9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

双曲线典型例题


双曲线
1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线: (1)在平面内;(2)与两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数;(3)常数小于|F1F2|. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

图形

范围 对称性 性 顶点 渐近线 离心率 质 a,b,c 的关系 实 虚 轴
2 2

x≥a 或 x≤-a,y∈R y≤-a 或 y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: 顶点坐标: A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞) a c2=a2+b2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

典型例题:
例 1.双曲线 y -x =2 的渐近线方程是 ( ) A.y=±x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=±2x 3 例 2.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是 ( 2 A. - =1 4 5



x2

y2

B. - =1 4 5

x2 y2

C. - =1 2 5

x2 y2

D. - =1 2 5

x2

y2

例 3.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左、右两支都相交,则双 曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A.(-∞, 2) B.(1, 3) C.(1, 5)

x2 y2 a b

D.( 5,+∞) )

x2 y2 例 4.已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( a 5
A. 3 14 14 3 2 B. 4
2 2

3 C. 2

4 D. 3

例 5.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________. 例 6.已知中心在原点的双曲线 C,过点 P(2, 3)且离心率为 2,则双曲线 C 的标准方程为

1

x2 y2 a b PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为________. x2 y2 2 2 例 8.已知椭圆 D: + =1 与圆 M:x +(y-5) =9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点,它的两条渐近线恰
例 7.设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△ 50 25 好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程.

例 9.过双曲线 - =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,F1 为左 3 6 焦点. (1)求|AB|;(2)求△AOB 的面积.

x2 y2

例 10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积.

2

练习: x2 1.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 x2 x2 x2 y2 y2 A. -y2=1 B. -y2=1 C. - =1 D.x2- =1 4 2 3 3 2 2.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为 ( A. 6 B. 5 C. 6 2 D. 5 2 )

)

x2 y2 3.双曲线 - =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为( 25 9 A.22 或 2 B.7 C.22 D.2

4.(2010· 辽宁)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 ) C. 3+1 2 D. 5+1 2

x2 5.[2010· 福建卷] 若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 a → → 上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( ) 7 7 ? ? A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) C.? D.? ?-4,+∞? ?4,+∞? x2 y2 6.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径是( ) a b A.a B.b C. ab D. a2+b2

x2 y2 7.点 P 在双曲线上 2- 2=1(a>0,b>0)上,F1,F2 是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90° ,且△F1PF2 a b 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐 2 标为- ,则此双曲线的方程是( 3 x2 y2 A. - 3 4 x2 y2 B. - =1 4 3
2

) x2 y2 C. - =1 5 2 x2 y2 D. - =1 2 5

9 . 设 F1 、 F2 分 别 是 双 曲 线 x | PF1 + PF2 |= .

y2 =1 的 左 、 右 焦 点 . 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 9

PF1 ? PF2 ? 0 , 则

y2 10.已知双曲线 x2- 2(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. b 11.已知双曲线 kx2-y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则双曲线的离心率为________;渐近 线方程为________. x2 y2 4 12.已知双曲线 - =1 的一条渐近线方程为 y= x,则该双曲线的离心率 e 为________. m n 3 x2 y2 13.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作直线交双曲线的左支于 A,B 两点, a b 且|AB|=m,则△ABF2 的周长为__________.
3

x2 y2 14.[2011· 全国卷] 已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0), 9 27 AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|=________. x2 y2 15.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作直线 PF 垂直于该双曲线的一条渐近线 l1 于 a b P( 3 6 , ).(1)求该双曲线方程;(2)过点 F 作直线 l2 交该双曲线于 M,N 两点,如果|MN|=4,求直线 l2 3 3

的方程.

16.已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(-3,0),一条渐近线的方程是 5 x-2y=0. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围 成的三角形的面积为
81 ,求 k 的取值范围. 2

17.直线 l :y=kx+1 与双曲线 C:2x -y =1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存 在,说明理由.
2 2

4

x2 y 2 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|, a b
则双曲线离心率的取值范围为 ( A.(1,3) B.(1,3]
2 2

) C.(3,+∞) D.[3,+∞)

2.已知 P 是双曲线

x y ? ? 1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-y=0.设 F1、F2 分别为双曲 2 a 9
= 1( a > 0, b > 0) 的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的圆恰好过

线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________. 3.过双曲线
x2 a 2 y2 b2

双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 4.求适合下列条件的双曲线的方程: (1)焦点在轴上,虚轴长为 12,离心率为

