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高考数学中抽象函数的解法



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抽象函数问题有关解法
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x ) 的问题感到困难,学好这部分知 识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力, 优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:

/>
一、解析式问题:
1.换元法:即用中间变量 表示原自变量 x 的代数式,从而求出 f ( x ) ,这也是证某些

公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。

x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) . x ?1 x u u 2?u 2? x ? u ,则 x ? ?1 ? 解:设 ∴ f (u ) ? 2 ∴ f ( x) ? x ?1 1? u 1? u 1? u 1? x 2.凑配法:在已知 f ( g ( x)) ? h( x) 的条件下,把 h( x) 并凑成以 g (u ) 表示的代数式, 再利用代换即可求 f ( x ) .此解法简洁,还能进一步复习代换法。 1 1 3 例 2:已知 f ( x ? ) ? x ? 3 ,求 f ( x ) x x 1 1 2 1 1 1 2 解:∵ f ( x ? ) ? ( x ? )( x ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )(( x ? ) ? 3) 又∵ x x x x x
例 1:已知 f (

| x?

1 1 |?| x | ? ?1 x | x|
∴ f ( x) ? x( x ? 3) ? x ? 3x ,(| x |≥1)
2 3

3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的 未知系数。 例 3. 已知 f ( x ) 二次实函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x2 +2 x +4,求 f ( x ) . 解:设 f ( x ) = ax ? bx ? c ,则
2

f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c
?2(a ? c) ? 4 1 3 ? ? a ? , b ? 1, c ? = 2ax ? 2bx ? 2(a ? c) ? x ? 2x ? 4 比较系数得 ?2a ? 1 2 2 ?2b ? 2 ?
2 2

∴ f ( x) ?

1 2 3 x ? x? 2 2

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例 4.已知 y = f ( x ) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ,求 f ( x ) 解:∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f ( x ) 的定义域关于原点对称,故先求 x <0 时的表达式。∵ - x >0,∴ f (? x) ? lg(? x ? 1) ? lg(1 ? x) ,
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∵ f ( x ) 为奇函数,∴ lg(1 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ∴当 x <0 时 f ( x) ? ? lg(1 ? x) ∴

?lg(1 ? x), x ? 0 f ( x) ? ? ?? lg(1 ? x), x ? 0
例 5.一已知 f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且有 f ( x ) + g ( x ) ?

1 , 求 x ?1

f ( x) , g ( x) . 解:∵ f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) , 1 不妨用- x 代换 f ( x ) + g ( x) = ………①中的 x , x ?1 1 1 ∴ f (? x) ? g (? x) ? 即 f ( x) - g ( x) ? ? ……② ?x ?1 x ?1 1 x 显见①+②即可消去 g ( x) ,求出函数 f ( x) ? 2 再代入①求出 g ( x) ? 2 x ?1 x ?1
5、方程组法:通过变量代换,构造方程组,再通过加减消元法消去无关的部分。 例 6.已知 f ( x)+2 f ( ) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 的表达式 解:用

1 x

1 1 1 代替 x 得到 f ( )+2 f ( x) ? ? 1 (1) x x x 1 又 f ( x)+2 f ( ) ? x ? 1 (2) x 2 2 x 1 ? ? 2(1)-(2)得到 3 f ( x) ? ? x ? 1 ,于是 f ( x) ? x 3x 3 3

二、求值问题
例 7. 已知定义域为 R ? 的函数 f ( x) ,同时满足下列条件:① f (2) ? 1, f (6) ?
1 ; 5

② f ( x. y) ? f ( x). f ( y) ,求 f (3), f (9) 的值。 解:取 x ? 2, y ? 3 ,得 f (6) ? f (2) ? f (3) 1 4 因为 f (2) ? 1, f (6) ? ,所以 f (3) ? ? 5 5 又取 x ? y ? 3 8 得 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ? 5 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 x ? 2, y ? 3 ,这样便把已知 1 条件 f (2) ? 1, f (6) ? 与欲求的 f (3) 沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技 5 巧。

三、定义域问题
例 8. 已知函数 f ( x 2) 的定义域是[1,2],求 f ( x) 的定义域。 解: f ( x 2) 的定义域是[1,2],是指 1 ? x ? 2 ,所以 f ( x 2) 中的 x 2 满足 1 ? x 2 ? 4

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从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析:一般地,已知函数 f (? ( x)) 的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于 已知 f (? ( x)) 中 x 的取值范围为 A,据此求 ? ( x) 的值域问题。
?x) 例 9. 已知函数 f ( x) 的定义域是 [?1, 2] ,求函数 f [log (3 ] 的定义域。 1 2

