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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第12章选修4-5第2讲回归教材题源探究



一、选择题 1? 1 1.(选修 4-5 P37 习题 T7 改编)设 a,b∈R+,则? ?a+b?(2b+2a)的最小值为( 3 A. 2 7 C. 2 5 B. 2 9 D. 2 ) 1?? 1? 解析:选 D.∵a,b∈R+,∴? ?a+b??2b+2a? 5 1 5 = +2ab+ ≥ +2 2 2ab 2 二、填空题 1 ?? 12-1?的最小值为 2-1 2.(选

修 4-5 P29 习题 T4 改编)设 x,y∈R+,且 x+y=1.则? ?x ?? y ? ________. 解析:∵x、y∈R+,且 x+y=1, ∴x2+2xy+y2=1. 1 ?? 1 ? ∴? ?x2-1??y2-1? =? x2+2xy+y2 ??x2+2xy+y2 ? -1 -1 x2 y2 ? ?? ? 1 9 1 2ab· = (当且仅当 2ab= 时,“=”成立),故选 D. 2ab 2 2ab 2y y2??2x x2? =? ? x +x2?? y +y2? 2x 2y =5+ + ≥5+2 y x 2x 2y 2x 2y 1 · =9(当且仅当 = ,即 x=y= 时,“=”成立). y x y x 2 1 ?? 12-1?的最小值为 9. 2-1 ∴? ?x ?? y ? 答案:9 三、解答题 3.(选修 4-5 P36 习题 T5 改编) 求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 证明:法一:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)-(a2c2+b2d2+2abcd) =a2d2+b2c2-2ad· bc=(ad-bc)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(当且仅当 ad=bc 时“=”成立). 法二:由(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2ad· bc=(ac+bd)2(当且 仅当 ad=bc 时,“=”成立).∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 4.(选修 4-5 P45 习题 T3、4 改编)设 a、b、c 均为正整数,且 ab+bc+ac=3. (1)求证:a+b+c≥3; a2 b2 c2 (2)求证: + + ≥3. bc ca ab 证明:(1)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. ∴三式相加可得 a2+b2+c2≥ab+bc+ac. ∴ (a+ b+ c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2bc+2ac≥(ab+ bc+ ac)+2(ab+bc+ ac)= 3(ab+ bc +ac)=9. 又 a,b,c 均为正整数,∴a+b+c≥3 成立. (2)∵a>0,b>0,c>0,∴a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).即 a3+b3≥ab(a+b). 同理 b3+c3≥bc(b+c).c3+a3≥ac(a+c). 以上三式左右两边分别相加得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+a2c,又 a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+a2c=(a2b + bc2) + (b2c + a2c) + (ab2 + ac2)≥2abc + 2abc + 2abc = 6abc , ∴ a3 + b3 + c3≥3abc , ∴ a3+b3+c3 a2 b2 c2 ≥3,即 + + ≥3. abc bc ac ab


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