.
5 ; (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 4

5.已知双曲线的方程是 16x -9y =144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|?|PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

2

2

6.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1、F2 分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点 π P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心率为 2,求该双曲线的方程. 3
P

7.已知椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的 4

左、右焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,求的范围

5

x2 x2 y2 双曲线 1 [解析] B 椭圆 +y2=1 的焦点坐标是(± 3,0).设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0).因为点 4 a b 4 1 x2 2 2 2 2 P(2,1)在双曲线上,所以 2- 2=1,a +b =3,解得 a =2,b =1,所以所求的双曲线方程是 -y2=1. a b 2 x2 y2 b 2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为 y=± x, 因为点(4,-2)在渐近 a b a c2-a2 1 b 1 5 5 线上,所以 = ,根据 c2=a2+b2,可得 2 = ,解得 e2= ,e= ,故选 D. a 2 a 4 4 2 3 答案 A4 答案 D 解析 直线 FB 的斜率为- ,与其垂直的渐近线的斜率为 ,所以有- =-1 即 b = 1+ 5 . 2

b c

b a

b2 ac

2

ac,所以 c2-a2=ac,两边同时除以 a2 可得 e2-e-1=0,解得 e=

x2 5[解析] B 因为 F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方程为 -y2=1.设 3 x2 x2 → → → → 0 0 2 2 点 P(x0, y0), 则有 -y0=1(x0≥ 3), 解得 y0= -1(x0≥ 3). 因为FP=(x0+2, y0), OP=(x0, y0), 所以OP· FP 3 3 2 2 x0 4x0 3 2 =x0(x0+2)+y0 =x0(x0+2)+ -1= +2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为 x0=- ,因为 3 3 4 4 → → → → x0≥ 3,所以当 x0= 3时,OP· FP取得最小值 ?3+2 3-1=3+2 3,故OP· FP的取值范围是[3+2 3, 3 +∞). 6 答案 B7 [解析] D 不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则 4c2=|PF1|2+|PF2|2,由 2|PF2|=2c+|PF1|, 且|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF1|=2c-4a,|PF2|=2c-2a,代入 4c2=|PF1|2+|PF2|2,得 4c2=(2c-2a)2+(2c c -4a)2,化简整理得 c2-6ac+5a2=0,解得 c=a(舍去)或者 c=5a,故 e= =5. a x2 y2 8 答案 D 解析 设双曲线方程 2- 2=1,M(x1,y1),N(x2,y2), a b

?a -b =1 ∴? x y ?a -b =1
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1

① ②,

2 - y1-y2 b2 x1+x2 b2 3 ①-②得: = 2· ,∴1= 2· ,∴5a2=2b2. a 5 x1-x2 a y1+y2 - 3

又 a2+b2=7,∴a2=2,b2=5,选 D. 9.2 10 10。2 11。 5 1 2 2 , x±y=0 双曲线 kx -y =1 的渐近线方程是 y=± kx.又因为一条渐近线方程与直 2 2 1 1 1 线 2x+y+1=0 垂直,∴ k= ,k= .∴双曲线的离心率为 e= 2 4 5 5 或 解析 设 m>0, n>0, ∴ 3 4

k

+1 5 1 = ;渐近线方程为 x±y=0. 2 2 1

k
12 答案 ∴ n 4 n 16 m+n 25 5 y2 x2 = , ∴ = .∴ = .∴e= .设 m<0, n<0.则 - =1, m 3 m 9 m 9 3 -n -m

n 4 n 16 m 9 m+n 25 5 5 5 = .∴ = .∴ = .∴ = .∴e= .∴双曲线的离心率为 或 . m 3 m 9 n 16 n 16 4 3 4 ?|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又|AF1|+|BF1|=|AB|

? ?|AF2|-|AF1|=2a, 13 [解析] 4a+2m 由? ?|BF2|-|BF1|=2a ?

=m,∴|AF2|+|BF2|=4a+m.则△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.