解: f ( x) 的定义域是 [?1, 2] ,意思是凡被 f 作用的对象都在 [?1, 2] 中,由此可得

?x) 所以函数 f [log (3 ] 的定义域是 [1, 1 2

11 ]。 4

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f ( x) 的定义域是 A ,求函数 f (? ( x)) 的 定义域。 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。 这类问题 实质上相当于已知 ? ( x) 的值域 A , 据此求 x 的取值范围。 例 2 和例 1 形式上正相 反。

四、值域问题
例 10. 设函数 f ( x) 定义于实数集上,对于任意实数 x, y , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总 成立,且存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。 解:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 ,即有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。 ? ,对任意 x ? R 均成立,这与存在实 若 f (0) ? 0 ,则 f (x) ? f (x ?0) ? f ( x) f (0) 0 数 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。 由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意 x, y 均成立,因此,对任意 x ? R ,有

下面来证明,对任意 x ? R, f ( x) ? 0 设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (0) ? f ( x0 ? x0 ) ? f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0 这与上面已证的 f (0) ? 0 矛盾,因此,对任意 x ? R, f ( x) ? 0 所以 f ( x) ? 0 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一 般向特殊转化的必要手段。

五、判断函数的奇偶性:
例 11 已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立, 且 f (0) ? 0 , 求证 f ( x ) 为偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ……① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴ f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ∴

f (? y) ? f ( y) ∴ f ( x) 为偶函数。

六、单调性问题

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例 12. 设 f ( x) 定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x, y 有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,求证: f ( x) 在 R 上为增函数。 证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0, y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾 所以 f ( x) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0, f (? x) ? 1 ? 0 而 f ( x) f (? x) ? f (0) ? 1 1 所以 f ( x) ? ?0 f (? x) 又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0 所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x2 ? x1 ? 0, f ( x2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。

七、解抽象不等式(确定参数的取值范围)
2 例 13:奇函数 f ( x ) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 的实

数 m 的取值范围。 解:由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,∵ f ( x ) 为函数,∴

f (1 ? m) ? f (m2 ?1)
??1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 又∵ f ( x ) 在(-1,1)内递减,∴ ??1 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

八、对称性问题
(1)设 a , b 均为常数,函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 成中心对称图形。 (2) 设 a , b 均为常数, 函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 0 ? a?b , 0) 成中心对称图形。 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( 2 (3) 设 a , b 均为常数, 函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 函 a?b 数 y ? f ( x) 的图象关于轴 x ? 对称。 2

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例 14:如果 f ( x ) = ax ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较
2

f (1)、f (2)、f (4) 的大小
解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax ? bx ? c 的对称轴
2

又∵其开口向上∴ f (2)最小, f (1)= f (3)∵在[2,+∞)上, f ( x ) 为增函数 ∴ f (3)< f (4),∴ f (2)< f (1)< f (4)

九、周期问题
命题 1:若 a 是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函 数 y=f(x)是周期函数. 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期.

1 函数 y=f(x)满足 f(x+a)= f ( x ) ,则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期.
函数 y=f(x)满足 f(x+a)+f(x)=1,则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期. 命题 2:若 a、b( a ? b )是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件 之一,则函数 y=f(x)是周期函数. (1) 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b),则 f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是它 的一个周期. (3) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b| 是它的一个周期. (4)函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b| 是它的一个周期. 命题 3:若 a 是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函 数 y=f(x)是周期函数. 若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期. 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其图象关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期函数,且 4a 是它的一个周期. 我们也可以把命题 3 看成命题 2 的特例,命题 3 中函数奇偶性、 对称性与周期性中已 知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题 3(1),其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数. 条件 B: f(x)关于 x=a 对称 条件 C: f(x)是周期函数,且 2a 是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知 A、B→ C (2001 年全国高考第 22 题第二问) ∵f(x)是 R 上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于 x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期

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②已知 A、C→B ∵定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵2a 是 f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于 x=a 对称 ③已知 C、B→A ∵f(x)关于 x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a) 又∵2a 是 f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是 R 上的偶函数

T 由命题 3(2),我们还可以得到结论:f(x)是周期为 T 的奇函数,则 f( 2 )=0
基于上述命题阐述,可以发现,抽象函数具有某些关系.根据上述命题,我们易得函数 周期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例 1:f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时 f(x)=x,求 f(2007) 的值 解:方法一 ∵f(x)=-f(x+4) ∴f(x+8) =-f(x+4) =f(x) ∴8 是 f(x)的一个周期 ∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1 方法二∵f(x)=-f(x+4),f(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于 x=2 对称 又∵f(x)是奇函数 ∴8 是 f(x)的一个周期,以下与方法一相同. 例 2:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求 f(2009) 的值

解:由条件知 f(x) ? 1,故

f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

? f ( x ? 4) ?

