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14级高二数学下期半期考试理科试题及答案


成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级半期考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟总分:150 分 命题人:张世永审题人:杜利超
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

1.下列命题是假命题的是() A.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 C.矩形的对角线相等 2.下列命题是真命题的是() A. ?x ? R, x ? 0 C.有的三角形是正三角形
2 B. ?x ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0

B.若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数 D.余弦函数是周期函数

D.每一个四边形都有外接圆

3.直线 l 过原点交椭圆 16x2 ? 25 y 2 ? 400 于 A 、 B 两点,则 AB 的最大值为() A.8 4.方程 B.5 C.4 D.10

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的必要不充分条件是() 2 ? m m ?1

3 A. (??, ? 2) ? (? , ? ?) 2

B. (??, ? 2) ? (?1, ? ?) D. (?2, ? 1)

C. (??, ? 2)

5.焦点在 y 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程是() A. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4x B. x 2 ? 8 y 或 x ? ?8 y D. x 2 ? 4 y 或 x 2 ? ?4 y

6.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h (单位: m )与起跳后的时 间 t (单位: S )存在函数关系 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 ,则运动员在 t ? 1 时的 瞬时速度是()m/s A.11.6 B. ? 3.3 C.10 D. ? 4.9

7.从抛物线 y 2 ? 8x 上各点向 x 轴作垂线段,则垂线段中点的轨迹方程为() A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? 2 x C. y 2 ? x D. y 2 ?
1 x 2

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8.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 x ? A. (? 2 , C. (1,
2)

y 2 ? 4 有两个交点,则 k 范围是()

2)

B. (? 2, ? 1) D. (??, ? 2 ) ? ( 2, ? ?)

9 . 已 知 定 点 F (?a, 0)(a ? 0) , 动 点 P 在 y 轴 上 , M 在 x 轴 上 , N 为 动 点 , 且

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ? PM ?PF ? 0 , PM ? PN ? 0 ,则动点 N 的轨迹为()
A. 抛物线 B.圆 C.双曲线 D.椭圆

10.过点 P(1, 3) 的动直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 交于不同两点 A 、 B ,在线段 AB 上 取一点 Q ,满足 AP ? ?? PB , AQ ? ?QB , ? ? 0 且 ? ? ?1 ,则点 Q 所在的 直线的方程为() A. x ? 3 y ? 3 B. x ? y ? 3 C. x ? y ? 3 D. x ? 3 y ? 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 )

11.双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 144的离心率为. 12. ?a ? 1, “

a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ”的否定是.

13.函数 y ? x ln x 的图象在 x ? e 处的切线方程是. 14. 已知 C (?2, ? 2) ,CA ? CB ,CA 、CB 分别交 x 轴、 y 轴于 A 、B , 则线段 AB 中点 M 的轨迹方程是. 15.已知 F1 , F2 为椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, M 为椭圆上动点,有以下四 4 3

个结论:① MF2 的最大值大于 3;② MF1 ? MF2 的最大值为 4;③若过 F2 作

?F1 MF2 的外角平分线的垂线, 垂足为 N , 则点 N 的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? 4 ;
④若动直线 l 垂直 y 轴, 交此椭圆于 A 、B 两点,P 为 l 上满足 PA ? PB ? 2 的 点,则点 P 的轨迹方程为 以上结论正确的序号为.
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x2 2y2 x2 2y2 ? ? 1或 ? ? 1. 2 3 6 9

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)

16 . 已 知 p : 函 数 y ? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 ) 在 R 上 单 调 递 增 ; q : 曲 线

y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴无交点.
(1)若 ? q 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求 a 的取值范围.

17.函数 f ( x) ? ax3 ? b 的图象与直线 y ? 3x ? 2 相切于点 A(1, f (1)) . (1)求 a 、 b 值; (2)若函数 f (x) 在点 B(?1, f (?1)) 的切线方程为 l ,直线 m ∥ l ,且 m 与抛物线

y 2 ? 2 x 相切,求直线 l 和 m 的方程.

18.双曲线 E 与椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1 有公共焦点,且离心率为 . 2 25 16

(1)求双曲线 E 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 交双曲线 E 于 A 、 B 两点,且 AB ? 4 30 ,求 l 方程.

19.已知抛物线 y ?

1 2 x ,焦点为 F . 4

(1)若直线 y ? ? x ? 4 交抛物线于 A 、 B 两点,求证: OA ? OB ; (2)若直线 l 过 F 交抛物线于 M 、 N 两点,求证: ?MON 为钝角.

