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高中数学中的恒成立问题(-课题研究)



证明恒成立问题是中学数学教学中经常遇到的题型,也是令很多同学头疼的问题.在各章知识 中虽然经常遇到,但同学们总是把握不好,考试时这种题的得分率也不高,其原因是没有把握问题的实质 和解决问题的方法.如果我们能够掌握这一常见的知识组块,无论以什么载体出现我们都会轻松应对,下 面笔者就两个常见类型进行归纳总结. 含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型,也是高考命 题的热点问题。这

类问题涉及的知识面广,要求有较高的解题技巧,因此它又是学习中的难点问题。下面 谈谈这类问题的求解策略,供大家参考。一、分离参数——最值法当问题中主元与参变元能分离时,可进 行分离参数,构造辅
高中数学中的恒成立问题,涉及的知识面广,综合性强。覆盖知识点多,方法多种多样,是近几年数学高考考查的热点、 现就这类问题的解题方法和类型做一总结供同学们参考。

参考文献: 1. 数学教学通讯;2003 年 10 期 2. 丽水学院学报;2010 年 02 期 3. 数理化学习(高中版);2005 年 15 期 4. 广西教育;2005 年 29 期

高中数学小课题
——高中数学中的恒成立问题
课题论点:恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。下面从函数定义域、不

等式、立体几何、 数列四大类中恒成立题型作具体剖析,以提高我们分析数学问题解决 数学理论和实际应用题的能力;实际上有的恒成立是对所有实数成立,而有的针对一定义 范围内都成立或者某种限制条件下都成立; 解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问 题。

数学课本中的公理、定理、推论、公式等都可作为恒成立的结论:一次 函数图象经过了一二三象限的则不会过第四象限,过了一二四象限的图象则 不会过第三象限;二次函数图象开口向下时,则函数值在顶点处取最大值, 开口向上时,在对称轴的右面呈递增的特性;奇函数都有 f(0)=0 成立(f(x) 在 x=0 有定义) ;│f(x)│≥0 在定义域内恒成立;指数函数的值恒为正;周 期函数从任一起点的一个周期内的图象截下沿 X 轴依次存放则成整个定义域 内的图象;等比数列相邻相同项数的和与积都成等比数列;立体几何图形中 的面积和体积不变问题等等。具体来说有下面的恒成立题型。 一、定义域中恒成立 案例 1 如若函数 f(x)= 2x ?2ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围是什么? (2007 年高考)
2

解:∵f(x)=

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 x∈R,∴ 2

x ?2 ax ?a

2

≥1 恒成立,即

x2-2ax-a≥0 恒成立,∴△≤0 即(2a)2-4×(-a) ≤0,解得-1≤a≤0.
案例 2 已知:a > 1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],

都有 y∈ [a,a2] 满足方程 loga x+loga y=c,求 a 的取值的集合为什么? (2008 年高考) 解:∵loga x+loga y=c,∴y= ∵a > 1, ∴y=
ac . x

ac 在 x∈[a,2a]上递减, x

c 1 ac a c-1 ∴ymax= =a ,ymin= = ac-1, 2a 2 a

∵loga 2+2≤c≤3 时,而 c 值只有 1 个, ∴c=3,即 loga 2=1,有 a=2. ∴a 的取值的集合为:{2} 注:对于定义域问题,要注重各个基本函数的定义域条件,实际上是比 较基础的,主要是认出题目反映出来的是哪个基本函数。如果题目与其它知 识交叉运用,则难度会增大;同时重视多个条件的限制。 二.不等式中恒成立 恒成立往往是在某个范围内成立,所以经常以不等式的形式出现。 案例 3 集合 A={t|t2-4≤0},对于满足集合 A 的所有实数 t,则使不等 式 x2+tx-t>2x-1 恒成立的 x 的取值范围为什么?(2010 年模拟)

2

解:∵A={t|t2-4≤0},

∴A=[-2,2],

∵(x-1)t+x2-2x+1>0 对 t∈A 恒成立, ∴f(t)=(x-1)t+x2-2x+1 对 t∈[-2,2]恒有 f(t)>0,

? f (?2) ? 0 , ∴? ? f (2) ? 0



2 ?x ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 ? ,解得 ? 2 ? 1 ? 0 ?x ? ? x

? 3或x ? 1 ? 1或x ? ?1

,

∴x 的取值范围为:x > 3 或 x < -1 案例 4

x?1 设 f(x)= ( ) x
2

2

,若 x≥2 时,有不等式(x-1)f-1(x)>a(a- x )

恒成立。求实数 a 的取值范围。

x?1 (x≥2)反函数存在, 解:∵f(x)= ( ) x x?1 (x≥2),则有:y>1 ,x= 1 ,∴f ∴取 y= ( ) y ?1 x
2

-1

(x)=

1 x ?1

(x>1)。

∵(x-1)f-1(x) > a(a- x )恒成立, ∴(x-1)
1 x ?1

> a(a- x ),化简得(a+1) x >a2-1 恒成立。

∵x≥2 , 有 a+1≠0(若 a+1=0,则 0× x >0 不成立) , ∴下面分 a+1 > 0 与 a+1 < 0 讨论: ①当 a+1>0 时,不等式可化为: x >a-1 对 x≥2 恒成立, ∴?
? a ?1 ? 0 ?a ? 1 ? 2

有:-1< a < 2 +1

②当 a+1<0 时,不等式可化为: x <a-1 对 x≥2 恒成立, ∴a <-1 ,有 a-1 < -2.而 x →+∞,∴ x < a-1 不成立,即 a∈φ 综上①②得:-1<a< 2 +1 说明:对于不等式恒成立的题型,往往化为形如 a>f(x)或 a≥f(x)在 x

