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2008年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)



2008 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
一、选择题:
1.若纯虚数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? bi ,( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? A. ? 2 B.2 C. ? 8 D.8 2.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 A. ?p : ?x ? R, x ? sin x C. ?p : ?x

? R, x ? sin x 3.函数 y ? 2sin ? 2 x ? B. ?p : ?x ? R, x ? sin x D. ?p : ?x ? R, x ? sin x

2008.5

? ?

??

? 的图象 6?
B.关于 y 轴成轴对称 D.关于直线 x ?

A.关于原点成中心对称 C.关于点 (

?

12

, 0) 成中心对称

?
12

成轴对称

4.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中 a ? b ) ,若 f (x) 的图象 如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是

y

?1 o

1

x

y

y

y

y

1

1

1

x o

1

o

x

o

x

o

x

A.

B.

C.

D. 开始 输入 a , b , c

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 5.设 O 为坐标原点, A(1,1) ,若点 B( x, y) 满足 ?1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 2. ?
则 OA? OB 取得最小值时,点 B 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.无数个

a?b

N
a?b

Y

6.如图所示的算法中,令 a ? tan ? , b ? sin ? , c ? cos ? ,

a?c
Y
输出 a 结束

N

3? ? ? , ? ? 0, ? ? , ? ? } 中, 4 4 4 2 给 ? 取一个值,输出的结果是 sin ? ,则 ? 值所在范围是 ? ? ? ? ? 3? ) A. ( ? , 0) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , 4 4 4 2 2 4
若在集合 {?

?

?

?? ?

a ?c

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7.如图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点.若它停在 奇数点上,则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上,则跳 . 两个点.该蛙从 5 这点跳起,经 2008 次跳后它将停在的点是 . A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
4

1

?

5?

?2

?

?3

8.某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位: kg )数据进行整理后分成六组,并绘制 频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为 0.16 、 0.07 ,第一、第 二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列,且第三小组的频 数为 100 ,则该校高三年级的男生总数为 A. 480 B. 440 C. 420 D. 400
频率 组距

二、填空题:
9.计算:

?

2

?2

(sin x ? 2)dx =


体重(kg)

10.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a4 ? 1 , S5 ? 10 , 则 S n 取得最大值时, n 的值为
n

50

55

60

65 70

75 80


n

11.已知 (1 ? x) 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 32,则 (1 ? x ) 的展开式中系数最小的项 = .

12.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线 为直角三角形,则双曲线的离心率是

x2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若 ?FAB a2


13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos(? ? 现以极点为原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则圆 C 的半径是 标是 .

?
6

).
,圆心的直角坐

14. (不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 1 | ,则 f ( x ) 的最小值是 则 x 的取值范围是 .

,若 f ( x) ? 5 ,

C
15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 EB 是半圆 O 的直径, A

BC ? AC 于 C , 是 BE 延长线上一点,AC 切半圆 O 于点 D ,
若 BC ? 6 , AC ? 8 ,则 AE ? , AD ? .

D

A

E

· O

B

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三、解答题:
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A ?

?
4

, cos B ?

10 . (Ⅰ)求 cos C ; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 CA? CB 的值. 10

17. (本小题满分 12 分)某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的 趣味性, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行, 每位选手最多有 5 次选题答题的机会, 选手累计答对 3 题 或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则 被淘汰.已知选手甲答题的正确率为

2 . (Ⅰ)求选手甲可进入决赛的概率; 3

(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分)

? 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,AB // CD , DAB ? 60? ,AB ? AD ? 2CD ,
侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 ?PAD 为等腰直角三角形, ?APD ? 90? , M 为 AP 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? PB ; (Ⅱ)求证: DM // 平面 PCB ; (Ⅲ)求二面角 A ? BC ? P 的正切值. M D C P

A

B

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19. (本小题满分 14 分) 若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x ) 和 g ( x) 对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f ( x) ? kx ? b 和 则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x ) 和 g ( x) 的 “隔离直线” 已知 h( x) ? x2 , ( x) ? 2e ln x (e . g ( x) ? kx ? b , ? 为自然对数的底数). (Ⅰ)求 F ( x) ? h( x) ? ? ( x) 的极值; (Ⅱ) 函数 h( x) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在, 求出此隔离直线方程; 若不存在, 请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? a , a n ?1 ? (Ⅰ)试判断数列 {

(4n ? 6)a n ? 4n ? 10 (n ? N ? ) . 2n ? 1

an ? 2 } 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an . 2n ? 1 1 1 1 1 (Ⅱ) 如果 a ? 1 时, 数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 试求出 S n , 并证明 (n ? 3) . ? ??? ? S3 S 4 S n 10

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆 C 的右准线 上的点 P(2, 3 ) ,满足线段 PF 的中垂线过点 F2 .直线 l : y ? kx ? m 为动直线,且直线 l 与椭圆 C 交于 1 不同的两点 A 、 B . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 C 上存在点 Q ,满足 OA ? OB ? ?OQ ( O 为坐标原点) ,求实数 ? 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 ? 取何值时, ?ABO 的面积最大,并求出这个最大值.

