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北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(修改)



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2015-2016 学年度西城高三上学期期末数学(理)
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 1} ,集合 B ? {a ? 2},若

A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是() (A) (??, ?1] 答案:A (B) (??,1] (C) [?1, ??) (D) [1, ??)

2. 下列函数中,值域为 R 的偶函数是() (A) y ? x2 ? 1 (B) y ? ex ? e? x (C) y ? lg | x | (D) y ? x 2 答案:C

3. 设命题 p:“若 sin ? ? ,则 ? ? ”,命题 q:“若 a ? b ,则 (A)“ p ? q ”为真命题(B)“ p ? q ”为假命题 (C)“ ? q ”为假命题(D)以上都不对 答案:B

1 2

π 6

1 1 ? ”,则() a b

4. 在数列 {an } 中,“对任意的 n ? N* , an?1 ? an an?2 ”是“数列 {an } 为等比数列”的()
2

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 答案:B 2 2 侧(左)视图

5. 一个几何体的三视图如图所示,那么这个 几何体的表面积是() (A) 16 ? 2 3

正(主)视图

1 1 俯视图

(B) 16 ? 2 5 (C) 20 ? 2 3 (D)

20 ? 2 5

答案:B

? y ? x ? 1, ? 6. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z ? x ? 3 y 的最大值与最小值的差为 7, 则实数 m ? ?y ? m ?
()

1 1 3 3 (A) (B) ? (C) (D) ? 2 2 4 4
答案:C

7.某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费); 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x (单位:千米)为行驶里程, y (单位: 元)为所收费用,用[x]表示不大于 x 的最大整数,则图中①处应填()

1 2 1 (B) y ? 2[ x ? ] ? 5 2 1 (C) y ? 2[ x ? ] ? 4 2 1 (D) y ? 2[ x ? ] ? 5 2
(A) y ? 2[ x ? ] ? 4

开始 输入 x 是 1 ○

x?4

否 y=12

输出 y 结束

答案:D

BC 上, CF ? 2 BF . 8.如图, F 分别在边 AD , 正方形 ABCD 的边长为 6, 点E , 且 DE ? 2 AE , ??? ? ??? ? 如果对于常数 ? ,在正方形 ABCD 的四条边上,有且只有 6 个不同的点 P 使得 PE ? PF =? 成

立,那么 ? 的取值范围是() (A) (0, 7)

A E F

B

(B) (4, 7) (C) (0, 4) (D) (?5,16) 答案:C D P C

第Ⅱ卷(非选择题
9. 已知复数 z 满足 z(1 ? i) ? 2 ? 4i ,那么 z ? ____. 答案: ?1 ? 3i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

10.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 A ? B , a ? 3 , c ? 2 ,则 cos C ? ____.
7 答案: 9

11.双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为_____;设 F1 , F2 为双曲线 C 的左、右焦点,P 为 16 4

C 上一点,且 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? ____.

1 y?? x 2 ; 12 (第一问 2 分,第二问 3 分) 答案:
A N B M

12. 如图, 在 ?ABC 中,?ABC ? 90? ,AB ? 3 ,BC ? 4 , 点 O 为 BC

O

C

N, 的中点, 以 BC 为直径的半圆与 AC ,AO 分别相交于点 M , 则 AN ? ____;

AM ? ____. MC

答案: 13 ? 2 ;

9 (第一问 2 分,第二问 3 分) 16

13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察, 要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人, 但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有____种.(用数字作答) 答案:54

14. 某 食 品 的 保 鲜 时 间 t ( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏温 度 x ( 单 位 : ? C ) 满 足 函 数 关 系

?64, x ? 0, ? t ? ? kx ? 6 且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时. ? 2 , x ? 0.
已知甲在某日上午 10 时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化 如图所示. 给出以下四个结论:
? ①该食品在 6 C 的保鲜时间是 8 小时;

②当 x ? [?6, 6] 时,该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少; ③到了此日 13 时,甲所购买的食品还在保鲜时间内; ④到了此日 14 时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中,所有正确结论的序号是____.

答案:①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ?
3 , x?R . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

(Ⅱ)设 ? ? 0 ,若函数 g ( x) ? f ( x ? ? ) 为奇函数,求 ? 的最小值.

答案:(Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期 函数 f ( x) 的单调递增区间为
5π π ,kπ+ ) 12 12 , k ? Z . ) π (Ⅱ) ? 的最小值为 . 3

T?