6

14[解析] 6

根据角平分线的性质,

|AF2| |MF2| 1 = = .又|AF1|-|AF2|=6,故|AF2|=6. |AF1| |MF1| 2
b a2 ab ,得 P( , ),又已知 c c

15 解析

?y=ax b a (1)设 F(c,0),l :y= x,PF:y=- (x-c).解方程组? a b a ?y=-b?x-c?
1

P(

3 6 y2 , ),故解得 a=1,b= 2,所以双曲线方程为 x2- =1.(2)若直线 l2 垂直于 x 轴,交双曲线于 M, 3 3 2

y2 N.由(1)得右焦点为 F( 3,0),将 x= 3代入 x2- =1,得 y=± 2,所以|MN|=4,若直线 l2 不垂直于 x 轴, 2 y2 设 MF:y=k(x- 3),代入 x2- =1,得 2x2-k2(x- 3)2=2,整理,得(2-k2)· x2+2 3k2x-3k2-2=0, 2 2 3k2 所以 x1+x2= 2 , 若 M, N 两点均在双曲线的右支上, 则 k2>2; 若 M, N 两点在双曲线的两支上, 则 k2<2. k -2 又若 M,N 两点均在双曲线的右支上,由于通径最短且为 4,故 M,N 两点只可能分别在双曲线的两支上, 此时, 设 M(x1, y1), N(x2, y2), |MN|=||NF|-|MF||= 3[( 1 1 3· 2 3k2 -x2)-(x1- )], 所以 4=2- 3(x1+x2), 即 2 k -2 3 3

2 2 =-2,k=± ,所以所求直线 l2 的方程为 x= 3或 y=± (x- 3). 2 2 16 解
?a 2 ? b 2 ? 9, ? (1)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 =1(a>0,b>0).由题设得 ? b 5 a b , ? ? 2 ?a

x2

y2

解得 ? ?

?a 2 ? 4,
2 ? ?b ? 5.

所以双曲线 C 的方程为

x2 y2 =1.(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m (k≠0). ? 4 5

点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)的坐标满足方程组
? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 5 ? 4

① ②
2 2 2 x 2 (kx ? m) 2 =1,整理得(5-4k )x -8kmx-4m -20=0. 5 4 2 2 2 2

将①式代入②式,得

此方程有两个不等实根,于是 5-4k ≠0,且Δ =(-8km) +4(5-4k )(4m +20)>0, 2 2 整理得 m +5-4k >0. ③ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标(x0,y0)满足 x0= 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y5m 5 ? 4k
2

x1 ? x 2 4km 5m = ,y0=kx0+m= . 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2

??

1 k

? 4km ? ?x? 5 ? 4k 2 ?

? ? ?. ?

此直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 ? ? 由题设可得

? 9km

? ? 9m ,0 ? ?,? ? 0, ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k 2
2

? ? ?. ?

2 2 81 9m 1 9km 2 (5 ? 4 k ) ? = .整理得 m = ,k≠0. 2 2 k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k

将上式代入③式得 解得 0<|k|<

(5 ? 4 k 2 ) 2 2 2 2 +5-4k >0,整理得(4k -5)(4k -|k|-5)>0,k≠0. k

5 5 5 5 或|k|> .所以 k 的取值范围是(-∞,- )∪(,0)∪(0, 4 4 2 2
2 2 2

5 5 )∪( ,+∞). 4 2
2

17 解 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x -y =1 后,整理得(k -2)x +2kx+2=0
7



依题意,直线与双曲线 C 的右支交于不同两点,
?k 2 ? 2 ? 0 ? ?? ? (2k ) 2 ? 8(k 2 ? 2) ? 0 ? 2k 故? 解得 k 的取值范围为-2<k<- 2 . ?? ?0 ? k2 ? 2 ? 2 ? ?0 ? ?k 2 ? 2

(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2k ? ? x1 ? x 2 ? 2?k2 则由①式得 ? ? ?x ? x ? 2 1 2 ? k2 ?2 ?



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0) ,则由 FA⊥FB 得 (x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得: 2 2 (k +1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c +1=0 ③ 把②式及 c= 解得 k=可知 k=2 6 代入③式化简得 5k +2 6 k-6=0. 2

6? 6 6? 6 或 k= ? (-2,- 2 )(舍去). 5 5 6? 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5

1.B 解析:∵ |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点,∴ 有 c- a≤2a,∴ 1<e≤3,故选 B. 2. 5 解析: ∵ 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 3x-y=0, ∴ a=1.又 P 是双曲线右支上一点, |PF2| a2 9