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2008 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案及评分标准
一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 C 3 C 4 A 5 B 6 D 7 A 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分(第 13、14、15 题前空 2 分,后空 3 分),满分 30 分. 9. 8 . 10. 4 或 5 . 11. ?10x3 . 12. 6 .

13. 2 , ( 3, ?1) . 三、解答题

14. 3 , 0 ? x ? 5 .

15.

5 , 2

5 .

16. 【解】 (Ⅰ)? cos B ?

3 10 10 , B ? (0, ? ) ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ? . ??1 分 10 10

? C ? ? ? ( A ? B) ? cos C ? ? cos(

?
4

? B ) ,??3 分? cos C ? ? cos

?
4

cos B ? sin

?
4

sin B

??

2 10 2 3 10 5 .?????6 分 ? ? ? ? 2 10 2 10 5
BC AC ? , sin A sin B ? AC ? BC ? sin B , sin A
??????8 分

(Ⅱ)根据正弦定理得

由 sin B ?

3 10 ,得 AC ? 10

5?

3 10 10 ? 3 ,?10 分? CA ? CB ? CA ? CB ? cosC ? 3 .??12 分 2 2

3 17. 【解】 (Ⅰ) 选手甲答 3 道题可进入决赛的概率为 ( ) ?

2 8 ; ????????1 分 3 27 8 2 2 2 1 2 选手甲答 4 道题可进入决赛的概率为 C 3 ( ) ? ? ? ;?????????3 分 3 3 3 27 1 2 2 16 2 2 2 选手甲答 5 道题可进入决赛的概率为 C 4 ( ) ? ( ) ? ? ; ???????5 分 3 3 3 81 8 8 16 64 ? ∴选手甲可进入决赛的概率 p ? + + . ???????7 分 27 27 81 81 2 2 1 2 1 (Ⅱ)依题意, ? 的可能取值为 3, 4, 5 .则有 p (? ? 3) ? ( ) ? ( ) ? , 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 10 p(? ? 4) ? C32 ( ) ? ? ? C32 ( ) ? ? ? , 3 3 3 3 3 3 27 1 2 1 1 8 2 2 2 2 p(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? , ??????????10 分 3 3 3 3 3 3 27
因此,有

?
p

3
1 3

4

5
8 27
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10 27

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1 10 8 107 26 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? ?3 . ???????????12 分 3 27 27 27 27 18. 【解】 解法一:(Ⅰ)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD . ??1 分 ? PG ? AD . ? PA ? PD , ???????????????2 分 ? AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , P ? ?ABD 是正三角形, BG ? AD . ?????3 分 ? AD ? 平面 PGB . ? AD ? PB . ????????4 分 F M (Ⅱ)取 PB 的中点 F ,联结 MF、CF , C D ? M 、F 分别为 PA、PB 的中点, E 1 G ? MF // AB ,且 MF ? AB . ??????5 分 2 A B ∵四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD 且 AB ? 2CD , ? MF // CD 且 MF ? CD . ???6 分 ∴四边形 CDFM 是平行四边形. ? DM // CF .?8 分 ? CF ? 平面 PCB ,? DM // 平面 PCB .??9 分 (Ⅲ)取 BC 的中点 E ,联结 PE、GE .∵四边形 ABCD 是直角梯形且 AB // CD , ? GE // AB , GE ? BC . ? BC ? 平面 PEG ,? BC ? PE , ? ?PEG 是二面角 A ? BC ? P 的平面角.????11 分设 DC ? a ,则 AB ? AD ? 2a . AB ? CD a ? 2a 3 ? G 、 E 分别为 AD 、 BC 中点,? GE ? ? ? a. 2 2 2 1 ? G 是等腰直角三角形 PAD 斜边的中点,? PG ? AD ? a . ?????13 分 2 PG 2 2 ? tan ?PEG ? ? ,∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 . ??14 分 EG 3 3

