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2017-2018学年高中数学(人教A版必修二)课件:第四章 圆与方程 4.1.1


第四章 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 学习 目标 1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 1.圆的定义 圆的定义及圆的标准方程 平面内到定点的距离等于定长的点 的集合叫做圆. 其中定点是圆的圆心;定长是圆的 半径. 2.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 答案 思考 方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗? 答 不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时,表示圆. 答案 知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内,判断点与 圆的位置关系有两种方法: (1)几何法:将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较: 若|CM|=r,则点M在 圆上 ; 若|CM|>r,则点M在 圆外 ; 若|CM|<r,则点M在 圆内 . 答案 (2)代数法:可利用圆C的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2来确定: 点M(m,n)在 圆C上 ?(m-a)2+(n-b)2=r2; 点M(m,n)在 圆C外 ?(m-a)2+(n-b)2>r2; 点M(m,n)在 圆C内 ?(m-a)2+(n-b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么? 答 关键是点与圆心的距离与半径的大小比较. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 求圆的标准方程 例1 已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2= 0上,求此圆的标准方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 △ABC的三个顶点分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4), 求其外接圆的标准方程. 解析答案 题型二 例2 点与圆的位置关系的判断 已知点A(1,2)不在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的 取值范围. 解 由题意,得点A在圆C上或圆C的外部, ∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2, ∴2a+5≥0, 5 ∴a≥-2,又 a≠0, ∴a ? ? 5 ? ? 的取值范围是?-2,0?∪(0,+∞). ? ? 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 是( A ) A.-1<a<1 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围 B.0<a<1 D.-1<a<0 C.a<-1或a>1 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4. 解得-1<a<1. 解析答案 题型三 圆的方程的综合应用 例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0), (1)求此圆的标准方程; |AB| 解 由已知,得 C(3,0),r= 2 =2, ∴所求方程为(x-3)2+y2=4. 解析答案 (2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最 大值和最小值. |3-0+1| 解 圆心 C 到直线 x-y+1=0 的距离 d= 2 2=2 2. 1 +?-1? ∴P 到直线的最大距离为 2+2 2,最小距离为 2 2-2. 反思与感悟 解答此类题目经常应用圆的性质,解题过程中用数形结合的 思想能有效地找到解题的捷径,即过圆心作已知直线的垂线

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