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高一数学期末考试试题及答案



高一期末考试试题
命题人:增城高级中学 吴玮宁
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题中的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1.已知集合 M ? ? x ? N / x ? 8 ? m , m ? N ? ,则集合 M 中的元素的个数为( A. 7 B. 8 C. 9 D. 1 0 ) )

2.已知点 A ( x ,1, 2 ) 和点 B ( 2 , 3, 4 ) ,且 A B ? 2 6 ,则实数 x 的值是( A. ? 3 或 4 B. 6 或 2 C. 3 或 ? 4 D. 6 或 ? 2 3.已知两个球的表面积之比为 1 : 9 ,则这两个球的半径之比为( ) A. 1 : 3
2 2

B. 1 :

3

C. 1 : 9

D. 1 : 8 1 )

4.圆 x ? y ? 1 上的动点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 1 0 ? 0 的距离的最小值为( A. 2 B.1
2 2

C.3

D.4 )

5.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于( A. 1 2 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2

6.已知直线 l1 : a x ? y ? 2 a ? 0 , l 2 : ( 2 a ? 1) x ? a y ? a ? 0 互相垂直,则 a 的值是( A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 ? 1 7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
x A. y ? ? x ( x ? R ) B. y ? ? x ? x ( x ? R ) C. y ? ( ) ( x ? R ) D. y ? ?
3

)

1

1 x

( x ? R ,且 x ? 0)

2

8.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( ) A.
?
4

主视图

左视图

B. D.

5? 4

C. ?

3? 2

9.设 m , n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题: 俯视图

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? // ? ?

? ? ? // ? ? // ? ?



? ? ??

?? m ? ? m // ? ?



m ? ?? ?? ? ? ? m // ? ?



m // n ? ? ? m // ? n ? ??

其中,真命题是 A.①④ B.②③
2 x

( C. ①③ ) D. ? e , ? ? ?

) D.②④

10.函数 f ( x ) ? ln x ? A. ? 1, 2 ?

的零点所在的大致区间是(
? ? 1 ? ? e ?

B. ? 2 , 3 ?

C. ? 1,

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11.设映射 f : x ? x ? x ? 1 ,则在 f 下,象 1 的原象所成的集合为
3

12.已知 f ( x ) ? 4 x ? m x ? 1 在 ? ? ? , ? 2 ? 上递减,在 ? ? 2 , ? ? ? 上递增,则 f (1) ?
2

13.过点 A (3, 2 ) 且垂直于直线 4 x ? 5 y ? 8 ? 0 的直线方程为
1 1

14.已知 x ? y ? 1 2 , x y ? 9 ,且 x ? y ,则

x2 ? y2
1
1

?

x

2

? y

2

三、解答题。本大题 6 题共 80 分。 15(12 分)已知二次函数 f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3
2

(1) 指出其图像对称轴,顶点坐标; (2) 说明其图像由 y ? ? x 的图像经过怎样的平移得来;
2

(3) 若 x ? ?1, 4 ? ,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值。 16(12 分)求过点 P ( 2 , 3 ) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 17 ( 14 分 ) 如 图 , 已 知 在 侧 棱 垂 直 于 底 面 三 棱 柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中 ,
3 A C ? 3 , A B 5 , c ? s C A ? , A A1 ? 4 , 点 D 是 A B 的中点。 ? o B 5
C1

(1)求证: A C ? B C 1
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A 精品资源1

B1
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(II)求证: A C 1 // 平 面 C D B 1 (III)求三棱锥 A1 ? B 1 C D 的体积。
C

B

A

D

18(14 分)求经过 A ( 0 , ? 1) 和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ? 2 x 上的圆的方程。 19(14 分) 对于函数
f (x) = a 2 2 + 1
x

(a

R)

,

(1)判断并证明函数的单调性; (2)是否存在实数 a,使函数
f (x)

为奇函数?证明你的结论
2

20(14 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ( m ? 1) x ? 4 m x ? 2 m ? 1 (1) 当 m 取何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2) 如果函数至少有一个零点在原点的右侧,求 m 的值。

参考答案
一、选择题 CDABB 二、填空 11. ? ? 1, 0 ,1? 三、解答题 15. f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? 2 ) ? 7
2 2

CBCCB

12.21

13. 4 y ? 5 x ? 7 ? 0

14. ?

3 3

2分 4分
2

(1)对称轴 x ? 2 ,顶点坐标 ( 2 , 7 )
2

(2) f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 图象可由 y ? ? x 向右平移两个单位再向上平移 7 个单位可得。 6分 (3) f (1) ? 6 , f ( 4 ) ? 3, f ( 2 ) ? 7 ,由图可知在 x ? ?1, 4 ? ,函数 f ( x ) 的最大值为 7,最小 值为 3 16.法一:(截距式)
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12 分

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当直线过原点时,过点 ( 2 , 3) 的直线为 y ? 当直线不过原点时,设直线方程为 所以直线方程为
x 5 ? y 5 ?1 x a ? y a

3 2

x ------------------------(5 分)

? 1 ( a ? 0 ),直线过点 ( 2 , 3 ) ,代入解得 a ? 5

所以 P ( 2 , 3 ) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 y ? 法二(斜截式) 依题意知直线显然存在斜率,

3 2

x和

x 5

?

y 5

? 1.