? PG ? 底面 ABCD . 解法二:(Ⅰ)同解法 1(Ⅱ) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,又? PG ? AD , ? PG ? BG .? PG ? AD .∴直线 AD、GB、GP 两两互相垂直,故可以分别以直线 AD、GB、GP
为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . ????6 分 设 PG ? a , C ( x, y, z ) ,则可求得 P(0,0, a), A(a,0,0), B(0, 3a,0), D(?a,0,0) ,则

??? ? ??? ? ??? ? GP ? (0,0, a), AB ? (?a, 3a,0), PB ? (0, 3a, ?a) .???7 分
? AB ? 2 DC 且 AB // CD , ??? ? ???? ? AB ? 2DC ,即 (?a, 3a,0) ? 2[(x, y, z) ? (?a,0,0)].

z
P

M C D G A B

3 3 3 3 ? ( x, y, z ) ? (? a, a, 0) ,即 C (? a, a, 0) . 2 2 2 2 ??? ? 3 3 ? BC ? (? a, ? a, 0) . ?????8 分 2 2

x

y

设 n ? ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 PBC 的法向量,则 n ? BC ? 0 且 n ? PB ? 0 .

?

? ??? ?

? ??? ?

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? ? 3 3 3 ? y, ay ? 0, ? ? ax ? ?x ? ? ?? 2 ?? 3 取 y ? 3 ,得 n ? (?1, 3,3) .??9 分 2 ? 3ay ? az ? 0. ? z ? 3 y. ? ? ???? ? a a a a 3 a ? M 是 AP 的中点, ? M ( , 0, ) .? DM ? ( , 0, ) ? (?a, 0, 0) ? ( a, 0, ) . 2 2 2 2 2 2 ???? ? ? ???? ? ? 3 a DM ? n ? ( a, 0, ) ? (?1, 3,3) ? 0 . ? D M ? n . ?10 分 2 2 ? DM ? 平面 PCB ,? DM // 平面 PCB .??11 分 ??? ? (Ⅲ)? PG ? 平面 ABCD ,? GP 是平面 ABCD 的法向量, ???12 分

? ??? ? ? ??? ? n ? GP 3 ? ? cos n, GP ? ? ??? ? . | n | ? | GP | 13
∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为

?13 分? tan n, GP ?

? ??? ?

2 . 3

2 . ???14 分 3

19. 【解】(Ⅰ) ? F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x2 ? 2e ln x ( x ? 0) ,

? F ?( x) ? 2 x ?

2e 2( x ? e )( x ? e ) . ??2 分当 x ? e 时, F ?( x) ? 0 .??3 分 ? x x

? 当 0 ? x ? e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递减;
当x ? ∴当 x ?

e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递增; e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 .
??????????6 分

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知函数 h(x) 和 ? (x) 的图象在 x ? 离直线,则该直线过这个公共点.???7 分

e 处有公共点,因此若存在 h(x) 和 ? (x) 的隔

设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? e ? k e .???8 分 由 h( x) ? kx ? e ? k e ( x ? R) ,可得 x ? kx ? e ? k e ? 0 当 x ? R 时恒成立.
2

? ? ? (k ? 2 e ) 2 , ? 由 ? ? 0 ,得 k ? 2 e .???10 分
下面证明 ? ( x) ? 2 e x ? e 当 x ? 0 时恒成立. 令 G( x) ? ? ( x) ? 2 ex ? e ? 2e ln x ? 2 e x ? e ,则 G ?(x) ? 当x ? 当x ?

2e 2 e( e ?x) , ???11 分 ?2 e ? x x

e 时, G?( x) ? 0 .? 当 0 ? x ? e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递增; e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递减;∴当 x ? e 时, G ( x) 取极大值,其极大值为 0 .

从而 G( x) ? 2e ln x ? 2 ex ? e ? 0 ,即 ? ( x) ? 2 e x ? e( x ? 0) 恒成立.???13 分
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∴函数 h( x) 和 ? ( x) 存在唯一的隔离直线 y ? 2 ex ? e . 解法二: 由(Ⅰ)可知当 x ? 0 时, h( x) ? ? ( x) (当且当 x ?

?????????14 分

e 时取等号) .??7 分

若存在 h( x) 和 ? ( x) 的隔离直线,则存在实常数 k 和 b ,使得

h( x) ? kx ? b ( x ? R) 和 ? ( x) ? kx ? b ( x ? 0) 恒成立,
令x ?

e ,则 e ? k e ? b 且 e ? k e ? b ? k e ? b ? e ,即 b ? e ? k e . ???8 分

后面解题步骤同解法一. 20. 【解】 (Ⅰ)? a n ?1 ? 2 ?

