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广东省13大市2013届高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--立体几何



广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学文试题分类汇编
立体几何
一、选择题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是 真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n 答案:C 2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末) M、 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 A1 B1 、 点 N D.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ?

A1 D1 中点,用过 A、M、N 和 D、N、 C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体
如右图,则该几何体的正视图、侧视图(左视图)、俯视图依次为

A.①、②、③ B.②、③、④ C.①、③、④ D.②、④、③ 答案:B 3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正 视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图可以为

正视图

A. 答案:B

B.

C.

D.

俯视图 第 9 题图 4、(广州市 2013 届高三上学期期末)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平

面,下列命题正确的是 A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

答案:D 5、(惠州市 2013 届高三上学期期末)已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平 ? ? 面,下列命题中正确的有( ) B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; ? 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n . n 则

A. 若m‖? ,‖? , m‖ n ; n 则 C. 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ; m 则

答案:D 6、(江门市 2013 届高三上学期期末)图 1,将一个正三棱柱截去一个三棱锥,得到几何体 BC ? DEF ,则该几何体的正视图(或称主视图)是

A. B. C. D. 答案:C 7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方 形,且其体积为

1 ,则该几何体的俯视图可以是( 2

)

答案:C 8、(汕头市 2013 届高三上学期期末)如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是 底面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则 它的侧视图的周长等于( ). A.17cm C.16cm B. 119 ? 5cm D.14cm

答案:D 9、(增城市 2013 届高三上学期期末)给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3

答案:B 10、(湛江市 2013 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如图 所示,其中主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图为 圆,那么该几何体的表面积为 A、6 ? B、4 ? C、3 ? D、2 ? 答案:C 11、(肇庆市 2013 届高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图 2 所示,该三棱锥的体积是为( ) A. 80 B. 40 C.

80 3

D.

40 3

答案:D 解析:从图中可知,三棱锥的底为两直角边分别为 4 和 5 的直角三角形,高为 4 体积为 V ?

1 1 40 ? ? 4 ? (2 ? 3) ? 4 ? 3 2 3

12、 (中山市 2013 届高三上学期期末) 如图, 在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水, 将容器底面一边 BC 固定于地面上, 再将容器倾斜, 随着倾斜度的不同, 有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;
E A1 B1 H F A D C G D1

C1

②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) C.②④

B

D.①③④

答案:D 13、(珠海市 2013 届高三上学期期末)已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α

B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m 答案:D 二、填空题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)若一个正三 棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的体积为_______. 答案: 8 3 由左视图知正三棱柱的高 h ? 2 , 设正三棱柱的底面 边长 a ,则

3a ?2 3, 2
1 ? 4 ? 2 3 ? 4 3 ,故 V ? Sh ? 4 3 ? 2 ? 8 3 . 2

故 a ? 4 ,底面积 S ? 三、解答题

1、 潮州市 2013 届高三上学期期末) ( 已知梯形 ABCD 中 AD // BC , ABC ? ?BAD ? ?

?
2



AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .
沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点. (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 的体积 f ( x) 的函数式.

(1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH ,

…… 2分

∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . …… 4分 ∵ EH ? AD ?

1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2
………… 6分

∴ 四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ? DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . ………… 8分

(2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE // GH ,……10分 ∴ 四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三 棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x . …………11分

1 1 ………… 12分 BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . 2 2 ∴ 三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x 3 3 3 3 3
又 S ?BCF ? ………… 14分

1 1 1 4 4 4 ,得 ? ;由 S 2 ? a1 ? a2 ? ,得 ? . 2 a?b 2 3 2a ? b 3 2 ?a ? b ? 2 ?a ? 1 n ∴? ,解得 ? ,故 S n ? ; ………… 4 分 n ?1 ? 2a ? b ? 3 ?b ? 1 n 2 ( n ? 1) 2 n3 ? ( n ? 1) 2 (n ? 1) n 2 ? n ? 1 ? ? ? 2 (2)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? . n ?1 n n(n ? 1) n ?n
19.解:(1)由 S1 ? a1 ?