3

的某个范围都成立,只需在这个 x 范围内取 f(x)的最大值即可;若为 a<f(x)

? f (?2) ? 0 ,这 或者 a≤f(x),则取 f(x)的最小值就是。 而前面例 1 为什么会有 ? f (2) ? 0 ?
是由于 t∈ [-2,2] , 需要函数 f(t)既在增函数又在减函数时的两头都要成立, 所以有两个不等式。在以后的高考中不等式恒成立的题型将会展现。 案例 5 在实数集 R 上定义运算*: x*y=x·(1-y),若(x-a)*(x+a)<1

对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是什么? (2010 年模拟) 解:∵x * y = x·(1-y) ,(x-a)*(x+a) < 1, ∴(x-a)(1-x-a) < 1 对 x∈R 都成立,x2 – x - a2 + a + 1 >0 对 x ∈R 恒成立, ∴Δ < 0,即(-1)2-4(-a2+a+1)<0, ∴4a2 - 4a - 3 < 0,解得:- < a <
1 2 3 2

注:这是一道新定义关系的恒成立题型,是关于二次不等式恒大于或小 于零的题,都与 Δ 恒为负或恒为正相关,当然与抛物线的开口方向有关,难 度较小;但与新定义关系联合时难度加大,这也是创新性社会下高考数学的 一个方向,在平时的教学中要多设计多交流。 三.立体几何中恒成立 高中数学中立体几何内容涉及到线与线、线与面、面与面的位置关系, 主要是垂直和平行关系的应用。其中不泛有趣味的几何问题,如:如图示, 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H、N 分别是棱 C1C、C1D1、D1D、DC、BC 的的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 只需满足条件 就有 MN∥平面 B1BDD1 解:连结 FH、HN,则 FH∥DD1,HN∥BD, 时,

4

∴FH∥平面 B1BDD1,HN∥平面 B1BDD1,∴平面 FHN∥平面 B1BDD1,∴当 M 在线段 FH 上时, MN ? 平面 FHN, ∴MN∥平面 B1BDD1.即点 M 在线段 FH 上时, 就有 MN∥平面 B1BDD1 案例 6 已知:ΔBCD 中,∠BCD=900, BC=CD=1, AB⊥平面 BCD,∠ADB

=600,点 E、F 分别在线段 AC、AD 上运动,且

AE AF ? =λ(0<λ<1) AC AD

求证:在 0<λ<1 上,对λ取任何值都有:平面 BEF⊥平面 ABC 证明:∵AB⊥平面 BCD,而 CD

?

面 BCD, ∴

AB⊥CD, ∵∠BCD=900, 即 BC⊥CD, 而 AB∩BC=B, ∴ CD⊥平面 ABC ∵ ……①

AE AF ? =λ(0<λ<1) AC AD

∴ EF∥CD

……②

由①②得:EF⊥平面 ABC,而 EF

?

面 BEF

∴0<λ<1 对λ取任何值都有:平面 BEF⊥平面 ABC。 说明:对于线与面的平行,主要是直线与平面无公共点,其中一个判定 方法是:如果一条直线在某个平面内,并且这个平面与另外的平面平行,当 然有这条直线与另外这个平面无公共点即平行, 第一例就是应用此判定方法。 第二例用到直线与平面垂直, 那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。 实际上,这儿过直线 CD 或 EF 的任一平面都与平面 ABC 垂直。 四.数列中的恒成立 等差数列和等比数列中的规律不少,其中等比数列的规律更显奇妙。 案例 7 等比数列{an}中,判定{an}中相邻的连续 k 项之和所构成

的新数列是什么数列?那么相邻的连续 k 项之积所构成的新数列是什么数列 呢?
5

解:取等比数列{an}中前 n 项的和为 Sn 1 . 相 邻 的 连 续 k 项 之 和 所 构 成 的 新 数 列 为 :

Sk ,S2k-Sk ,S3k-S2k,S4k-S3k ,…… (1) 等比数列公比 q≠±1 时, 新数列 {Tn} 为:
a1 q (1 ? q ) 1? q
2k k

a1 (1 ? q ) 1? q

k

,

a1 q (1 ? q ) 1? q

k

k

,

,

a1 q (1 ? q ) 1? q

3k

k

, ……∴ T n ?1 ? q 为常数,即新数列{Tn}为等
k

T

n

比数列; (2)若 q=1 时,则连续的 k 项之和都是相等的且不为零,此时

新数列为等比数列; (3)若 q=-1,且 k 为偶数时,有:
1? q
k

1? q

=0

∴ 新数列各项为零,此时为等差数列,而不是等比数列。 2.相邻的连续 k 项之积所构成的新数列为: a1…ak ,ak+1…a2k ,a2k+1…

a3k , a3k+1…a4k ,……
∴ 即为: a1
k

q

k (1? k ) ?k 2

, a1
n ?1 n

k

q

k (1? 3 k ) ?k 2

, a1

k

q

k (1? 5 k ) ?k 2

, a1

k

q

k (1? 7 k ) ?k 2



T ∴新数列{Tn}有: T

?q

k

2

为常数

即新数列{Tn}为等比数列。 说明:数列是高考中又一难点,对其中恒成立的结论依靠等差数列和等 比列的基本性质,如通项和前 n 项和的公式;只要用这两个特殊数列进行推 导,会发现很多有趣的结论,此处就是一弹琵琶曲。

6



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