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三角函数总结大全(整理好的)



三角函数 (一)任意角的三角函数及诱导公式
1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA ,绕 着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边, 射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形

成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条 射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.象限角、终边相同的角、区间角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这 个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α 具有同终边的所有角,它们彼此相差 2kπ (k∈Z),即β ∈{β |β =2kπ +α ,k∈Z}, 根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α ∈{α |

? 5? ? 5? ≤α ≤ }=[ , ]。 6 6 6 6

3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π ,-2π 等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负 角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径。 r
?

角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad 。弧度与角度互换公式:1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ;
?

1 1 2 1°= ? ≈0.01745 (rad) 。弧长公式:l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) 扇形面积公式:S ? l r ? | ? | r 。 ;
4 三角函数的定义:以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个异于原点
2 2 的点 P( x, y) ,点 P 到原点的距离记为 r (r ? | x | ? | y | ?

180

2

2

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

sin ? ?

y x y r x r ; cos ? ? ; tan ? ? ; ( cot ? ? ; sec ? ? ; csc ? ? ) r r x x y y

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利用单位圆定义任意角的三角函数,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ;

?
sin ? cos ? tan ? cot ?

Ⅰ + + + +

Ⅱ + - - -

Ⅲ - - + +

Ⅳ - + - -

y y (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。 x x
5 三角函数的符号: 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们
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可以得知:①正弦值

y 对于第一、二象限为正 r

( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ;

x y 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ;③正切值 对于第一、 r x 三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号)说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。
②余弦值
1

y a角的终 边 P T 6.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方 法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题 时,十分方便。 以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注 意:这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米) 。当角 ? 为第一象限角时,则其终边与 单位圆必有一个交点 P ( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数 的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | 。 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向, 且有负值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM ? x ? cos ? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点, 规定:当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向时, MP 的方向为负 向,且有负值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标。 这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段。 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 ? 的终边交于点 T ,请根据正切函数的定 义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有 tan ? ? AT ?

O

M A

x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角 函数线。 6.同角三角函数关系式 sin2α +cos2α =1(平方关系) ;

y x

sin ? =tanα (商数关系) ; cos ?

tanα cotα =1(倒数关系).

使用这组公式进行变形时,经常把“切”“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换非常重要的方法。 、 几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三式之间可以互相表示)

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ·cosα 推出其余两式。 7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z
? 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ;
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c o s ( 1 ?8? ? ? )?cos? 0
cos(?? ) ? cos ?
?
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诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
?

诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ?
? ?

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2

-? sin cos -sin ? cos ?

? ??
sin ? -cos ?
?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数) ; (2)记忆方法: “奇变偶不变,符号看象限” ; (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); (4) sin ? x ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?

(二)三角函数的图像与性质
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2.三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数
y ? sin x

定义域
R R

值域
[ ?1,1] [ ?1,1]

周期
2? 2?

y ? cos x

y ? tan x

{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

R

?

3.三角函数的单调区间:

? 3? ? ? ?? ? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) ; 2 2 2 2? 2 2? ? ?
y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?,k? ? ? ? (k ? Z ) ; 2 2

3

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
4.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ,0) ; 2 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。

(其中A ? 0,? ? 0) 5.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ? 称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

2?

?
2

?

,频率是 f ?

? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

6.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
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先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原来的 便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

1

?

倍(ω >0),

1

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移

|? |

?

个单位,

三角函数图象的平移和伸缩 函数 化.

, y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与函数 y ? sin x 的图象之间可以通过变化 A ?,?,k 来相互转

A, ? 影响图象的形状, ?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称振幅变换,由 ? 引起的变换称

周期变换,它们都是伸缩变换;由 ? 引起的变换称相位变换,由 k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换.既 可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩

? y ? sin x 的图象 ??????? 得 y ? sin( x ? ? ) 平移 ? 个单位长度
y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 得 y ? sin(? x ? ? ) 1 到原来的 (纵坐标不变)
?
横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

向左(? >0)或向右(? ?0)

? y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 得 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

y ? A sin(? x ? ? )

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? 得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 图象 ? y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 平移 k 个单位长度
先伸缩后平移

? y ? sin x 的图象 ????????? 得 y ? A sin x 为原来的A倍(横坐标不变)
4

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1)

? y ? A sin x 的图象 ????????? 得 y ? A sin(? x) 1
到原来的 (纵坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

?

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? y ? A sin x(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x) 的图象 得 平移 个单位

?

? y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象 ??????? 得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 图象 平移 k 个单位长度
π? ? 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? π? π ? 解: (方法一)①把 y ? sin x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得 y ? sin ? x ? ? 的图象;②将所得图象的横坐标缩 4? 4 ? π? π? 1 ? ? 小到原来的 ,得 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象;④ 4? 4? 2 ? ? π? ? 最后把所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? (方法二)①把 y ? sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin x 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

例1



π? 1 π ? ,得 y ? 2sin 2 x 的图象;③将所得图象沿 x 轴向左平移 个单位长度得 y ? 2sin 2 ? x ? ? 的图象;④最后把图象沿 8? 2 8 ? π? ? y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

π 个单位长度得到的函数图象的解析式是 8 π? π? π? 1 ? ? ? y ? sin 2 ? x ? ? 而不是 y ? sin ? 2 x ? ? ,把 y ? sin ? x ? ? 的图象的横坐标缩小到原来的 ,得到的函数图象的解析式 8? 8? 4? 2 ? ? ? π? π? ? ? 是 y ? sin ? 2 x ? ? 而不是 y ? sin 2 ? x ? ? . 4? 4? ? ? 对于复杂的变换,可引进参数求解. π? ? 例 2 将 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? ? 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. π? π? π? π? ?π ? ? ? ? ? o 解:y ? sin 2 x ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? , y ? cs 2? x ? ? 中以 x ? a 代 x ,y ? cos ? 2( x ? a ) ? ? ? cos ? 2 x ? 2a ? ? . 在 2 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ?
说明:无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y ? sin 2 x 的图象向左平移

π π π ? 2x ? ,得 a ? ? . 2 4 8 π? π ? 所以将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? 8 ? 5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式:
根据题意,有 2x ? 2a ? 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-

? ,0)作为突破口,要从图象 ?
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的升降情况找准第一个零点的位置。 .. 8.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性 三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 9.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定 义法。 10.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图:
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5

五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、

π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图。 2 2

(三)三角恒等变换
1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;tan(? ? ? ) ?
2.二倍角公式

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?
2 t a? n 。 2 1 ? t a n?

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ; cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;

tan? ? 2

3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2) 化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽 量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

(2)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , 其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, ?? cos

a a ? b2
2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求 得角。 5.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等 式两端化“异”为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进 行证明。

(四)解三角形
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB= A 斜边 B

c b

a 边
C



邻边

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。即:

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C

(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:
6

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)S△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)S△= 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元 素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外 接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角 三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C
b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换 因 为 在 △ABC 中 , A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。

7



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