ? 3, 得r ? 6, 含x3的项为T7 ? C10 x 12
55?30 12 25 12

4 3 ? C10 x ? 210 x3 .

(2)系数最大的项为中间项,即 T6 ? C x
5 10

? 252x .

19、 (本小题满分 12 分) 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 的 一 个 椭 圆 与 一 个 双 曲 线 有 共 同 的 焦 点 F1 , F2 , 且

F1F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4 ,离心率之比为 3: 7
(1)求这两条曲线的方程; (2)若 P 为这两曲线的一个焦点,求 cos ?F 1PF 2 的值。

4 4 20.已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c ( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a, b, c 为

常数. (1)求 a , b 的值;

(2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 2c 2 ? 0 恒成立,求 c 的取值范围. 20.解: (1) f / ( x) ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) , f ?(1) ? 0 , ∴

a ? 4b ? 0 ,又 f (1) ? ?3 ? c ,
………………5 分

∴ a ? 12, b ? ?3 ; (2)

f / ( x) ? 48x 3 ln x ( x ? 0)

∴由 f / ( x) ? 0 得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; ∴ f ( x) 单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1,??) (3)由(2)可知, x ? 1 时, f ( x) 取极小值也是最小值 f (1) ? ?3 ? c , 依题意,只需 ? 3 ? c ? 2c ? 0 ,解得 c ?
2

……9 分

3 或 c ? ?1 2

………………10 分

21、 如图所示,椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 F ?1,0 ? ,且过点 ? 2, 0 ? a 2 b2

(2)已知 A, B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 N ,直 线 AF 与 BN 交于点 M ①求证:点 M 恒在椭圆 C 上 ②求 ?AMN 面积的最大值。

3 22.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? )( x ? a) . 2
(I)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (II)若 f ?(?1) ? 0 , (ⅰ ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (ⅱ ) 证明对任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

5 恒成立 16

3 3 3 22.解:(Ⅰ ) ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? . 2 2 2 ∵ 函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解.

3 ∴D ? 4a2 ? 4 ? 3 ? ? 0 ,…………………4 分 2
因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? (Ⅱ ) (ⅰ )∵ f ?(?1) ? 0 ,∴3 ? 2a ? ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ?
3 2 ) 2 (

∴a2 ?

9 . 2

3 2 , ? ?) . 2

3 9 ? 0 ,即 a ? . 2 4 3 1 ? 3( x ? )( x ? 1) . 2 2 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 2

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 2

1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? 1] , [? , ? ?) ; 2 1 单调减区间为 [?1, ? ] . 2 (ⅱ )由(ⅰ )的结论可知, 1 25 1 49 f ( x) 在 [?1, ? ] 上的最大值为 f (?1) ? ,最小值为 f (? ) ? ; 2 8 2 16

1 27 1 49 f ( x) 在 [? , 0] 上的的最大值为 f (0) ? ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 2
∴ f ( x) 在 [?1, 0] 上的的最大值为 f (0) ?

27 1 49 ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 27 49 5 ? ? . 8 16 16

因此,任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?



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