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20.如图,在 Rt?ABC 中,?ACB ? 90? , BC ? 4 , AC ? 3 ,一曲线 E 过点 A , 动点 P 在曲线 E 运动,且保持 PC ? PB 的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程;
N (2) 若直线 l 交曲线 E 于 M 、 两点, 曲线 E 与 y 轴正半轴交于 Q 点, ?QMN 且

的重心恰好为 B 点,求线段 MN 中点的坐标; (3)以 V (?6, ? 6) 为圆心的圆与曲线 E 交于 R 、 S 两点,求 RS 中点 T 的轨迹方
A

程.

C

B

21.如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心、 F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分,曲线 C 2 是以 O 为顶点、 F2 为焦点的抛物线的一部分, A 是曲线 C1 和 C 2 的交点且

?AF2 F1 为钝角,我们把由曲线 C1 和曲线 C 2 合成的曲线 C 称为“月蚀圆”.
若 AF1 ? 7 , AF2 ? 5 . (Ⅰ)求曲线 C1 和 C 2 所在的椭圆和抛物线方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴相交的直线 l ,分别与“月蚀圆”依次交于 B 、C 、D 、
E 四点,(1)当直线 l ? x 轴时,求

CD BE

的值:
CD ? HF2 BE ? GF2

(2)当直线 l 不垂直 x 轴时,若 G 为 CD 中点、 H 为 BE 中点,问 定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

是否为

y BA C

F1 O

.

F2 D

x

E
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成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级半期考试数学答题卷(理科)
姓名:班级: / 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第一部分 客观题
题号 答案 1

第二部分 主观题(请用 0.5mm 黑色签字笔作答)
二、【填空题】(25 分) 11. 14. 16、 12. 13. 15.

17、

18、
第 5 页(共 11 页)

19

第 6 页(共 11 页)

20

21

第 7 页(共 11 页)

成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级半期考试数学(理科)试卷(参考答案)
一.选择题 二、填空题 11. 命题人:张世永审题人:杜利超 BCDAD BBCAD 12. ?a ? 1,

5 4

a 2 ? 4a ? 5 ? 0

13. 2 x ? y ? e ? 0

14. x ? y ? 2 ? 0

15.②③
三.解答题

16.解:命题 p : a ? 1 ; 命题 q :由 ? ? (2a ? 3) 2 ? 4 ? 0 ,得
1 5 ? a ? .??4 分 2 2

? 1 5? (1)若 ? q 为真命题,则 q 为假命题, a 的取值范围是 ?a a ? ,或a ? ? .??6 分 2 2? ?
(2)由题意知 p 与 q 中两命题一真一假.
?a ? 1 5 ? 若 p 真 q 假,则 ? 1 5 ,解得 a ? ;??8 分 2 ?a ? 2 或a ? 2 ?
?0 ? a ? 1 1 ? 若 p 假 q 真,则 ? 1 5 ,解得 ? a ? 1 .??10 分 2 ?2 ? a ? 2 ?

? 5? 综上, a 的取值范围是 ?a 0 ? a ? 1, 或a ? ? .??12 分 2? ?
17.解: (1)由已知得 f ?( x) ? 3ax2 ,则 f ?(1) ? 3a ? 3 , ∴ a ? 1. 又点 A 在直线 y ? 3x ? 2 上,得 f (1) ? 5 ,即 A(1, 5) . 代入 f ( x) ? x 3 ? b ,得 5 ? 1 ? b ,则 b ? ?4 .??6 分 (2)由 f ( x) ? x 3 ? 4 ,得 f ?( x) ? 3x 2 , ∴ k ? f ?(?1) ? 3 ,又 B(?1, 3) .
第 8 页(共 11 页)

∴切线 l 方程为 y ? 3 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 6 ? 0 .??9 分 设直线 m 的方程为 y ? 3x ? t ,代人 y 2 ? 2 x 得 3 y 2 ? 2 y ? 2t ? 0 .
1 ∴ ? ? 4 ? 24t ? 0 ,从而 t ? . 6 1 ? 0. ??12 分 6 c 3 18.解: (1)由 c 2 ? 25 ? 16 ? 9 ,得 c ? 3 ,又 e ? ? ,得 a ? 2 , a 2

所以直线 m 的方程为 3 x ? y ?

∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 5. ∴双曲线 E 的方程为 (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,
? x2 y2 ?1 ? ? 由? 4 ,得 x2 ? 8tx ? 4(t 2 ? 5) ? 0 , 5 ?y ? x ?t ?
x2 y 2 ? ? 1 .??6 分 4 5

∴ ? ? 80(t 2 ? 1) ? 0 , 由弦长公式,得 AB ? 4 5 t 2 ? 1 1 ? 12 ? 4 30 , ∴ t 2 ? 1 ? 3 ,则 t ? ? 2 . ∴直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .??12 分
1 2 ? ?y ? x 19.解: (1)由 ? ,得 x 2 ? 4 x ? 16 ? 0 . 4 ? y ? ?x ? 4 ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?4 , x1 x2 ? ?16 . ∴ OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (?x1 ? 4)(?x2 ? 4)

? 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? ?32 ? 16 ? 16 ? 0 ,
∴ OA ? OB .??6 分 (2)设直线 l 方程为 y ? kx ? 1 ,

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1 2 ? ?y ? x 由? ,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 . 4 ? y ? kx ? 1 ?

设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y 4 ) ,则 x3 ? x4 ? 4k , x3 x4 ? ?4 . ∴ OM ? ON ? x3 x4 ? y3 y 4 ? x3 x4 ? (kx3 ? 1)(kx4 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x3 x4 ? k ( x3 ? x4 ) ? 1 ? ?4(1 ? k 2 ) ? 4k 2 ? 1 ? ?3 ? 0 ,

∴ ?MON 为钝角.??12 分 20.解: (1) CB 所在直线为 x 轴,CB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系, P( x, y) . 以 设 ∴ PC ? PB ? AC ? AB ? 3 ? 5 ? 8 ? 4 ? BC , ∴动点 P 轨迹为椭圆, c ? 2 , a ? 4 , b ? 2 3 . ∴曲线 E 的方程为
x2 y2 ? ? 1 .??4 分 16 12
A y

C

O

B

x

(2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,又 Q(0, 2 3) , B(2, 0) .

0 ? x1 ? x 2 ? ?2 ? ? x1 ? x 2 ? 6 3 ? ∴由重心公式得 ? ,则 ? , ? y1 ? y 2 ? ?2 3 ?0 ? 2 3 ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∴ MN 中点为 (3, ? 3) .??8 分 (3)设 R( x3 , y3 ) , S ( x4 , y4 ) , T ( x, y) .
2 2 ? x3 y 3 ? ?1 ? (x ? x ) ? 2x ( y ? y4 ) ? 2 y ? 16 12 ?? 3 由? 2 ,相减化简得 3 4 , 2 16 12 ? x4 ? y 4 ? 1 ? 16 12 ?

3 即 k RS ? y ? ? x ; 4



??10 分

由 VT ? RS ,得 k RS ? kVT ? ?1,即 k RS ?

y?6 ? ?1 . ②??12 分 x?6

由①、②化简得 xy ? 18x ? 24 y ? 0 ,并且满足

x2 y 2 ? ? 1 .??13 分 16 12

第 10 页(共 11 页)

21.解: (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

则 2a ? AF1 ? AF2 ? 7 ? 5 ? 12 ,得 a ? 6 ,??2 分 设 A( x, y) , F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) , 则 ( x ? c)2 ? y 2 ? 72 , ( x ? c)2 ? y 2 ? 52 , 两式相减得 xc ? 6 ,由抛物线定义可知 AF2 ? x ? c ? 5 , 则 c ? 2 , x ? 3或 x ? 2 , c ? 3, 又 ?AF2 F1 为钝角,则 x ? 2 , c ? 3 舍去.??4 分 所以椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 8x .??6 分 36 32
32 , 3

(Ⅱ)(1)当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? 2 ,从而 CD ? 8 , BE ? 所以

CD BE

?

3 :??9 分 4

(2)当直线 l 不垂直 x 轴时,设 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y 2 ) , C( x3 , y3 ) , D( x4 , y 4 ) , 直线 y ? k ( x ? 2) ,代入
x2 y 2 ? ? 1 得: 36 32

y 8( ? 2)2 ? 9 y 2 ? 288 ? 0 ,即 (8 ? 9k 2 ) y2 ? 32ky ? 256k 2 ? 0 , k

则 y1 ? y2 ? ?

256k 2 32k , y1 y2 ? ? , 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

同理,将 y ? k ( x ? 2) 代入 y 2 ? 8x 得: ky 2 ? 8 y ?16k ? 0 ,
8 , y3 y4 ? ?16 , k 1 y3 ? y 4 ? y1 ? y 2 CD ? HF2 2 所以 ? 1 BE ? GF2 y1 ? y 2 ? y3 ? y 4 2

则 y3 ? y4 ?

?

( y3 ? y 4 ) 2 ? 4 y3 y 4 ( y1 ? y 2 ) 2 1 ? ? 为定值.??14 分 2 2 ( y3 ? y 4 ) ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 3
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