(4n ? 6)a n ? 4n ? 10 (4n ? 6)(a n ? 2) ?2 ? , 2n ? 1 2n ? 1

?

a n ?1 ? 2 (a ? 2) a ?2 ? 2? n . 令 bn ? n ,则 bn?1 ? 2bn .??2 分 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1
a?2 ,? 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 .? 数列 {0} 不是等比数列. 3

? b1 ?

? 当 a ? ?2 时,数列 {

an ? 2 } 不是等比数列.?????????????? 4 分 2n ? 1 an ? 2 } 是等比数列,且公比为 2. 2n ? 1

当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 {

? bn ? b1 ? 2 n?1 ,即

a n ? 2 a ? 2 n ?1 (a ? 2)( 2n ? 1) n ?1 ? ? 2 .解得 a n ? ? 2 ? 2 . ???6 分 3 2n ? 1 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, an ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ,

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n .
令 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 , ?????????①

则 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n , ????② 由①-②: ? Tn ? 3 ? 2(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 3 ? 2 ?

2(1 ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? (1 ? 2n) ? 2 n ? 1 ,?Tn ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,????9 分
0 1 n n 则 S n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)(2 ? 1) .???10 分? 2n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ,

n

0 1 n n ? 当 n ? 3 时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2(n ? 1) ,则 2 n ? 1 ? 2n ? 1.?12 分

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? S n ? (2n ? 1)(2n ? 1) ,则

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) .??13 分 S n (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

因此,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S3 S 4 Sn 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 1
? 1 1 1 1 ( ? )? . ????????????14 分 2 5 2n ? 1 10

21. 【解】 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,依题意有 a2 b2
? b ? 1 .? 所求椭圆方程为

?a2 ?c ? 1, ? ? 2, 解得 ? ?c ?a ? 2 . ?(2c) 2 ? (2 ? c) 2 ? 3. ?
(Ⅱ)由 ?

x2 ? y 2 ? 1 . ?3 分 2

? y ? kx ? m, ?x ? 2 y ? 2
2 2

,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 .

4km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? 设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,则 ? ??5 分 2m 2 ? 2 ?x x ? . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 2m . 1 ? 2k 2

(1)当 m ? 0 时,点 A 、 B 关于原点对称,则 ? ? 0 . (2)当 m ? 0 时,点 A 、 B 不关于原点对称,则 ? ? 0 ,

1 ? ? xQ ? ? ( x1 ? x 2 ), ? 由 OA ? OB ? ?OQ ,得 ? ? y ? 1 ( y ? y ). 2 ? Q ? 1 ?

? 4km ? ? xQ ? ? (1 ? 2k 2 ) , ? 即? 2m ?y ? . Q ? ? (1 ? 2k 2 ) ?

? 点 Q 在椭圆上,? 有 [

? 4km 2 2m ] ? 2[ ]2 ? 2 , 2 2 ? (1 ? 2k ) ? (1 ? 2k )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 化简,得 4m (1 ? 2k ) ? ? (1 ? 2k ) .?1 ? 2k ? 0 ,? 有 4m ? ? (1 ? 2k ) .??① ??7 分

又? ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 8(1 ? 2k ? m ) ,
2 2 2 2 2 2

? 由 ? ? 0 ,得 1 ? 2k 2 ? m 2 .???②

??8 分

2 2 2 2 将①、②两式,得 4m ? ? m .? m ? 0 ,? ? ? 4 ,则 ? 2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .

综合(1)(2)两种情况,得实数 ? 的取值范围是 ? 2 ? ? ? 2 . ??????9 分 、 【注】 此题可根据图形得出当 m ? 0 时 ? ? 0 ,当 A 、 B 两点重合时 ? ? ?2 . 如果学生由此得出 ? 的取值范围是 ? 2 ? ? ? 2 可酌情给分.
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2 (Ⅲ)? AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ,点 O 到直线 AB 的距离 d ?

m 1? k 2



1 1 ? ?AOB 的面积 S ? m x1 ? x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 2
由①有 1 ? 2k ?
2

2 m 1 ? 2k 2 ? m 2 1 ? 2k 2

.? 12 分

4m 2

?

2

,代入上式并化简,得 S ?

2 ?2 ( 4 ? ? 2 ) . 4

? ?2 (4 ? ?2 ) ? 2 ,? S ?

2 . 2

???? 13 分

当且仅当 ?2 ? 4 ? ?2 ,即 ? ? ? 2 时,等号成立.

? 当 ? ? ? 2 时, ?ABO 的面积最大,最大值为

2 .???? 14 分 2

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