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反思“错源“ 防止“一错再错”



反思“错源"3防止“一错再错"




高三复习测试中,一些学生面对反复出 现的“老”问题,常常一错再错、“屡教不改”. 对此,老师满腹牢骚,将这些学生认定为“学 习不努力、不用心”;家长满心疑惑,“孩子总 是这样马虎,考不出来是怎么回事?”笔者仔 细观察、思考后发现:学生会一错再错、知识 和方法不能迁移运用的主要原因在于,学生 自主学习的时间太少,缺乏自主反思、有效 归纳的过程;课下学生以做题、“刷题”为主, 及时反思的意识淡薄、反思归纳的方法不当 (如错题本仅仅抄录错题及正解,耗时虽多, 却事倍功半),自然就不容易做到举一反三、 触类旁通,相应地,在考试中表现为“一错再 错”就不足为奇了. 错后反思的关键在于找到自己真正的 “错源”,正确归因,才能对症下药.一般说 来,学生在数学考试中错误的原因主要集中 在以下几方面.

矽例1

求函数厂(z)=zs一2z的图象过

点P(1,一1)的切线方程.

错解1

因为f7(z)一3x2—2,-厂。(1)

一1所以切线方程为:y—z一2. 错解2 设切点Q(n,6),则不妨设切

线方程为:y一(n3—2a)一(3a2—2)(z—a); 2口3—3口2+1—0,然而在求解此三次方 程时却出了错. 分析 显然这两种错误的原因完全不

同.前者的错因在于“过点P”和“在点P”的 概念认识不清,过点P的切线未必以P为切 点,因此切点不定,就必须另设切点,才能写 出切线方程,代入点P求解.后者则是高次 方程不会解,也就是高次多项式因式分解的 基本技能掌握不到位.在订正整理时就应该 侧重“高次化低次”,先猜出一根为1,再用待 定系数法或多项式的除法,来确定另一个根

为一÷.此时若笼统的将其归结为“审题不

禽一、知识有漏洞
在阅卷中发现,部分学生之所以会屡次 “不该错的错了”,原因在于自身知识有漏 洞,却没有及时地查漏补缺,导致一旦遇到 此类问题就会“心有余悸”,再次犯错.

清”,显然对下次考试提高分数没有实质性 帮助.

,例2在数列问题中有一组比较常见的
基本题型:

(1)等比数列中,S。一7,S。一63,求S。;

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(2)等差数列中,S。一7,S。一63,求S。; 变1:等差数列中,S。一7,S7—63,求S。; 变2:等差数列中,S。一7,S。一63,求S9;

口≥士一4(在一1).
1十√2

法二

构造一元二次方程根的判别

(1)公式记忆有误,直接代入S。一堕掣,


学生在解答过程中常见的问题是:

式,其方法如下:
fb+C一4一口 fb+C一4一n



由1 6z+c。—口:得1 6c一8—4n,所以6、
C是z 2一(口一4)x+8—4a一0两根,则△一 (口一4)2—4(8—4a)≥0(a>0),得出a≥

忽略等比前胛项和公式由两部分构成,理应 先讨论q的取值是否为1,否则不能直接代 入公式;(2)等差数列的前挖项和S。一a,竹+

坠掣d—A行z+B卵,通性通法,适用范围


4厄一4.当a一4厄一4时,b—c一4—2厄;
即当6一c一4—2√2时,口。。。一4√2—4.

广,但有一定的运算量.若对等差数列和的 性质熟练:“S。。一。=(2n一1)a。”显然变1中 条件可以“和项互化”,转化为已知a:,日。,直 接求出公差d.而变2中条件可以利用“S,, S:。一S。,S。。一S。。仍成等差数列”得到迅速 解决. 从上面几个具体例题,我们可以看出常 见的知识漏洞,主要表现为:(1)概念不清; (2)公式不熟;(3)基本技能不扎实;(4)基 本题型不到位;(5)常用结论没记清.同学们 应该结合自己的错误原因,及时将错题归纳 到错题本上、同时有针对性地展开训练,以 便此类低级错误不再出现.

