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1.7三角函数复习课


第一章

三角函数复习

任意角 的概念

知识结构
应用

弧度制 与角度制
任意角的 三角函数 同角三角函 数基本关系式 诱导 公式

三角函数的 图像和性质

应用

(1.1.1)知识小结
y

1、角的概念的推广

? 的终边
正角

? ? (??,??)
? 的终边
2、在坐标系中讨论角 3、终边相同的角

o

x 零角

负角

轴线角与象限角

结论:所有与α终边相同的角的集合: S={β|β=α+k·360°,k∈Z}

1、写出终边落在直线 y=x 上的角的集合S,

练习1:
写出来.

并把适合不等式-180 <

o

<360 的元素

o

β
? ?

? 2、设 为第二象限角,且有 sin 2 ? ? sin 2 ,则 2 为( C ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

?

(1.1.2)知识小结

1、 弧度的定义: l ︱ α︱ = r
2、弧度与角度的换算

180°= π rad
3、弧长公式: l ? 扇形面积公式:

? ?r
1 1 2 S ? lr ? r ? 2 2

(1.2.1)知识小结
1、任意角的三角函数定义

y sin a ? r
sin a
y

x cos a ? r
cos a
y

y tan a ? x
tan a

2、任意角的三角函数在各个象限的符号
y

+

+


x

+


x

+



o





o

+

+

o



x

3、终边相同的角的三角函数值 (公式一):

cos(? ? k 360 ) ? cos ?
0

sin(? ? k 360 ) ? sin ?
0

tan(? ? k 360 ) ?
0

tan ?

4、三角函数线

y

y P A T x O y
T M

T

P
M O

M A x

y

M

A x

O P

A x

O

P

y

sin x ? cos x
x O sin x ? cos x

y

sin x ? cos x ? 0 sin x ? cos x ? 0 O
x

已知角 a 的终边落在直线 y=3x 上, 练习2: 求sin a、cos a 、 tan a

(1.2.2)知识小结

1.同角三角函数的基本关系

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

6.特殊角的三角函数值

?



0

30
?
6

45
?
4
2 2 2 2

60
?
3
3 2

90 180 270 360
?
2

弧 度

0 0

?

3? 2

2?

sin?

1 2
3 2 3 3

1
0
不存在

0

-1 0

cos?

1
0

1 2

-1 0
0
不存在

1
0

tan ?

1

3

练习3:

3 3 已知 tan ? ? , ? ? ? ? ? , 3 2 求 cos ? ? sin ?的值

练习4:
已知? 是第二象限角, 2 1 ? sin ? 则 ? ? 2 cos ? 1 ? cos ?
2

sin ?

-1

(1.3)知识小结

一.六个诱导公式
诱导公式一
sin( 2k? ? ? ) ? sin? , cos(2k? ? ? ) ? cos? , tan(2k? ? ? ) ? tan? 。

诱导公式二
sin( ? ? ? ) ? ? sin? , cos( ? ? ? ) ? ? cos? , tan( ? ? ? ) ? tan? 。
诱导公式四

诱导公式三

sin( ?? ) ? ? sin? , cos(?? ) ? cos? , tan(?? ) ? ? tan? 。

sin( ? ? ? ) ? sin? , cos( ? ? ? ) ? ? cos? , tan( ? ? ? ) ? ? tan? 。

? ? sin( ? ? ) ? x ? cos ?  sin( ? ? ) ? cos ? 2 2 ? ?   cos( ? ? ) ? y ? sin ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2

※记忆方法:
奇变偶不变,符号看象限.

练习5:

? 1 ? 1、已知 sin(? ? ) ? , ? ? (? ,0), 2 3 2 则 tan ? ? ?2 2
2、 sin ( ? x) ? sin ( ? x) ? 3 6
2 2

?

?

1

4 ?在 第 四 象 限cos , ( ??) ? 2 5 3? 则sin ( ? ? )的 值 是 2

?

A

3 3 3 4 A. ?  B.  C . ?  D. 5 5 5 5

(1.4)知识小结
1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y

y=cosx
1

y o
? 2

图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性

1
?

?
2 -1

o

? 2

?