n2 ? n ? 1 1 也适合 an ? . ……… 8 分 n2 ? n 2 n2 ? n ? 1 ∴an ? ; ……… 9 分 n2 ? n a 1 1 1 (3) bn ? 2 n . ……… 10 分 ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1 ∴ 数列 { bn } 的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ?1 1 n . ……… 14 分 ? 1? ? n ?1 n ?1
由于 a1 ? 2 、 ( 东 莞 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 在 等 腰 梯 形 PDCB( 见 图 a ) 中 , DC//PB , PB=3DC=3,PD= 2 , DA ? PB ,垂足为 A,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得 到四棱锥 P-ABCD(见图 b). 在图 b 中完成下面问题: (I)证明:平面 PAD ? 平面 PCD; (2)点 M 在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P-ABCD 分成两个几何体(如图 b),当这 两个几何体的体积之比 VPM ? ACDVM ? ABC ? 5 : 4 时,求 (3)在(2)的条件下,证明:PD‖平面 AMC.

PM 的值; MB

证明:(1)因为在图 a 的等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , 所以在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA . 又 PA ? AB ,且 DC // AB ,所以 DC ? PA , DC ? DA , 而 DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , PA ? DA ? A , 所以 DC ? 平面 PAD . 因为 DC ? 平面 PCD , 所以平面 PAD ? 平面 PCD . 解:(2)因为 DA ? PA ,且 PA ? AB 所以 PA ? 平面 ABCD , 又 PA ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 ABCD . 如图,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N , 则 MN ? 平面 ABCD . 在等腰梯形 PDCB 中, DC // PB , ……5 分 D O C A N B P M …………4 分 …………3 分 …………1 分 …………2 分

PB ? 3DC ? 3, PD ? 2 , DA ? PB ,
所以 PA ? 1 , AB ? 2 , AD ? 设 MN ? h ,则

PD 2 ? PA2 ? 1 .

…………6 分

1 1 1 1 1 1 VM ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? ? AB ? DA ? h ? ? ? 2 ?1? h ? h . …………7 分 3 3 2 3 2 3 1 1 ( DC ? AB) ? AD 1 1? 2 1 VP ? ABCD ? S梯形ABCD ? PA ? ? ? PA ? ? ? 1? 1 ? . 3 3 2 3 2 2

1 1 …………8 分 ? h. 2 3 1 1 1 2 因为 VPM ? ACD : VM ? ABC ? 5 : 4 ,所以 ( ? h) : h ? 5 : 4 ,解得 h ? .………9 分 3 2 3 3 BM MN 2 2 1 在 ?PAB 中, ? ? , 所以 BM ? BP , MP ? BP . BP PA 3 3 3 VPM ? ACD ? VP ? ABCD ? VM ? ABC ?
所以 PM : MB ? 1 : 2 . (3)在梯形 ABCD 中,连结 AC 、 BD 交于点 O ,连结 OM . …………10 分

DO DC 1 ? ? . OB AB 2 PM 1 DO PM 又 , ? , 所以 ? OB MB MB 2
易知 ?AOB ∽ ?DOC ,所以 所以在平面 PBD 中,有 PD // MO . 又因为 PD ? 平面 AMC , MO ? 平面 AMC , 所以 PD // 平面 AMC .

…………11 分 …………12 分 …………13 分

…………14 分

3、(佛山市 2013 届高三上学期期末) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为 线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3

P

且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为 点 D , PD ? BD . (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. A D 解析:(Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, O 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , C ? 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 , ∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分.) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , ∵ Rt?ABC 中, AB ? 4 , 在 B

∴ 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 , 由



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

∵ AB ? 4 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ? 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .-----------------3 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,--------7 分 (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分.) ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? .--------10 分 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 ,PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 ,BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 .--------12 分 ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP? BDC ? VD?PBC 得, S?PBC ? d ?

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5
P

法 2:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,

过 点 D 作 DE ? CB , 垂 足 为 E , 连 接 PE , 再 过 点 D 作 DF ? PE , 垂 足 为 F .-----------------8 分 ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离.--------10 分 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ?
?

3 3 5 2 2 , PE ? PD ? DE ? , 2 2

3 3? PD ? DE 2 ? 3 5 , 即 点 D 到 平 面 PBC 的 距 离 为 在 Rt?PDE 中 , DF ? ? PE 5 3 5 2
3 5 .-------14 分 5
4、 (广州市 2013 届高三上学期期末) 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、 腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

C B

2

图4

图5

(1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . …………… 2 分 AD ? 平面 ABCD , ∵ ∴ AD ? PE . …………… 3 分 ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E,CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . …………… 5 分 ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ AD ? PC . …………… 6 分 (2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC ? PD ? 3 , DE ? EC ? 2 , 在 Rt△ PED 中, PE ?

