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直线与圆的方程第2讲 (学生版)



2014 级永嘉中学数学学业水平考试复习学思案

第八章直线与圆的方程

第2讲

直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系、直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系 2.判定:常用几何法和代数法. 3.直线与圆相交的弦长,可利用弦心距、圆半径、半弦长组成的直角三角形 结合勾股定理求得,也可利用弦长公式计

算. 4.直线与圆的综合问题充分运用方程的思想与数形结合的思想. 5.求圆的切线方程 一、课前准备 2 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 2 的位置关系是 2.以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 ____ . .

3.过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为

4.直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 ___ . 5.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为 ______.

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第八章直线与圆的方程

【考点一】圆的方程及应用 例 1.(2015 辽宁模拟)圆心在直线 y=x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆 的方程为( ) 2 (A)(x-1) +(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 (D)(x-1)2+(y+1)2=2 或(x+1)2+(y-1)2=2

变式训练 ( 1 )以双曲线 - =1 的右焦点为圆心 , 并与其渐近线相切的圆的标准方程 是 .

(2) (2015 黑龙江模拟)圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最 小的圆的方程为( ) 2 2 (A)(x-1) +(y-2) =5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5 (C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25

【考点二】直线与圆相切 例 2.(2015·湖北卷)如图,已知圆 C:(x-1)2+(y- 2)2=2 与与 y 轴正半轴交 于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2,则圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上截距为 ________.

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第八章直线与圆的方程

变式训练:已知圆 O 的方程为 x2 +y2 =1, 直线 l1 与圆 O 相切. ①
1 3 直线过点( , )②直线过点(1,2)③直线过点 A(3 , 0) 2 2

【考点三】直线与圆相交 例 3:已知直线 l : m x ? (m ? 1) y ? 3 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围;

(Ⅱ)若直线 l 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y - 8 ? 0 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.

变式训练 (1) 若直线 y = k ( x + 1) 与曲线 y =

2 x - x 2 有公共点,则 k 的取值范围是

(2) (2015·全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x- 2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若→ OM·→ ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

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第八章直线与圆的方程

巩固练习 1.(2013·陕西卷)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与 圆 O 的位置关系是( A.相切 C.相离 ) B.相交 D.不确定

2.由直线 x - y + 1 = 0 上的点 P 向圆 ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 1 引切线,则切线长的最 小值是 _______ . 3. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上 的 动 点 Q 到 直 线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距 离 的 最 小 值 为 .

4. 圆 x2 + y 2 - 2x - 4 y + m = 0 被直线 x + 2 y - 4 = 0 截得的弦长为 __________.

4 5 ,则 m = 4

5.圆 x2 + y 2 - 4 x - 4 y - 10 = 0 上至少有三个不同的点到直线 y = kx 的距离为 2 2 , 则k ? . 20-x2 与直线 l:y=-x+m 仅有一个公共点,求 m 的范围. 2

6.已知曲线 C:y=

7.若直线 + =1(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长,则 ab 的 取值范围是( 1? ? A.?-∞, ? 8? ? ) 1? ? B.?0, ? 8? ? C.(0,8] D.[8,+∞)

x y a b

8.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11

)

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第八章直线与圆的方程

9.直线 l:y=k(x-5)与圆 O:x2+y2=16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 10. 已 知 圆
C:

? x ? 1?

2

?

? y ? 2?

2

?

2 ,5



线

l : ? 2m ? 1? x ? ? m ? 1? y ? 7m ? 4 ? 0 ? m ? R ?

⑴证明直线 l 恒与圆 C 相交. ⑵求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

11.已知圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 的倾斜角为 45°,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; (Ⅲ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值, 并求此时直线 l1 的方程.
y l1 Q M P 1 O A 1 x

C

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