1 ? f ( x ? 2) 1 ?? 1 ? f ( x ? 2) f ( x)

类比命题 1 可知,函数 f(x)的周期为 8,故 f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例 3:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 2x+1,则当 解:当

x ? ? ?2,0? 时,f(x)=-

x ? ? 4,6? 时求 f(x)的解析式 x ? ?0,2? 时 ? x ? [?2,0] ∴f(-x)=2x+1

∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x) ∴f(x)=2x+1 当

x ? ? 4,6? 时 ?4 ? x ? [0,2] ∴f(-4+x)=2(-4+x)+1=2x-7

又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题 3(1)知函数 f(x)的周 期为 4

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故 f(-4+x)=f(x) ∴当

x ? ? 4,6? 时求 f(x)=2x-7

3.判断函数的奇偶性

?
例 4:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+999)= x), 试判断函数 f(x)的奇偶性.

1 f ( x ) ,f(999+x)=f(999-

?
解: 由 f(x+999)=

1 f ( x) , 类比命题 1 可知, 函数 f(x)的周期为 1998 即 f(x+1998)=f(x);

由 f(999+x)=f(999-x)知 f(x)关于 x=999 对称,即 f(-x)=f(1998+x) 故 f(x)=f(-x) ? f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性 例 5:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 函数,求证当 解:设

x ? ? ?2,0? 时,f(x)是减

x ? ? 4,6? 时 f(x)为增函数

4 ? x1 ? x2 ? 6 则 ?2 ? ? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4 ? 0 f (? x2 ? 4) ? f (? x1 ? 4)

∵ f(x)在[-2,0]上是减函数∴

又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题 3(1)知函数 f(x)的周 期为 4 故 f(x+4)=f(x) ∴ 故当

f (? x2 ) ? f (? x1 )

∵ f(-x)=f(x)



f ( x2 ) ? f ( x1 )

x ? ? 4,6? 时 f(x)为增函数

十.四类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。 例 15、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值 域。 分析:由题设可知,函数 f(x)是 y ? kx(k ? 0) 的抽象函数,因此求函数 f(x) 的值域,关键在于研究它的单调性。 解:设 x1 ? x2 则 x2 ? x1 ? 0 ,∵当 x ? 0时f(x) ? 0 ,∴ f ( x2 ? x1) ? 0 ∵ , 7

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∴ 在条件中,令 y=-x,则

,即 f ( x2) ? f ( x1) ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f

(0),∴ f(0)=0,故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例 16、已知函数 f(x)对任意 x, y ? R ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x +y),且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增 函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不 等式的解。 解:设 ,∵当 ,∴ , 即 ,∴f(x)为单调增函数。 ∵ , 又∵f (3)=5,∴f(1)=3。∴ ,∴ , 即 ,则

,解得不等式的解为-1 < a < 3。 2、指数函数型抽象函数 例 17、设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 得 ,对任何 x 和 y, 成立。求: ,使

(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 1 且 f(x)>0。 解:(1)令 y=0 代入 ,则 ,有 ,∴ ,这 的抽象函数,从而猜想 f(0)=

。若 f(x)=0,则对任意 与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。

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(2)令 y=x≠0,则

,又由(1)知 f(x)≠0,

∴f(2x)>0,即 f(x)>0,故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 18、是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;② ;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出 f(x) 的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 数 ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故猜测存在函

,用数学归纳法证明如下: , 又∵x ∈N 时, f (x) ,结论正确。 时有 ,则 x=k+1 时,

(1) x=1 时, ∵ >0,∴ (2)假设

,∴x=k+1 时,结论正确。 综上所述,x 为一切自然数时 。

3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 19、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 ,求: (1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 (9)=2。 解:(1)∵ (2) 即 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故 的抽象函数,f(1)=0,f

,解之得:8<x≤9。
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例 20、 设函数 y=f (x) 的反函数是 y=g(x) 。如果 f (ab)=f(a) +f(b), 那么 g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的 反函数是 y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想 g(a +b)=g(a)·g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,∴g(m)=a,

g(n)=b,从而

,∴g(m)·g(n)

=g(m+n),以 a、b 分别代替上式中的 m、n 即得 g(a+b)=g(a)·g(b)。 4、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。 例 21、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f (-1)=1,f(27)=9,当 时, 。

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。

分析:由题设可知 f(x)是幂函数 的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶 函数,且在[0,+∞)上是增函数。 解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴ f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。

