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2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数、解三角形



2016 年高考数学理试题分类汇编 三角函数、解三角形
一、选择题 1、(2016 年北京高考)将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 个单位长度得 3 4

?

到点 P ' ,若 P ' 位于函数

y ? sin 2 x 的图象上,则( A )

A. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 6 1 ? , s 的最小值为 2 3

B. t ?

? 3 , s 的最小值为 6 2

C. t ?

D. t ?

? 3 , s 的最小值为 3 2

2、(2016 年山东高考)函数 f(x)=( 3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是( B ) (A)

π 2

(B)π

(C)

3π 2

(D)2π

3、(2016 年四川高考)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点 ( D )

π 3

π 个单位长度 3 π (C)向左平行移动 个单位长度 6
(A)向左平行移动

π 个单位长度 3 π (D)向右平行移动 个单位长度 6
(B)向右平行移动

4、(2016 年天津高考)在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120? ,则 AC= ( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

? ? 5、(2016 年全国 I 高考)已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 (
(A)11 (B)9

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 2 4 4

π 5π , ) 单调,则 ? 的最大值为( B ) 18 36
(C)7 (D)5

6、(2016 年全国 II 高考)若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 为( B )

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴 12

k? ? k? ? ? (k ? Z ) (B) x ? ? (k ? Z ) 2 6 2 6 k? ? k? ? ? (k ? Z ) (D) x ? ? (k ? Z ) (C) x ? 2 12 2 12 3 7、(2016 年全国 III 高考)若 tan ? ? ,则 cos2 ? ? 2sin 2? ? ( A ) 4
(A) x ?
1

(A)

64 25

(B)

48 25

(C) 1

(D)

16 25

8、(2016 年全国 III 高考)在 △ABC 中, B = (A) 【答案】C
3 10 10

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3

(B)

10 10

(C) -

10 10

(D) -

3 10 10

9、(2016 年浙江高考)设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期( B ) A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 10、(2016 年全国 II 高考)若 cos( (A)

?

7 25

(B)

1 5

3 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( D ) 4 5 1 7 (C) ? (D) ? 5 25 ? 5? 或 ______ 6 6

二、填空题 1、(2016 年上海高考)方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为_____

2、(2016 年上海高考)已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于____

7 3 _____ 3

3、(2016 年四川高考)cos2

π π –sin2 = 8 8

2 2

.

o s A? 4、 (2016 年全国 II 高考)?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若c
则b ?

4 5 ,cos C ? ,a ? 1 , 5 13

21 13



5、 (2016 年全国 III 高考)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至少向右 平移______

?? _______个单位长度得到. 3

6、(2016 年浙江高考)已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=___ 2 ___,b=____ 1 ____. 7、(2016 江苏省高考)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 三、解答题 1、(2016 年北京高考) 在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac .
2 2 2

7

.

(1)求 ? B 的大小; (2)求 2 cos A ? cos C 的最大值. 【解析】⑴ ∵ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ∴ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac
2

∴ cos B ? ∴ ?B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? 2ac 2ac 2

π 4 ⑵∵ A ? B ? C ? π 3 ∴ A?C ? π 4 ∴ 2 cos A ? cos C 2 2 ? 2 cos A ? (? cos A) ? sin A 2 2 π 2 2 ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 4 2 2 3 ∵ A?C ? π 4 3 ∴ A ? (0, π) 4 π π ∴ A ? ? ( , π) 4 4 π ∴ sin( A ? ) 最大值为 1 4 上式最大值为 1

2、 (2016 年山东高考) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 【解析】(Ⅰ)由 2(tanA + tanB) =

tan A tan B ? . cos B cos A

tanA tanB + 得 cosB cosA

2?

sinC sinA sinB ? ? , cosAcosB cosAcosB cosAcosB

所以 2 sin C ? sin B ? sin C ,由正弦定理,得 a + b = 2c . (Ⅱ)由 cosC ?

a 2 ? b2 ? c 2 (a ? b)2 ? 2ab ? c 2 ? 2ab 2ab

?

3c 2 3c 2 3 1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? . a?b 2 2ab 2 2 2( ) 2

所以 cos C 的最小值为

1 . 2
cos A cos B sin C ? ? . a b c

3、(2016 年四川高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ;
3

(II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

6 bc ,求 tan B . 5

【解析】(I)证明:由正弦定理

a b c ? ? 可知 sin A sin B sin C cos A cos B sin C ? ? ?1 原式可以化解为 sin A sin B sin C ∵ A 和 B 为三角形内角 , ∴ sin A sin B ? 0 则,两边同时乘以 sin A sin B ,可得 sin B cos A ? sin A cos B ? sin A sin B 由和角公式可知, sin B cos A ? sin A cos B ? sin ? A ? B ? ? sin ?? ? C ? ? sin C
原式得证。

6 b2 ? c 2 ? a 2 3 2 2 2 (II)由题 b ? c ? a ? bc ,根据余弦定理可知, cos A ? ? 5 2bc 5 A ? 0, ? ? ? , sin A ? 0 ∵ A 为为三角形内角, cos A 3 4 ? 3? ? 则 sin A ? 1 ? ? ? ? ,即 sin A 4 5 ?5? cos A cos B sin C cos B 1 1 ? ? ? 1 ,∴ ? ? 由(I)可知 sin A sin B sin C sin B tan B 4 ∴ tan B ? 4
4、(2016 年天津高考)已知函数 f(x)=4tanxsin( (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?
2

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)- 3 .

? ? , ]上的单调性. 4 4

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ? 3 , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ??
由?

?

?

? 2

? 2k? ,

?

? ? 2k? ? , k ? Z . 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z . 12

设 A ? ??

? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?
4

所以, 当 x ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , ? ? 上单调递减. ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

△ABC 的内角 A, 5、 (2016 年全国 I 高考) B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7, △ABC 的面积为 【解析】(1) 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

3 3 ,求 △ABC 的周长. 2

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

π 3 1 2

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a2 ? b2 ? 2ab ?

? a ? b?
S?

2

? 3ab ? 7

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 ∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7
2

a?b?5

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 6、(2016 年浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若△ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4

5

(II)由 S ?

a2 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 4 2 4

1 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .
又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ? 当C?? ?

?

? ?
2

时, ? ? 时, ? ? 或? ?

? ?
2 4

2

??.

; .

2

综上, ? ?

?
2

?
4


cos B = 4 π ,C = . 5 4

7、(2016 江苏省高考)在 △ABC 中,AC=6, (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6

解(1)因为 cos B ? ,0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? ,

4 5

4 5

3 5

2 6? AC AB AC ? sin C 2 ? 5 2. ? 由正弦定理知 ,所以 AB ? ? 3 sin B sin C sin B 5
(2)在三角形 ABC 中 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? ? ? ( B ? C ). 于是 cosA ? ? cos(B? C) ? ? cos( B ?

?

4 4 4 3 4 2 3 2 2 又 cos B ? ,sin B ? , ,故 cos A ? ? ? ? ? ?? 5 5 5 2 5 2 10

) ? ? cos B cos

?

? sin B sin

?
4

,

6

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 因此 cos( A ?

7 2 10 2 3 7 2 1 7 2? 6 ? ? ? ? . 10 2 10 2 20

?
6

) ? cos A cos

?
6

? sin A sin

?
6

??

7



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