2π =π 2 ,

[kπ ?

5π π ,kπ+ ] 12 12 , k ? Z (注:或者写成单调递增区间为

(kπ ?

解析: (Ⅰ) f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ?
? sin x cos x ? 3 (2 cos 2 x ? 1) 2 3 2

?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

π ? sin(2 x ? ) , 3

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 由 2kπ ? 得 kπ ?

2π =π . 2

π π π ? 2x ? ? 2kπ+ , k ? Z , 2 3 2

5π π ? x ? kπ+ , 12 12

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? (注:或者写成单调递增区间为 (kπ ?

5π π ,kπ+ ] , k ? Z . 12 12

5π π ,kπ+ ) , k ? Z . ) 12 12

π (Ⅱ)由题意,得 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin(2x ? 2? ? ) , 3

因为函数 g ( x) 为奇函数,且 x ? R ,
π 所以 g (0) ? 0 ,即 sin(2? ? ) ? 0 , 3

所以 2? ? 解得 ? ?

π ? kπ , k ? Z , 3

kπ π ? , k ? Z ,验证知其符合题意. 2 6

又因为 ? ? 0 ,

π 所以 ? 的最小值为 3 .

16.(本小题满分 13 分) 甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命 中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下: 甲 乙 6 7 6 9 9 9
y

x

(Ⅰ)若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; (Ⅱ)如果 x ? y ? 7 ,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分 和为 X ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所 有可能取值.(结论不要求证明) 答案:
1 (Ⅰ)这 2 局得分恰好相等的概率为 3 .

(Ⅱ) X 的分布列为:

X P

13

15

16

18

3 8

1 8

3 8

1 8

3 1 3 1 所以 E ( X ) ? 13 ? ? 15 ? ? 16 ? ? 18 ? ? 15 . 8 8 8 8

(Ⅲ) x 的可能取值为 6 , 7 , 8 .

解析: (Ⅰ)记 “从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A , 由题意,得 P( A) ?
2 1 ? , C2 3 4

1 所以从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分恰好相等的概率为 . 3

(Ⅱ)由题意, X 的所有可能取值为 13 , 15 , 16 , 18 ,

3 1 3 1 且 P ( X ? 13) ? , P ( X ? 15) ? , P ( X ? 16) ? , P ( X ? 18) ? , 8 8 8 8

所以 X 的分布列为:

X P

13

15

16

18

3 8

1 8

3 8

1 8

3 1 3 1 所以 E ( X ) ? 13 ? ? 15 ? ? 16 ? ? 18 ? ? 15 . 8 8 8 8

(Ⅲ) x 的可能取值为 6 , 7 , 8 .

17.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,?BCD ? 135? , 侧面 PAB ? 底 面 ABCD , ?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC, AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 若 M 为 PD 的中点, 求证:ME // 平面 PAB ; (Ⅲ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线
ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求

P M A D

PM 的值. PD

F C

BE

答案: (Ⅰ)证明略; (Ⅱ)证明略; (Ⅲ)

3? 3 2

解析 (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB ? AC , ?BCD ? 135? , 所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC , AD 的中点,得 EF //AB , 所以 EF ? AC . 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90? ,

所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF . 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 EF ? 平面 PAC . (Ⅱ)证明:因为 M 为 PD 的中点, F 分别为 AD 的中点, 所以 MF //PA , 又因为 MF ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所以 MF // 平面 PAB . 同理,得 EF // 平面 PAB . 又因为 MF ? EF =F , MF ? 平面 MEF , EF ? 平面 MEF , 所以平面 MEF // 平面 PAB . 又因为 ME ? 平面 MEF , 所以 ME // 平面 PAB . (Ⅲ)因为 PA ? 底面 ABCD , AB ? AC ,所以 AP, AB, AC 两两垂直,故以 AB, AC, AP 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2), D(?2, 2,0), E(1,1,0) ,

??? ? ??? ? ??? ? 所以 PB ? (2,0, ?2) , PD ? (?2, 2, ?2) , BC ? (?2,2,0) ,
???? ? PM ? ? (? ? [0,1]) ,则 PM ? (?2?,2?, ?2?) , PD ???? 所以 M (?2? , 2? , 2 ? 2? ) , ME ? (1 ? 2?,1 ? 2?,2? ? 2) ,
设 易得平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , A F C y D z P M

??? ? ??? ? ?2 x ? 2 y ? 0, 由 n ? BC ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? ? ?2 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 1 , 得 n ? (1,1,1) .