(2)设

,∴







时,

,∴

,∴f(x1)<f(x2),故 f(x)在 0,

+∞)上是增函数。 (3)∵f(27)=9,又 ∴ ∵ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,又 ,故 , 。 ,

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巩固练习
练习一 1.给出四个函数,分别满足① f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;② g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ; ③ h( xy) ? h( x) ? h( y) ;④ t ( xy) ? t ( x)t ( y) ,又给出四个函数图象



正确的匹配方案是( ) (A) ①—丁②—乙③—丙④—甲 丁 (C) ①—丙②—甲③—乙④—丁 丙

(B) ①—乙②—丙③—甲④— (D) ①—丁②—甲③—乙④—

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x,y∈R),当 x<0 时,, f (x)>0,则函 数 f (x)在[a,b]上 ( ) a?b A 有最小值 f (a) B 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值 f ( ) 2 3. 设函数 f ? x ? 的定义域为R,且对 x, y ? R, 恒有 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , 若 f ? 8? ? 3, 则f A. ?

? 2? ?(



1 1 1 B.1 C. D. 2 2 4 4.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) 3 3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 2 3 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 2 5. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: 对任意实数 m, n , 总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ,

且当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1. (1)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? ; (2)试求 f ? 0 ? 的 值; (3) 判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (4)若 f (1) ? 1-4 D C C D
1 1 , 解不等式 f ( 2 x ? 1) ? . 2 8

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?1? 5. (1)如 f ? x ? ? ? ? , (2)在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n? 中,令 m ? 1, n ? 0 .得: ? 2? (3)要判断 f ? x ? 的单调性, f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? .因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1.
可 任 取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 .在已 知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,若取 则已知条件可化为:f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? 由于 x2 ? x1 ? 0 , m ? n ? x2 , m ? x1 , . 所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 .为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即 可.在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x? ? f ? ? x? ? 1 .∵
x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1,

x

当 x ? 0 时,f ? x ? ?

1 又 f ? 0? ? 1, 所以, 综上, 可知, 对于任意 x1 ? R , ?1? 0 . f ??x?

均有 f ? x1 ? ? 0 .∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? ? 0 .∴ 函数 f ? x ? 在 R 1 1 上 单 调 递 减 , ( 4 ) 若 f (1) ? , 则 f (3) ? , 则 不 等 式 2 8 1 f (2 x ? 1) ? ? f (2 x ? 1) ? f (3) ,由函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,则 2 x ? 1 ? 3 , 8 则不等式的解集为 {x | x ? 2} 。 练习二 1.若奇函数 f ( x) ( x ? R) ,满足 f (2) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (1) 等于( A.0 B.1 C. ?
1 2



D.

2.设对任意实数 x1 、x2 , 函数 y ? f ( x) ( x ? R, x ? 0) 满足 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x1 ? x2 ) 。 (1)求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; (2)求证: y ? f ( x) 为偶函数。 3.已知函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足对于任意的正实数 x 、 y , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1. (1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3. 4.已知函数 f ( x) 对于任意的正实数 x 、y , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 若 f (2) ? 0 , 则下列结论中不正确的是( ) 1 1 A. f (1) ? 0 B. f (3) ? f (4) C. f (2) ? f ( ) ? 0 D. f (4) ? f ( ) ? 0 2 5 5. 设定义在 R 上的函数 f ( x) 对于任意 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)成立,且 f (1) ? ?2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。 (1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-3≤ x ≤3 时, f ( x) 是否有 最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由。 f ( x) ? f (? x) ?0 6.若函数 f(x)为奇函数, 且在 (0, +?) 内是增函数, 又 f(2)=0, 则 x 的解集为( ) A. (-2,0)?(0,2) B. (- ? ,-2)?(0,

1 2

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2) C. (- ? ,-2) ? (2,+ ? )

D. (-2,0) ? (2,+ ? )

7. 设对满足 x ? 0, x ? 1的所有实数 x ,函数 f ( x) 满足 f ( x)+f (

x ?1 ) ? 1 ? x ,求 x

f ( x) 的解析式。 8. 已知函数 f ( x)( x ? R, x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1 , x2 都有

f ( x1.x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函数 f ( x) 的奇偶性。
9. (09 年东城区示范校质检一)(本小题满分 14 分) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为全体 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数
x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 成立,数列 {an } 满足 a1 ? f (0) ,且

f (an ?1 ) ?