--------------------(2 分)

设直线方程为 y ? k x ? b ,直线过点 P ( 2 , 3 ) ,代入方程有
3 ? 2k ? b


b k

直线在 x 轴和 y 轴的截距分别为 ? 依题意有 ?
b k
3 ? ?k ? ?1 ?k ? 由① ②解得 ? 2 或? ? b ? 5 ?b ? 0 ?

和b , ----6 分

? b



10 分

所以直线的方程为 y ?

3 2

x 和 y ? ? x ? 5 ----------------------------12 分

17.证明(1)在 ? A B C 中,由余弦定理得 B C ? 4 ,?? A B C 为直角三角形,? A C ? B C 又? C C 1 ? 面 A B C ? C C 1 ? A C , C C 1 ? B C ? C
?

A C ? 面 B C C 1 ? A C ? B C 1 ----------6 分

(2) 连结 B 1 C 交 B C 1 于点 E, E 为 B C 1 的中点, 则 连结 DE, 则在 ? A B C 1 中,D E // A C 1 , 又 D E ? 面 C D B 1 ,则 A C 1 // 面 B 1 C D -----------------------------10 分 (3) 在 ? A B C 中 过 C 作 C F ? A B 垂 足 为 F , 由 面 A B B 1 A1 ? 面 A B C 知 C F ? 面 A B B 1 A1
?VA
? B1 C D

1

? VC ? A DB
1

1

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而 S ? DA B ?
1 1

1 2

A1 B 1 ? A A 1 ? 5 ? 4 ?

1 2

CF ?

A C ?B C AB

?

3? 4 5

?

12 5

? 10 又
? VA
1

? B1 C D

?

1 3

? 10 ?

12 5

? 8

-----------------------------------------14 分 18.解:因为圆心在直线 y ? ? 2 x 上,设圆心坐标为 ( a , ? 2 a ) 设圆的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? 2 a ) ? r
2 2 2

1分 2分

圆经过点 A ( 0 , ? 1) 和直线 x ? y ? 1 相切
? a ? ( 2 a ? 1) ? r ? 所以有 ? 0 ?1?1 ? r ? 2 ?
2 2 2

8分

解得 r ?

2 ,a ? 1 或a ? ?

1 5

12 分

所以圆的方程为
( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 2 或 ( x ?
2 2

1 5

) ? (y ?
2

2 5

) ? 2
2

14 分

19、(1)函数 函数
f (x)

f (x)

为 R 上的增函数.证明如下:

的定义域为 R,对任意 , 且 x1
< x 2, 有 f ( x 1 ) x1 x2

x1 , x 2 ? R

f ( x2 ) = (a -

2 2
x1

) - (a 2

2
x2

)

+ 1

+ 1

=
2

2
x2

2

2
x1

= (2

2(2
x2

- 2

)

+ 1

+ 1
x

+ 1)( 2

x1

.
< x2

…………………………………4 分 ,所以 2 x ,函数
1

+ 1)

因为 y 所以

= 2

是 R 上的增函数, x1
f ( x2 )

- 2

x2

<0,…………………………6 分

f ( x1 ) -

<0即

f ( x1 ) < f ( x 2 )

f (x)

为 R 上的增函数. ……………8 分 ………………………10 分

(2)存在实数 a=1,使函数 证明如下:

f (x)

为奇函数.

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当 a=1 时, 对任意 x ?

f (x) = 1 -

2 2 + 1
x


- x - x

2 - 1 2 + 1
x

x

.
x x

R



f (- x ) =

2 2

- 1 + 1



1- 2 1+ 2

=-

2 - 1 2 + 1
x

x

=-

f (x)

,即

f (x)

为奇函数.

……………………………14 分 20.(1)函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有两个零点,即方程 2 ( m ? 1) x ? 4 m x ? 2 m ? 1 ? 0 有两个
2

不相等的实根,? ?
?
?

?? ? 16m

2

? 8 ( m ? 1)( 2 m ? 1) ? 0 2 ( m ? 1) ? 0

得 m ? 1 且 m ? ?1

当 m ? 1 时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有两个零点。 ------------4 分 (2)
?

m ? ? 1 时,则 f ( x ) ? ? 4 x ? 3 从而由 ? 4 x ? 3 ? 0 得 x ? ?

3 4

? 0

函数的零点不在原点的右侧,帮 m ? ? 1 当 m ? ? 1 时,有两种情况: ①原点的两侧各有一个,则
? ? ? 1 6 m ? 8 ( m ? 1) ( 2 m ? 1) ? 0 ? 2m ? 1 ? x1 x 2 ? ? 0 ? 2 ( m ? 1) ?
2

----------------6 分

解得 ? 1 ? m ?

1 2

-------------10 分

② 都在原点的右侧,则
? ? ? 1 6 m ? 8 ( m ? 1) ( 2 m ? 1) ? 0 ? 4m ? x1 ? x 2 ? ? ? 2 ( m ? 1) ? 0 解得 m ? ? ? 2m ? 1 ? x1 x 2 ? ? 2 ( m ? 1) ? 0 ? ?
2

综 ①②可得 m ? ( ? 1, ?

1 2

)

-------14 分
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