PD2 ? DE2 ?

5 ,…………… 7 分

P

过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连接 PF , ∵ PE ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PE . …………… 8 分 ∵ EF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E ,

D F

E B

C

A

∴ AB ? 平面 PEF . ∵ PF ? 平面 PEF , ∴ AB ? PF . 依题意得 EF ? AD ? 2 . 在 Rt△ PEF 中, PF ? ∴△ PAB 的面积为 S ?

…………… 9 分 …………… 10 分 …………… 11 分

PE 2 ? EF 2 ? 3 ,

…………… 12 分

1 ?AB?PF ? 6 . 2
…………… 14 分

∴四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6 .

5、 (惠州市 2013 届高三上学期期末) 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: CF ? B1E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积. 解:(1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D ,

DB 的中点,则 ∵EF 为中位线…………2 分

? EF / / D1B
而 D1B ? 面 ABC1D1 , EF ? 面 ABC1D1

? EF / / 面 ABC1D1 …………4 分
(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ? CF ? BD ①…………5 分

? 正方体 ABCD ? A1B1C1D1
? DD1 ? 面ABCD , CF ? 面ABCD ? DD1 ? CF ②…………7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD B1 1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 ,
? CF ? B1 E …………………………………………………9 分

(3)由(2)可知?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 …………10 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ∴ S ?B EF ? 即 ?EFB1 ? 90?

1 3 2 …………12 分 EF ? B1 F ? 2 2

1 1 3 2 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? 2 ? 1 …………14 分 3 3 2
6、(江门市 2013 届高三上学期期末)如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长是 1 的正 方形,侧棱 PD ⊥平面 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 PC 的 ⑴求证: MN // 平面 PAD ; ⑵记 MN ? x , V (x) 表示四棱锥 P ? ABCD 的体积, 求 V (x) 的表达式(不必讨论 x 的取值范围). 中点.

P

N

D
证明与求解:⑴取 CD 的中点 E ,连接 ME 、 NE , A

C
M
图6

B



ME // AD , NE // PD ……2 分,

因为 ME ? NE ? E ,所以平面 MNE // 平面 PAD ……4 分,

MN ? 平面 MNE ,所以 MN // 平面 PAD ……6 分. ⑵ NE // PD , PD ⊥平面 ABCD ,所以 NE ⊥平面 ABCD ……8 分,
ME ? 平面 ABCD , NE ? ME ……9 分,

MN 2 ? ME 2 ? NE 2 ,所以 NE ? MN 2 ? ME 2 ? x 2 ? 1 ……10 分,
由⑴知 PD ? 2NE ? 2 x 2 ? 1 ……11 分, 所以 V ( x) ?

1 1 2 2 Sh ? ? S ABCD ? PD ……13 分, ? x ? 1 ……14 分. 3 3 3

7、(茂名市 2013 届高三上学期期末)在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB ? 平面 ACD, DE ? 平面 ACD,

A B? C D 1 , AC ? 3 ,AD=DE=2,G 为 AD 的中点。 ?
(1)求证: AC ? DE ; (2)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF//平面 ACD 并证明;

(3)求三棱锥 VG ? BCE 的体积。

8、(汕头市 2013 届高三上学期期末)在如图所示的几何体中,平面 ACE ? 平面 ABCD, 四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2
AE=EC=1. (1)求证: AE ? 平面 BCEF; (2)求三棱锥 D-ACF 的体积.



解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? 平面 ABCD=AC
………2 分 …………3 分 …4 分 ……6 分

? BC ? AC BC ? 平面 BCEF AE ? 平面 AEC ? BC ? AE ,
又 AC ?

? BC ? 平面 AEC

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

(2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE ∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? EG ? AC

……7 分

? 平面, ABCD ? AC ,

? EG ? 平面 ABCD ………9 分 (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC,? EG ? 平面 AEC
又 AC

? BC ? EG ,……8 分
………9 分

?BC ? C

? EG ? 平面 ABCD.

? EF // BC , EF ? 平面 ABCD, ?
所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长 …………………11 分

1 ?VD? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? s?ACD EG 3 ? S ?ACD ? 1 1 AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2

EG ?