1 (n ? N ) ?an f( ) 2an ? 1

(Ⅰ)求证: y ? f ( x) 是 R 上的减函数;

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; 10. (09 届华南师大附中综合测试题) 设 函 数
f ( x) 满 足 f ( 0? ) , 1 且 对 任 意 x, ? y R , 都 有

f ( xy ? 1) ? f ( x). f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若数列 {an } 满足: an?1 ? 3 f (an ) ?1, n ? N ? 且 a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项; 1. 解 析 : 对 于 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) , 令 x ? ?1 , 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) 即 f (1) ? ? f (1) ? 1, 1 从而 2 f (1) ? 1 ,所以 f (1) ? ,选 D。 2 2.解析: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1? 1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 。 令 x1 ? x2 ? ?1 ,得 f (?1) ? f (?1) ? f (1) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 。

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(2)令 x1 ? x2 ? x ,得 2 f ( x) ? f ( x 2 ) , 令 x1 ? x2 ? ? x ,得 2 f (? x) ? f ( x 2 ) ,从而我们有: f (? x) ? f ( x) , 所以, y ? f ( x) 为偶函数。 3. 解析: (1) f (2) ? 1 ? f (4) ? 2 ? f (8) ? 3 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (8) ? f ( x) ? f [8( x ? 2)] 16 由函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则 x ? 8( x ? 2) 即 x ? , 7 ?x ? 0 16 依题设,有 ? ,? x ? 2 ,从而不等式的解集为 ( 2, ) 。 7 ?x ? 2 ? 0 4. 解析:满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 对一切正实数 x 、 y 都成立的函数模型是对 数函数 y ? loga x 。 由 f (2) ? 0 ,可知 0 ? a ? 1 ,从而可知 y ? f ( x) 是减函数,所以 f (3) ? f (4) ,应 选 B。 5. 解析:⑴令 x=y=0,可得 f(0)=0 令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x1<x2≤3,y=-x1,x=x2 则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),因为 x>0 时,f(x)<0, 故 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0。 ∴f(x2)<f(x1)、f(x)在区间[-3,3]上单调递减 ∴x=-3 时, f(x)有最大值 f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6。 x=3 时,f(x)有最小值为 f(3)= -6。
6.解析:因为 f(x)是定义域上的奇函数,所以 f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可 以作出函数 f(x)在 R 上的大致图象, 由

由图像可得解集为(-2,0) ? (0,2),选择(A)。

f ( x) ? f (? x) f ( x) ?0? ? 0 得: x 与 f(x)异号。 x x

7.解析:在 f ( x)+f ( 中以

x ?1 代换其中 x ,得: x

x ?1 ) ? 1? x x

(1)

再在(1)中以 ?

1 代换 x,得 x ?1

3 2 x ? x ?1 () 1 -(2)( + 3) 化简得: f ( x)= 2 x( x ? 1) x ?1 评析:如果把 x 和 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的 x 转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”, 进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。

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8.解析:取 x1 ? ?1, x2 ? ?1 得: f (?1) ? f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x1 ? x2 ? ?1 得: f (1) ? f (?1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 0 再取 x1 ? x, x2 ? ?1 则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) 因为 f ( x) 为非零函数,所以 f ( x) 为偶函数。 9.解析:(Ⅰ)令 x ? ?1, y ? 0 ,得 f (?1) ? f (?1) f (0) ,

由题意知 f (?1) ? 0 ,所以 f (0) ? 1 ,故 a1 ? f (0) ? 1 .

当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (0) ? f (? x). f ( x) ? 1 ,进而得 0 ? f ( x) ? 1 .

设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0,0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

. 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , y ? f ( x) 是 R 上的减函数;
?an ) ? 1, 2an ? 1

(Ⅱ)由 f (an ?1 ) ?

1 ?an f( ) 2an ? 1



f (an ?1 ) f (

所以 f (an?1 ?

an ) ? f (0) . 2an ? 1

因为 y ? f ( x) 是 R 上的减函数,所以 an?1 ?

an ? 0, 2an ? 1

即 an ?1 ?

an 1 1 , 进而 ? ?2, 2an ? 1 an?1 an

1 所以 { } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. an
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所以

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , an

所 以
an ? 1 2n ? 1

10.解析:(Ⅰ)因 f (0) ? 1 . 若令 x ? y ? 0 得 f (1) ? f (0) f (0) ? f (0) ? 0 ? 2 ? 2

再令 y ? 0 得 f (1) ? f ( x) f (0) ? f (0) ? x ? 2

? f ( x) ? x ? 1, x ? R

(Ⅱ)∵ f ( x) ? x ? 1,∴ an?1 ? 3 f (an ) ?1 ? 3(an ?1) ?1 ? 3an ? 2 , ∴ an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) 又 a1 ? 1 ? 2 ∴数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 3 的等比数列,





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