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331二元一次不等式与平面区域



3.3.1
二元一次不等式(组) 与平面区域
重庆铁路中学 (400053) 何成宝

一、问题情境:
一只蚂蚁在地平面上寻找食物,蚂蚁的位置可由 坐标 (x,y) 确定,现知在直线 L : x+y-1=0 左下方 区域某处有一食物,如果蚂蚁运动的坐标始终满 足 x+y-1>0, 那 么 蚂 蚁 能 找 到 食 物 吗 ?



L

y

哈哈,我是 蚂蚁!

O

x

一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用 于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3 万元的收益,其中从企业贷款中获益12﹪,从个 人贷款中获益10﹪,那么,信贷部应该如何分配 资金呢? 你能列出题目中 所存在的不等 转化 关系吗? ? 数学问题: 问题1: 把实际问题 ?????
把文字语言 问题2:

转化 ????? ? 符号语言:

二元一次不等式: 转化 ? 数学问题: 问题1: 把实际问题 ????? 含有两个未知数, 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为 y元。 并且未知数的次 数是1的不等式 转化 把文字语言 ????? ? 符号语言: 问题 2 : 二元一次不等式组: ? x ? y ? 2500 ① 由资金总数不超过 25 00万元 由几个二元一次不 等式组成的不等式 预计企业贷款创收 12%,个人贷款创收10%,共创收3万元以上 组(12﹪)x+(10﹪)y≥3 即12x+10y≥3 00 ② ?
用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值 ? x ? 0, y ? 0 ③ 将①,②,③合在一起,得到分配资金应该满足的条件:

, ? x ? y ? 2500 ?12x ? 10 y ? 300, ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

二、新知探究:
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式: 你知道二元一次不等 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1的不等式; (2)二元一次不等式组: 式的解集是什么?

由几个二元一次不等式组成的不等式组;

(3 )二元一次不等式的解集: , 点的集合 思考:在平面直角坐标系中
满足二元一次不等式的有序实数对 (x,y)构成的集合; {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形?

二、新知探究:
2、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
回忆:一元一次不等式(组)的解集--数集 图形---数轴上的区间。

?x ? 3 ? 0 如:不等式组 ? 的解集为数轴上的一个区间(如图)。 ?x ? 4 ? 0

{x | ?3 ? x ? 4}
问题3:在直角坐标系内,二元一次不等式的解集表示
什么图形?

二、新知探究:
(2)探究 特殊:二元一次不等式 x-y <6 的解集所表示的图形。

作出x-y =6的图像:一条直线
直线把平面内所有点分成三类: a)在直线x-y =6上的点 b)在直线x-y =6左上方区域内 c)在直线x-y =6右下方区域内
-6

左上方区域
y

0

6

x

右下方区域

二、新知探究:
2、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 思考:在平面坐标系上描点 (3,-3)(0,0),(-2,3),(7,0),(1,-6),
看看它们与直线x-y-6=0的位置关系,并计算x-y-6的值?
y (-2, 3)


x? y ?6 ? 0


x? y ?6?0

(0,0)

6




(7,0)

x

(3,-3) -6 (1,-6)


x? y ?6 ? 0

从 特 殊 到 一 般

猜一猜: (1)对直线L右下方的点(x, y),x-y-6>0 成立。 (2)对直线L左上方的点(x, y),x-y-6<0 成立。

y x - y- 6 <0
o
6

6

x

x-y-6>0

证一证:
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0), 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 , 在此直线上点P右侧的任意一点A(x,y) ∵ x>x0, y=y0 ∴ x-y>x0-y= x0 -y0 ∴ x-y>x0-y0 ,∴ x-y-6> x0-y0-6 又x0-y0-6=0 ∴x-y-6>0 因为点P为直线x-y-6=0上任意一点, 故对于直线x-y-6=0右下方的任意点(x,y),都有x-y-6>0
o y= y0 y

x-y-6=0
6
A(x, y)

x

x

6

P(x0 ,y0)

同理,对于直线左上方的任意一点(x,y),都有x-y-6<0

二、新知探究:
2、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
结论:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6的解为 注意:把直线画

成虚线以表示区 坐标的点都在直线x-y =6的左上方;反过来,直线 x-y=6左上 域不包括边界 方的点的坐标都满足不等式x-y<6,故不等式 x-y<6表示直线xy = 6的左上方的平面区域,类似地,二元一次不等式x-y>6表示

直线x-y=6的右下方的平面区域 y
x-y <6 O
-6 6

y
O
-6 6

x

x
x-y>6

直线叫做这两个区域的边界。

二、新知探究:
2、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

从 特 殊 到 一 般

二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐标系中表 示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。

(虚线表示区域不包括边界直线)
y
Ax + By + C = 0

结论一
二元一次不等式表示相应直线的 某一侧平面区域

O

x

二、新知探究:
问题4:二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入

从 Ax+By+C所得实数的符号都相同,只需在直线的 一 般 同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根据 到 Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直 特 线的哪一侧区域. 殊
小诀窍 如果C≠0,可取(0,0);

如果C=0,可取(1,0)或(0,1).

结论二 直线定界,特殊点定域.

三、例题示范:
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解:(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚线) (2)特殊点定域:取原点(0,0),代入x + 4y - 4, 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以,原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内, y 不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。
1
0

x+4y―4=0
4 x + 4y – 4 < 0

x

课堂练习1:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
4x―3y-12=0

(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
x=1

y
0 -4 3

y

x
0 1

x

三、例题示范:
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集. x<2y
分析:不等式组表示的平面区域 是各不等式所表示的平面点集的 交集,因而的各个不等式所表示 的平面区域的公共部分。
解:不等式y ? ?3x ? 12表示 直线y ? ?3x ? 12左下方的区域; 1 不等式x ? 2y表示直线y? x 2 上方的区域.取两区域 重叠的部分, 如图中阴影部分就表示 原不等式 组的解集.
12 8

y

x-2y=0
4

0

4

8

x

3x+y-12=0

课堂练习2:
课本第86页的练习1、2、3。 1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0

的(

B)

(A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方

2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是(

) D

课堂练习2:
课本第86页的练习1、2、3。 3、不等式组 ?

? ?x ? y ? 2 ? 0
B)

x ? 3y ? 6 ? 0

表示的平面区域是(

小结:本节课学习了那些内容?
⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域。

⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
数学思想:从特殊到一般,从一般到特殊

作业:

课本 P93 习题3.3 [A组] 第 1、2题。

补充:求由三直线x-y=0; x+2y-4=0及y+2=0所 围成的平面区域所表示的不等式。



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