法三由已知1‘6b2++。c+2=口一a 24一。可看作
点(6,c)在圆z2+y2一口2上,又在直线z+y +口一4—0上,所以直线与圆有公共点,则圆

心到直线的距离不大于日,即掣≤口,因
√2

为0<a<4,所以4一口≤口厄,口≥÷一
√2十l

4在一4,所以n的最小值为4抠一4.

筹,设4一㈣,则0<£<4,口一 半一+-8£-4>/2,/g一4=4
+C2一a2、丑+b+C=4消去C得口一

法四

把n表示成b或C的函数,由b2

V'2—

☆二、方法待优化

4.(£一;即f一2抠时,也即b一4—2厄时,
取等号)

■例3

已知椭圆的长轴、短轴及焦距之

面对老师讲解的多种方法,同学们不应 止于被动理解、接受,或仅仅是抄在错题处, 以供“欣赏”.而应课后自己反思,这几种解 法的本质是什么,区别与联系是什么,可迁 移运用的部分是什么.虽然法一用基本不等

和为8,求半长轴长的最小值. 老师在讲评此题时,一方面强调长轴、 短轴、焦距的概念,一方面会提供一题多解: 法一 因为(6+f)2≤2(62+c2),所以

式,法二用方程,法三用解析几何,法四用函 数.但它们都是针对已知等量关系,通过造

6+f≤ ̄/2(62+C2).
f疗+C一4一位

又{6:+c:一口z,所以4一日≤√2
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n,所以 到求最值的题目,可以考虑从基本不等式、

不等关系,来达到求最值的目的.今后再遇

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判断方程有解、判定几何图形有交点以及函 数值域等思路人手求解.通过对这道题进行 深刻反思,实现由错解到繁解再到最优解的 目的.

≯例5

数列{口。}满足口。一2口。。+2一一1

(,2≥2)且a 4—81.求:
(1)口l、口2、口3;

(2)是否存在一个实数A,使此数列

☆三、策略待改进
在高考前,老师通常都会有最后一讲, 对考生进行心理、策略技巧的指导.事实上, 我们在平时频繁的测试过程中,就应当不断 反思答题的策略,以便在实战中不断改进. 下面举几个例子,供大家参考.

{生挈}为等差数列?若存在,求出A的值



及盘。;若不存在,说明理由. 分析 对于这种开放性问题,从高一

做到高三,仍有同学不会做,或者仅仅利用 等差数列定义将问题转化为恒等式,求A的 值,繁琐又易出错.事实上,学生只要先从必 要性人手求值(代入72—1,2,3),再利用定义 简单证明充分性就可以了.因为求值题的关 键在于造等量关系,特殊化是最简单的造等 式的方法.

,例4
通项口。.

数列{口。)的前卵项和为S。,已知

n1一妻,S。一卵2口。一竹(订一1),行一1,2,…求

由此可见,不断反思错因,才能不断改 大多数学生面对此题,识别应 进解题策略,比如:解题有时是“试误”的过 程,不能轻易言弃;解题要有目标意识,最忌 “只会低头拉车,不知抬头看路”;在平时学 习时要真正做到:基础题型要熟练,重点专 题要梳理,难点题型要积累. 总之,若想有效治愈“一错再错”的毛 病,就必须在做错题之后,有意识地脱身出 来以旁观者的身份去深刻反思,才能查漏补 缺,使相关知识题型系统化、使经历的思维

错因

退位相减得递推关系,但大都采取消S。,得 到n。的递推关系:(理+1)盘。一(,z一1)乜。一。+ 2(咒>1),此关系特征不明显.于是大多数人 心灰意冷,放弃.事实上,此题的确应该退位 相减处理,当消S。没有得到预期的好结论 时,应及时调整思路,尝试消以。,就会发现好

用的递推关系:nilS。一j匕S。一。一1(,z>

1),从而构造新数列』塑1s。I是以l为首,
I 兀 』

过程清晰化,所用到的方法策略明朗化,从 而促进知识的迁移运用、提高自身的解题能 力,有效防止“一错再错”.

公差为1的等差数列,问题得到解决.面对 新题,要敢于尝试,思路受阻时要冷静,及时 调整思路,“试误”必不可少!

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