1 2 AC ? 2 2

…………13 分

1 2 2 ? VD ? ACF ? ?1? ? 2 6 3

即三棱锥 D-ACF 的体积为

2 . …………14 分 6

9、(增城市 2013 届高三上学期期末)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90 ? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 . V (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求 VV ? ABC . B (1)? VA ? 平面 ABC ?VA ? BC C A 2分 3分 5分

? ?ABC ? 90? ? BC ? AC ? BC ? 平面 VBA ? 平面 VBA ? 平面 VBC
7分 (2) ? ?ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2

8分 10 分

? AB ? 2 3, BC ? 2,VA ? 2
1 1 ?VV ? ABC ? ? AB ? BC ?VA 3 2 1 ? ? 2 3 ? 2? 2 6

12 分 13 分

?

4 3 3

14 分

10、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 的交点为 G, AD⊥平面 ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥CE。 (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;

(3)求三棱锥 C-GBF 的体积。

11、(肇庆市 2013 届高三上学期期末)如图 4,已知三棱锥 P ? ABC 的则面 PAB 是

D 等边三角形, 是 AB 的中点, PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 .(1)证明:AB ? 平面 PCD ;
(2)求点 C 到平面 PAB 的距离.

证明:(1)∵ PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 , PAB 是等边三角形 ∴ PC ? BC ? PB ,故 ?PCB 是直角三角形, ?PCB ? 90
2 2 2 0

∴ PC ? BC 同理可证 PC ? AC

(2 分) (3 分)

∵ BC , AC ? 平面 ABC ,∴ PC ? 平面 ABC 又∵ AB ? 平面 ABC ,∴ AB ? PC 又∵ D 是 AB 的中点,∴ AB ? CD ∵ PC ? CD ? C , ∴ AB ? 平面 PCD (2) ∵ BC ? AC ? 2, AB ? PB ? 2 2 ,

(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

∴ AC ? BC ? AB ,故 ?ACB 是直角三角形, ?ACB ? 90 (8 分)
2 2 2 0

1 1 AC ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 PC 是三棱锥 P ? ABC 的高 由(1)可知, 1 1 4 ∴ V p ? ABC ? S ?ABC ? PC ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3
∴ S ?ABC ? 又∵ ?PAB 是边长为 2 2 等边三角形, ∴ S?ABP ?

(9 分)

(10 分)

1 1 3 PA ? PB sin 600 ? ? 2 2 ? 2 2 ? ?2 3 2 2 2 1 2 3 S?PAB ? h ? h 3 3

(11 分)

设点 C 到平面 PAB 的距离为 h ,则 VC ? PAB ?

(12 分)

∵ VC ?PAB ? Vp? ABC ,即

2 3 4 2 3 h ? ,解得 h ? 3 3 3 2 3 3
1 AB . 4
C1 D

∴点 C 到平面 PAB 的距离为

(13 分)

12、(中山市 2013 届高三上学期期末)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、
E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 115,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由. (I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ?
1 AB ? F 为 AM 的中点, 4
E C A1

B1

又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD, ? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D
? EF // 平面 BC1 D
E A1

A

F

C1 D

B

B1

C G A F M B

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A1B1C1 ? 1:16
1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC 3 1 AG 1 AG 3 ? ? ? ,? ? ,? AG ? AC ? AC 2 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在.

13、(珠海市 2013 届高三上学期期末) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形, (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ;(2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)求此几何体的体积. 4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8 解:(1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形,? BA, BC , BB1 两两互相垂直。 ∵ BC // B1C1 , B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分 (2)连 BN,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M, ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN ,… 5 分 由三视图知,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,… 6 分

侧视图

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,
2 2 2

? BN ? B1 N ,…… 7 分
∵ B1C1 ? 平面B1C1 N,, 1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(3)连接 CN,

……………… 9 分

1 1 1 32 … 11 分 VC ? BCN ? ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3
∴ 平面B1C1CB ? ANB1 B ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB , ∴ NM ? 平面B1C1CB ,

V N ? B1C1CB ?


1 1 128 … 13 分 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3
几 何 体 的 体 积

V ? VC ? BCN ? VN ? B1C1CB ?

32 64 32 128 160 …14 分 ? ? 32 V ? VC ? BCN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 3 3



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