=3,|PF1|-|PF2|=2,∴ |PF1|=5. 3.2 解析:设双曲线的左焦点为右顶点为又因为 MN 为圆的直径且点 A 在圆上,所以 F 为圆的圆心,且所 以,即由 4. 解: (1)焦点在轴上,设所求双曲线的方程为 所以双曲线的方程为
x2 a
2

x2 a
2

-

y2 b2

= 1(a > 0, b > 0) .由题意,得解得

x2 y 2 (2)方法一:当焦点在轴上时,设所求双曲线的方程为 =1 . 64 36

-

y2 b
2

=1(a > 0, b > 0). 由题意,得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为 y 2 x2 = 1 .方法二:设以 y = 9 4

x2 y 2 = 1. 9 81 4

同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为
x2 y 2 = λ( λ 4 9

3 x 为渐近线的双曲线的方程为 2

0). 当 λ >时, 2 4 λ = 6 ,解得 λ

9 x2 y 2 = 1. .此时,所求的双曲线的方程为 9 81 4 4
y 2 x2 = 1. 9 4

当 λ <时, 2 - 9 λ = 6 ,解得 λ .此时,所求的双曲线的方程为 5. 解:(1)由 16x -9y =144 得
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,∴ a=3,b=4,c=5. 9 16

5 4 焦点坐标为(-5,0),(5,0),离心率 e= ,渐近线方程为 y=± x. 3 3 (2)由题意,得||PF1|-|PF2||=6,
8

PF1 ? PF2 ? F1 F2 cos∠F1PF2= 2 PF1 PF2

2

2

2

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? F1 F2 36+64-100 ? = =0.∴ ∠F1PF2 =90°. 64 2 PF1 PF2

2

x2 y 2 6.解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). a b
在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2| =|PF1| +|PF2| 2|PF1|?|PF2|?cos
2 2 2 2 2 2

π 3

=(|PF1|-|PF2|) +|PF1|?|PF2|.即 4c =4a +|PF1|?|PF2|. 1 π 又∵ S△PF1F2 =2 3,∴ |PF1|?|PF2|?sin =2 3.∴ |PF1|?|PF2|=8.∴ 2 3

4c =4a +8,即 b =2.

2

2

2

3x 2 y 2 c 2 2 ? 又∵ e= =2,∴ a = .∴ 双曲线的方程为 =1. 3 a 2 2
7.

x2 y 2 2 解: (1)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1, a ? 4 ? 1 ? 3 , a b
2 2 2 2

x2 2 再由 a ? b ? c 得 b ? 1 ,故双曲线的方程为 ? y ? 1 . 3
(2)将 y ? kx ?

2 代入 x ? y 2 ? 1 得 (1? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0
3

2

.

? 1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0,

? k 2 ? 1, ? 即 ? 2 1 解得 ?k ? , 3 ?

?1 ? k ? 1, ? ? ? 3 3 且k ? ? . ?k ? 3 3 ?
? ? ? ? ? 3? ? 3 ? ?

故 k 的取值范围为 ?k | ?1 ? k ? 1, 且k ? ?

9


赞助商链接

更多相关文章:
双曲线经典例题
双曲线经典例题_数学_高中教育_教育专区。习题精选精讲 本文来自 http://anshan...【解析】如图设直线 l 的倾斜角为α ,双曲线渐近线 O F X m 的倾斜角为...
椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理
椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理_数学_高中教育_教育专区。椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0...
双曲线典型例题
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问 题比处理曲线问题容易得多,所以这一...
双曲线典型例题12例(含标准答案)
双曲线典型例题12例(含标准答案) - 《双曲线典型例题双曲线典型例题 12 例 典型例题一 例1 讨论 x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何...
双曲线及标准方程典型例题
双曲线及标准方程典型例题 - 典型例题一 x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k 例 1 讨论 典型例题二 例 2 根据下列条件,...
双曲线经典小题讲解
双曲线经典小题讲解_高二数学_数学_高中教育_教育专区。双曲线经典小题讲解题型 1:运用双曲线的定义 例 1. 如图所示, F 为双曲线 C : x2 y2 ? ? 1 的...
双曲线经典例题
双曲线经典例题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。习题精选精讲 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1?m ? n ? 0? 与双曲线 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有相同的...
双曲线典型例题讲义
双曲线典型例题讲义 - 知识梳理 例题详解 课后练习 答案... 双曲线典型例题讲义_高二数学_数学_高中教育_教育专区。知识梳理 例题详解 课后练习 答案 ...
双曲线典型例题(20110922修改)
双曲线典型例题双曲线典型例题隐藏>> 双曲线典型例题 双曲线典型例题 1、讨论 、 x2 y2 + = 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k 2、...
椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理 - 副本
椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理 - 副本_高一数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图