3? 2

2? x

?? ? ?

2 -1

?

3? 2

2? x

R [-1,1] T=2

R

?
?

[-1,1] T=2

?

奇函数

,2k? ? ]增函数 质 单调性 2 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ]减函数 2 2

[2k? ?

?

偶函数

[2k? ? ? ,2k? ]增函数 [2k? ,2k? ? ? ]减函数

2、正切函数的图象与性质 y=tanx
y 图 象
3? ? 2

?? ? ?

o

2

? 2

?

3? 2

x

定义域

{x | x ? k? ?
R

?
2

, k ? N}

值域
周期性 奇偶性

T ??
奇函数

单调性

(k? ?

?

, k? ? )( k ? Z ) 2 2

?

练习6:
1、 求解不等式
y
1

sin x ?
y ? sin x

3 . 2
y = 3 2

O

? 3

p 2

2? 3

π

3p 2

2π x

-1

2? ?? ? +2k?, ? 2k? ? ? 3 ?3 ?

k ?Z

2 、 求下列函数的定义域: ? y ? ? cos( x ? ) 6 y y=cosx
??? ? 2
?? ? 2

?? ? 2

?? ? 2

?? ? 2

?1 ? 2
O -1

? 2

?? 2

?? 2
?? 2

?? 2

x

??? 2

? ? 【0, 】 3、函数y=3sin(2x+ 6 )(x∈ ) 3

的值域是____________。

3 [ , 3] 2

1.5、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

? >0

)

y ? sin x

图象向左( ? 向右( ?

?0

)或

?

0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
向右(? 纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

?

0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

振幅、周期、频率、相位、初相 应用:根据图象求解析式。

y ? A sin(? x ? ? ) ? b 四个参数: A, ?, ?, b.
y
2 1
? ??

???

?

???? ??
?

?? ? ? ?

-1

? ?

?

?? ?

??

?? ?

??

x

图像最高点与相邻最低点间x值相差周期的一半 ——可求? ? ? 2? T 1 1 b = (y max + y min ) A = (y max - y min ) 2 2

练习7:

1、将函数 y= sin2x 的图象向左平移 π/ 6 得到的曲线 对应的解析式为( ) C A. y=sin(2x+π/6) B. y=sin(2x-π/6) C. y=sin(2x+π/3) D. y=sin(2x-π/3) 2、要得到函数 y = cos3x 的图象, 只需将函数 y = cos (3x-π/ 6) 的图象( ) A.向左平移π/ 6个单位 B.向右平移π/6个单位 C C.向左平移π/18个单位 D.向右平移π/18个单位

3、 将函数y ? sin x的图象作如下哪种变换, 可得 1 ? 函数y ? sin( x ? )的图象 ( D ) 2 3 ( A)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 ? 变 ), 再向右平移 个单位. 3 ( B )先把各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不 ? 变 ), 再向右平移 个单位 . 3 ? (C )先向右平移 个单位 , 再使所有点的横坐标缩短 3 到原来的一半(纵坐标不变 ). ? ( D )先向右平移 个单位 , 再使所有点的横坐标伸长 3 到原来的两倍(纵坐标不变 ).

练习8: 第三章内容
2 2 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x, x ? R, 已知函数

求:⑴函数的最小正周期; 思路:化同一个角 ⑵函数的单增区间;

同一种函数名

⑶函数的最大值 及相应的x的值; ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。

y ? 2 sin 2x, x ? R

解:y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x
2 2

? 1 ? sin 2 x ? 2cos x
2

? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)



2? T? ?? 2

⑵ 由2k? ? 2 ? 2 x ? 4 ? 2k? ? 2 , 得

?

?

?

3? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 8 8 ?函数的单增区间为: 3? ? [ k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8

? ? ? ⑶ 当2 x ? ? 2k? ? ,即x ? k? ? (k ? Z )时, 4 2 8 y最大值 ? 2 ? 2
?
图象向左平移 个单位 8 y ? 2 sin 2 x ⑷

y ? 2 sin( 2 x ? ) 图象向上平移2个单位 4

?

y ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

作业
《创新作业》P87~~P96


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