BE x

因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等,

???? ???? ???? ???? | ME ? m | | ME ? n | , 所以 | cos ? ME, m ?? ,即 | | cos ? ME, n ?| ???? ? ???? | ME | ? | m | | ME | ? | n |

所以 | 2? ? 2 |?|

2? |, 3

解得

??

3? 3 3? 3 ?? 2 ,或 2 (舍).

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 ,函数 g ( x) ? 2t ln x ,其中 t ≤ 1 .
2

(Ⅰ)如果函数 f ( x ) 与 g ( x) 在 x ? 1 处的切线均为 l ,求切线 l 的方程及 t 的值; (Ⅱ)如果曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点,求 t 的取值范围. 答案: (Ⅰ)切线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 , t ? 1 . (Ⅱ) t 的范围是 {t | t ? 0 ,或 t ? 1} .

解析: (Ⅰ)求导,得 f ?( x) ? 2 x , g ?( x) ?
2t , ( x ? 0) . x

由题意,得切线 l 的斜率 k ? f ?(1) ? g ?(1) ,即 k ? 2t ? 2 ,解得 t ? 1 . 又切点坐标为 (1, 0) ,所以切线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ?1 ? 2t ln x , x ? (0, ??) . “曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点”等价于“函数 y ? h( x) 有且仅有一 个零点”. 求导,得 h?( x) ? 2 x ? ①当 t ? 0 时, 由 x ? (0, ??) ,得 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 单调递增. 又因为 h(1) ? 0 ,所以 y ? h( x) 有且仅有一个零点1 ,符合题意. ②当 t ? 1 时, 当 x 变化时, h?( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示:

2t 2 x 2 ? 2t . ? x x

x

(0,1)

1

(1, ??)

h?( x)

?


0

?


h( x )

所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, h( x)
min

? h(1) ? 0 ,

故 y ? h( x) 有且仅有一个零点 1 ,符合题意. ③当 0 ? t ? 1 时, 令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? t . 当 x 变化时, h?( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x) h( x )

(0, t )

t
0

( t , ??)

?


?


所以 h( x) 在 (0, t ) 上单调递减,在 ( t , ??) 上单调递增, 所以当 x ? t 时, h( x)
min

? h( t ) .

因为 h(1) ? 0 , t ? 1 ,且 h( x) 在 ( t , ??) 上单调递增, 所以 h( t ) ? h(1) ? 0 . 又因为存在 e? 2t ? (0,1) , h(e? 2t ) ? e? t ? 1 ? 2t ln e? 2t ? e? t ? 0 , 所以存在 x0 ? (0,1) 使得 h( x0 ) ? 0 , 所以函数 y ? h( x) 存在两个零点 x0 ,1,与题意不符. 综上,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点时, t 的范围是 {t | t ? 0 ,或 t ? 1} .
1

1

1

1

1

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 3 3 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆, 满足此圆与 l 相交两点 P1 , P2 (两点均不在坐标轴上),且使得直线 OP 1 , OP 2 的斜率之积 为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 答案: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 .

解析: (Ⅰ)由题意,得 又因为点 A(1,
c 3 ? , a 2 ? b2 ? c 2 , a 2

3 ) 在椭圆 C 上, 2
4b

所以 12 ? 32 ? 1 ,
a

解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 . 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ?4
因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 所以 ?1 ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . 由方程组 ?

? y ? kx ? m, ?x ? y ? r ,
2 2 2

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? r 2 ? 0 ,

则 ?2 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? r 2 ) ? 0 . 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
?2km m2 ? r 2 , , x ? x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

设直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 1 , OP 所以 k1k2 ?
y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? r 2 ?2km ? km ? 2 ? m2 m2 ? r 2 k 2 k2 ?1 k ?1 ? , 2 2 m ?r m2 ? r 2 k2 ?1
(4 ? r 2 )k 2 ? 1 . 4k 2 ? (1 ? r 2 )

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,得 k1 ? k2 ? 要使得 k1k 2 为定值,则

4 ? r2 1 ,即 r 2 ? 5 ,验证符合题意. ? 4 1? r2

1 . 所以当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足 k1 k 2 为定值 ? 4

当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 此时,圆 x2 ? y 2 ? 5 与 l 的交点 P 1, P 2 也满足 k1k2 ? ? 4 1 . 综上,当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足斜率之积 k1 k 2 为定值 ? 4

20.(本小题满分 13 分)
? a1, a2 , ?, an 中, 在数字 1, 2,?, n (n ? 2) 的任意一个排列 A: 如果对于 i, j ? N , i ? j ,

有 ai ? a j ,那么就称 (ai , a j ) 为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为 S ( A) . 如 n=4 时,在排列 B:3, 2, 4, 1 中,逆序对有 (3, 2) , (3,1) , (2,1) , (4,1) ,则 S ( B) ? 4 . (Ⅰ)设排列 C: 3, 5, 6, 4, 1, 2,写出 S (C ) 的值; (Ⅱ)对于数字 1,2, ? ,n 的一切排列 A,求所有 S ( A) 的算术平均值; (Ⅲ)如果把排列 A:a1 , a2 , ?, an 中两个数字 ai , a j (i ? j) 交换位置,而其余数字的位置保 持不变,那么就得到一个新的排列 A? : b1 , b2 , ?, bn ,求证: S ( A) ? S ( A?) 为奇数.

答案: (Ⅰ) S (C ) ? 10 ; (Ⅱ)所有 S ( A) 的算术平均值为 (Ⅲ)略
n( n ? 1) 4 .

解析: (Ⅰ) S (C ) ? 10 ;
d1 , d2 , ?, dn?1 , dn 与排列 D1 : dn , dn?1 ,?, d2 , d1 , (Ⅱ)考察排列 D:

因为数对 (di , d j ) 与 (d j , di ) 中必有一个为逆序对(其中 1 ? i ? j ? n ),
2 且排列 D 中数对 (di , d j ) 共有 Cn ?

n(n ? 1) 个, 2

所以 S ( D) ? S ( D1 ) ?

n(n ? 1) . 2
n( n ? 1) . 4

所以排列 D 与 D1 的逆序对的个数的算术平均值为

而对于数字 1 , 2 , ? , n 的任意一个排列 A : a1 , a2 , ?, an ,都可以构造排列 A1 :

an , an?1, ?, a2 , a1 ,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为
所以所有 S ( A) 的算术平均值为
n( n ? 1) . 4

n( n ? 1) . 4

(Ⅲ)证明:①当 j ? i ? 1 ,即 ai , a j 相邻时, 不妨设 ai ? ai ?1 ,则排列 A? 为 a1, a2 , ?, ai ?1, ai ?1, ai , ai ?2 ,?, an , 此时排列 A? 与排列 A: a1 , a2 , ?, an 相比,仅多了一个逆序对 (ai ?1 , ai ) , 所以 S ( A?) ? S ( A) ? 1, 所以 S ( A) ? S ( A?) ? 2S ( A) ? 1为奇数. ②当 j ? i ? 1 ,即 ai , a j 不相邻时, 假设 ai , a j 之间有 m 个数字,记排列 A: a1, a2 , ?, ai , k1, k2 , ,?km , a j ,?, an , 先将 ai 向右移动一个位置,得到排列 A1 : a1, a2 , ?, ai?1, k1, ai , k2 , ,?, km , a j ,?, an , 由①,知 S ( A1 ) 与 S ( A) 的奇偶性不同, 再将 ai 向右移动一个位置,得到排列 A2 : a1, a2 , ?, ai ?1, k1, k2 , ai , k3 ,?, km , a j ,?, an , 由①,知 S ( A2 ) 与 S ( A1 ) 的奇偶性不同, 以此类推, ai 共向右移动 m 次,得到排列 Am : a1, a2 , ?, k1, k2 ,?, km , ai , a j ,?, an ,

再将 a j 向左移动一个位置,得到排列 Am?1 : a1, a2 , ?, ai ?1, k1, ?, km , a j , ai ,?, an ,

a1, a2 , ?, a j , k1,?, km , ai ,?, an , a j 共向左移动 m ? 1 次, 以此类推, 得到排列 A2 m ?1 :
即为排列 A? , 由①,可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化, 而排列 A 经过 2m ? 1 次的前后两数交换位置,可以得到排列 A? , 所以排列 A 与排列 A? 的逆序数的奇偶性不同, 所以 S ( A) ? S ( A?) 为奇数. 综上,得 S ( A) ? S ( A?) 为奇数.



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